自由積

在數學的群論中，自由積（英語：free product，法語：produit libre）是從兩個以上的群構造出一個群的一種操作。兩個群G和H的自由積，是一個新的群G ∗ H。這個群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的群之中「最一般」的。自由積一定是無限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。

自由積是群範疇中的餘積。

建構方式

若G和H是群，以G和H形成的字是以下形式的乘積：

s_{1}s_{2}\cdots s_{n},

其中s_i是G或H的元。這種字可以用以下的操作簡化：

除去其中的（G或H的）單位元，
將其中的g₁g₂一對元素以其在G中的積代替，將其中的h₁h₂一對元素以其在H中的積代替。

每個簡約字都是G的元素和H的元素交替的積，例如：

g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.

自由積G ∗ H的元素是以G和H形成的簡約字，其上的運算是將兩字接合後簡化。

例如若G是無窮循環群<x>，H是無窮循環群<y>，則G ∗ H的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時G ∗ H同構於以x和y生成的自由群。

設 $(G_{i})_{i\in I}$ 是群的一個族。用 $G_{i}$ 形成的字，也可以用上述操作簡化為簡約字。仿上可定義出 $G_{i}$ 的自由積 $*_{i\in I}G_{i}$ 。

展示

設

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle

是G的一個展示（S_G是生成元的集合，R_G是關係元的集合），又設

H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle

是H的一個展示。那麼

G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .

即是G ∗ H是G的生成元和H的生成元所生成，而其關係是G的關係元和H的關係元所組成。（兩者都是不交併。）

性質

將 $G_{i_{0}}$ 自然地映射到 $*_{i\in I}G_{i}$ 的群同態是內射，故此這個群同態將 $G_{i_{0}}$ 嵌入到 $*_{i\in I}G_{i}$ 中為子群。

泛性質

自由積亦可由以下泛性質定義：設G是群， $(G_{i})_{i\in I}$ 是由群組成的一個族，有一族群同態 $(\phi _{i}\colon G_{i}\to G)_{i\in I}$ 。那麼存在唯一的群同態 $\phi \colon *_{i\in I}G_{i}\to G$ ，使得對所有 $i_{0}\in I$ 都有