切比雪夫滤波器

切比雪夫滤波器（又译柴比雪夫滤波器，英語：chebyshev filter），也被稱為等漣波濾波器（equal ripple filter），是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

四阶第一类切比雪夫低通滤波器的频率响应图

这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫（Пафнутий Львович Чебышёв）。

特性

I型切比雪夫滤波器

I型切比雪夫滤波器最为常见。

n阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示：

$G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}}$

其中：

• $|\epsilon |<1$
• 而$|H(\omega _{0})|={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$ 是滤波器在截止频率$\omega _{0}$的放大率 (注意: 常用的以幅度下降3分贝的频率点作为截止频率的定义不适用于切比雪夫滤波器!)
• $T_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)$ 是 $n$阶切比雪夫多项式：

切比雪夫多项式

切比雪夫多项式

$T_{n}(\Omega )=\cos(n\cdot \arccos \ \Omega );0\leq \Omega \leq 1$

$T_{n}(\Omega )=\cosh(n\cdot \operatorname {(} arccosh\Omega );\Omega >1$

其中 $\Omega ={\frac {\omega }{\omega _{0}}}$

或:

$T_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)=a_{0}+a_{1}{\frac {\omega }{\omega _{0}}}+a_{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}+\,\cdots \,+a_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{n};0\leq \omega \leq \omega _{0}$

$T_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)={\frac {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}{\sqrt {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}-1}}\right)^{n}+\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}{\sqrt {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}-1}}\right)^{-n}}{2}};\omega >\omega _{0}$

n	切比雪夫多项式
0	1
1	$\Omega$
2	$-1+2*\Omega ^{2}$
3	$4\Omega ^{3}-3\Omega$
4	$1+8\Omega ^{4}-8\Omega ^{2}$
5	$16\Omega ^{5}-20\Omega ^{3}+5\Omega$
6	$-1+32\Omega ^{6}-48\Omega ^{4}+18*\Omega ^{2}$
7	$64\Omega ^{7}-112\Omega ^{5}+56\Omega ^{3}-7\Omega$
8	$1+128\Omega ^{8}-256\Omega ^{6}+160\Omega ^{4}-32\Omega ^{2}$
9	$256\Omega ^{9}-576\Omega ^{7}+432\Omega ^{5}-120\Omega ^{3}+9\Omega$
10	$-1+512\Omega ^{10}-1280\Omega ^{8}+1120\Omega ^{6}-400\Omega ^{4}+50\Omega ^{2}$

切比雪夫滤波器的阶数等于此滤波器的电子线路内独立的电抗元件（或元件组）数。

切比雪夫滤波器的幅度波动 = $20\log _{10}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}$分贝

当 $\epsilon =1$,切比雪夫滤波器的幅度波动= 3分贝。

如果需要幅度在在阻频带边上衰减得更陡峭，可允许在复平面的 $j\omega$轴上存在零点。但结果会使通频带内振幅波动较大，而在阻频带内对信号抑制较弱。 这种滤波器叫椭圆函数滤波器或考尔滤波器。

II型切比雪夫滤波器

也称倒数切比雪夫滤波器，较不常用，因为频率截止速度不如I型快，也需要用更多的电子元件。II型切比雪夫滤波器在通频带内没有幅度波动，只在阻频带内有幅度波动。

II型切比雪夫滤波器的转移函数为：

$\left|H(\omega )\right|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {1}{\epsilon ^{2}T_{n}^{2}\left(\omega _{0}/\omega \right)}}}}$

参数 ε 与 阻频带的 衰减度 γ 有如下关系：

$\epsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{0.1\gamma }-1}}}$ 分贝。

5分贝衰减度相当于ε = 0.6801; 10分贝衰减度相当于 ε = 0.3333。

截止频率 f_C = ω_C/2 π。

-3分贝频率f_H 和截止频率 f_C 有如下关系：

$f_{H}=f_{C}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\epsilon }}\right)$

使用范围

• 如果需要快速衰减而允许通频带存在少许幅度波动，可用第一类切比雪夫滤波器；如果需要快速衰减而不允许通频带存在幅度波动，可用第二类切比雪夫滤波器。

与其他滤波器的比较

下图比较四种同阶低通滤波器：（左上）巴特沃斯滤波器、（右上）I型切比雪夫滤波器、（左下）II型切比雪夫滤波器（右下）椭圆函数滤波器。

两类切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器陡峭； 但不如椭圆函数滤波器，然而后者幅度波动较大。

参考

• 贝塞耳滤波器
• 巴特沃斯滤波器
• 梳状滤波器
• 椭圆函数滤波器

参考文献

• Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van Valkenburg, Analog Filter Design, 2nd Indian Edition, Oxford University Press, 2013
• Adel S. Sedra, Peter O. Brackett, Filter Theory and Design:Active and Passive, Matri Publishers Inc,1978