離散構造と離散分布

Copyright©2014 NTT corp. All Rights Reserved.
離散構造と離散分布
NTT コミュニケーション科学基礎研究所
石畠正和
第17回情報論的学習理論ワークショップ(IBIS2014)
離散アルゴリズムの機械学習応用

2
石畠正和
経歴
2006 石川高専修了
2008 東工大学部修了
2010 東工大修士修了
2013 東工大博士修了
2013 NTT CS 研入社
指導教官
佐藤泰介教授
研究内容
論理に基づく確率モデリング論理と確率を合言葉に！

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今日、伝えたいこと
• 離散分布の複雑さ
• 離散分布と離散構造 (主に論理) の関係
• Lifted Inference のアイディア
離散って
足すだけじゃん（笑）
論理って
いつの話だよ（笑）
こういう人に伝えたい！！

4
今日、伝えないこと
•具体的な論理を用いた確率計算
•具体的な Lifted Inference の計算方法
どうしても論理の基礎知識が必要になるので…。
想定する聴衆
確率 → 使ったことある
論理 → 詳しくない
動的計画法 → あー、あるよね
Bayesian Network → あー、グラフィカルモデルね？
Lifted Inference → あー、どっかの会議で見たかも

5
Lifted Inference
当初: 述語論理を利用した効率的な離散分布の計算法 [Poole 03]
現在: Partial Exchangeability を効率的に扱う計算法 [Niepert+ 14a]

6
Lifted Inference
当初: 述語論理を利用した効率的な離散分布の計算法 [Poole 03]
現在: Partial Exchangeability を効率的に扱う計算法 [Niepert+ 14a]
Tutorials
•“Lifted inference in Probabilistic logical Models”, IJCAI11
•“Probabilistic Inference in Relational Models”, UAI14
•“Lifted Approximate Inference: Methods and Theory”, AAAI14
Workshops
•StarAI: Statistical Relational AI, AAAI10, UAI12, AAAI13-14
•LTPM: Learning Tractable Probabilistic Models, ICML14
•BUDA: Big Uncertain Data, SIGMOD14
実は流行ってます！！

7
１ページ要約
離散分布は実は複雑 
組み合わせ爆発
論理を使うと
効率的に定義できる 
論理をグラフに変換し
効率的に扱う
論理＋グラフで効率的に離散分布を計算・学習！
Lifted Inference この組合せが最も力を発揮できる場合を追求！
AI
ML

8
目次
1.離散分布の複雑さ
2.離散分布を効率的に定義する
3.離散分布を効率的に計算する
4.効率的な確率計算の研究例
5.まとめ

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離散分布
Bernoulli 分布 (= コイン)
p(x | θ) = θx (1-θ)1-x,
x∈{0,1}, θ ∈[0,1]
Categorical 分布 (= サイコロ)
p(x | θ) = Πi θi
[x=i] = θx
x∈{1,...,M}, θ=(θ1,...,θM), θi∈[0,1], Σi θi = 1
離散確率変数
離散値を取る確率変数
この発表では有限の値
p(表) = θ
p(裏) =1-θ
p(1) = θ1
p(2) = θ2
...
p(6) = θ6
(Σi=1...6 θi = 1)

10
ID
x1
x2
x3
p(x)
1
0
0
0
θ1
2
0
0
1
θ2
3
0
1
0
θ3
4
0
1
1
θ4
5
1
0
0
θ5
6
1
0
1
θ6
7
1
1
0
θ7
8
1
1
1
θ8
離散確率変数の同時分布
•Xi = 離散確率変数, xi∈{0,1}
•X = (X1,...,XN), x ∈Ω ≡{0, 1}N
•p(X = x | θ) = θID(x)
•θ=(θ1,...,θM), θi∈[0,1], Σi θi =1
M = 2N
任意の同時分布を定めるには指数個のパラメータが必要
X の確率表
離散同時分布

11
条件付き確率
p(X1,X2,X3) = p(X1) p(X2|X1) p(X3|X1,X2)
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ331
θ332
4
1
1
θ341
θ342
p(x1) > 0
p(x1,x2) > 0
ただし
X1 の CPT
条件付き確率の定義より、
X の確率表は各 Xi の条件付き確率表(CPT)で定義可能
CPT = Conditional Probability Table
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
X2 の CPT
X3 の CPT

12
条件付き確率
p(X1,X2,X3) = p(X1) p(X2|X1) p(X3|X1,X2)
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ331
θ332
4
1
1
θ341
θ342
p(x1) > 0
p(x1,x2) > 0
ただし
θijk ≡ 表 i の行 j の列 k のパラメータ
= p(Xi = xik | ID(x1:i-1) = j)
3
2
1
xik ≡ Xi の k 番目の値
x1:i ≡ (x1,...,xi)
X1 の CPT
X2 の CPT
X3 の CPT

13
条件付き確率
p(X1,X2,X3) = p(X1) p(X2|X1) p(X3|X1,X2)
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ331
θ332
4
1
1
θ341
θ342
p(x1) > 0
p(x1,x2) > 0
ただし
p(X1=1, X2=1, X3=1) = θ112 θ222 θ342
= p(Xi = xik | ID(x1:i-1) = j)
X1 の CPT
X2 の CPT
X3 の CPT

14
条件付き確率
p(X1,X2,X3) = p(X1) p(X2|X1) p(X3|X1,X2)
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ331
θ332
4
1
1
θ341
θ342
p(x1) > 0
p(x1,x2) > 0
ただし
= p(Xi = xik | ID(x1:i-1) = j)
p(X1=1, X2=1, X3=1) = θ112 θ222 θ342
X1 の CPT
X2 の CPT
X3 の CPT

15
条件付き確率
p(X1,X2,X3) = p(X1) p(X2|X1) p(X3|X1,X2)
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ331
θ332
4
1
1
θ341
θ342
p(x1) > 0
p(x1,x2) > 0
ただし
= p(Xi = xik | ID(x1:i-1) = j)
p(X1=1, X2=1, X3=1) = θ112 θ222 θ342
X1 の CPT
X2 の CPT
X3 の CPT

16
条件付き確率
p(X1,X2,X3) = p(X1) p(X2|X1) p(X3|X1,X2)
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ331
θ332
4
1
1
θ341
θ342
p(x1) > 0
p(x1,x2) > 0
ただし
= p(Xi = xik | ID(x1:i-1) = j)
p(X1=1, X2=1, X3=1) = θ112 θ222 θ342
X1 の CPT
X2 の CPT
X3 の CPT

17
条件付き確率
p(X1,X2,X3) = p(X1) p(X2|X1) p(X3|X1,X2)
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ331
θ332
4
1
1
θ341
θ342
p(x1) > 0
p(x1,x2) > 0
条件付き確率に分解してもパラメータは指数個 
ただし
各行が Categorical 分布
X1 の CPT
X2 の CPT
X3 の CPT

18
計算したい量
同時確率 p(x | θ) = θID(x), x∈Ω≡{0,1}N
周辺確率 p(e | θ) = Σx∈e p(x | θ), e ⊆Ω
期待値 E[F]p(X|e,θ) ≡ Σx∈Ω F(x)p(x | e,θ)
Viterbi 値 x* ≡ argmaxx p(x | e,θ)
最尤推定量 θ* ≡ argmaxθ Πe∈E p(e|θ), E={e1,e2,...}
事後分布 p(θ | E)
愚直に計算すると指数的な時間を要する(NP-hard) 

19
命題論理
論理式 F
命題変数と論理演算と括弧の組合せ
論理関数を表現
F = (X1∧X2)∨X3
論理関数 F(X)
F : {0,1}N → {0,1}
F(1,1,1) = 1
真理値表
x と F(x) の対応表
ID
x1
x2
x3
F
1
0
0
0
0
2
0
0
1
1
3
0
1
0
0
4
0
1
1
1
5
1
0
0
0
6
1
0
1
1
7
1
1
0
1
8
1
1
1
1
F の真理値表

20
計算量
F を X 上の論理式、F(X) を F が表す論理関数とする
Satisfiability (SAT) problem [Cook 71]
F(x) = 1 なる x が存在する（充足可能）か判定する
→ NP-complete
Model Counting (MC) problem
F(x) = 1 なる x の数 MC(F) を求める
→ #P-complete

22
離散分布と積分
X が連続のとき
E[F]p(X) ≡ ∫ F(x)p(x)dx
が解析的に計算できると嬉しい
X が離散のとき
E[F]p(X) ≡ Σx F(x)p(x)
が？？？？で計算できると嬉しい

23
離散分布と積分
X が連続のとき
E[F]p(X) ≡ ∫ F(x)p(x)dx
が解析的に計算できると嬉しい
X が離散のとき
E[F]p(X) ≡ Σx F(x)p(x)
が多項式時間で計算できると嬉しい
 Model counting が多項式時間で解ける
離散における積分 = Model Counting (Model Enumeration)

24
離散分布の複雑さ (まとめ)
離散分布は
愚直に定義、愚直に計算すると指数 
効率的な定義 = パラメータ数が多項式
効率的な計算 = 計算量が多項式
離散分布を
効率的に定義、効率的に計算したい 

25
目次
2.離散分布を効率的に定義する by 論理
3.離散分布を効率的に計算する
5.まとめ

26
p(x|θ) を効率的に定義する
ID
x1
x2
...
xi-1
xi=0
1
1
0
0
...
0
θi11
θi12
2
0
0
...
1
θi21
θi22
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2i-1-1
1
1
...
0
...
...
2i-1
1
1
...
1
θi2i-11
θi2i-12
ID
xi=0
1
1
θi11
θi12
2
θi21
θi22
...
...
...
Mi
θiMi1
θiMi2
パラメータを共有する
???
Xi の条件付き確率表 (CPT) = 指数サイズ
Xi のコンパクトな CPT
Mi = 多項式サイズ
p(Xi | X1:i-1, θ)
p(Xi | X1:i-1, θ)
写像
Ti

27
p(x|θ) を効率的に定義する
パラメータを共有する
ID
Ti(x1:i-1)
xi=0
1
1
1
θi11
θi12
2
2
θi21
θi22
...
...
...
...
Mi
Mi
θiMi1
θiMi2
Parameter Tying (Sharing)
Ti : {0,1}i-1 → {1,...,Mi}
p(Xi = xik | Ti(x1:i-1) = j, θ) ≡ θijk
パラメータ数 2i-1 → Mi
問題
Ti をどう定める？
→ Ti を決める = 独立性を仮定
x1:i-1 = (x1,x2,...,xi-1) x1:i-1 ∈{0,1}i-1
Xi のコンパクトな CPT
p(Xi | X1:i-1, θ)

28
離散分布と独立性
1.Independence
2.Conditional Independence
3.Context Specific Independence [Boutilier+ 96]
4.Partial Exchangeability [Niepert+ 14a]
強い仮定
弱い仮定

29
Independence
p(X1,X2,X3) = p(X1)p(X2)p(X3) : X1⊥⊥X2, X2 ⊥⊥X3, X1 ⊥⊥X3
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ211
θ212
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ311
θ312
3
1
0
θ311
θ312
4
1
1
θ311
θ312
X1 の CPT
X2 の CPT
X3 の CPT
独立性 = すべての条件列を無視する

30
Independence
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
*
θ211
θ212
ID
x1
x2
x3=0
1
1
*
*
θ311
θ312
独立性 = すべての条件列を無視する
p(X1,X2,X3) = p(X1)p(X2)p(X3) : X1⊥⊥X2, X2 ⊥⊥X3, X1 ⊥⊥X3
T2(x1) = 1, T3(x1, x2) = 1

31
Conditional Independence
p(X3|X1,X2) = p(X3|X1) : X2⊥⊥X3 | X1
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ311
θ312
3
1
0
θ321
θ322
4
1
1
θ321
θ322
条件付き独立性 = 特定の条件列を無視する

32
Conditional Independence
p(X3|X1,X2) = p(X3|X1) : X2⊥⊥X3 | X1
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
*
θ311
θ312
2
1
*
θ321
θ322
条件付き独立性 = 特定の条件列を無視する
T3(x1, x2) = 1+x1

33
Context Specific Independence
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ331
θ332
4
1
1
θ331
θ332
p(X3|X1=x1k,X2) = p(X3|X1=x1k) : X2⊥⊥X3 | X1=x1k
文脈依存独立性 = 特定の条件下で特定の条件列を無視する

34
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
*
θ331
θ332
p(X3|X1=x1k,X2) = p(X3|X1=x1k) : X2⊥⊥X3 | X1=x1k
文脈依存独立性 = 特定の条件下で特定の条件列を無視する
T3(x1, x2) =
x2+1
3
: x1= 0
: x1 =1

35
Partial Exchangeability
p(X3|X1,X2) = ???
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ321
θ322
4
1
1
θ331
θ332
逆にこのように Parameter Tying するには
どうすればよいか？
→ 今までの独立性では無理 

36
p(X3= x3k | X1=x1, X2=x2) = θ3 T3(x1,x2) k
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ321
θ322
4
1
1
θ331
θ332
T3(x1, x2) = ???

37
p(X3= x3k | X1=x1, X2=x2) = θ3 T3(x1,x2) k
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
1+x1+ x2
x3=0
1
1
1
θ311
θ312
2
2
θ321
θ322
3
3
θ331
θ332
T3(x1, x2) = 1+x1+x2
部分交換可能性 = 特定の条件 T でパラメータを共有

38
CPTと論理
p(X3= x3k | X1=x1, X2=x2) = θ3 T3(x1,x2) k
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ321
θ322
4
1
1
θ311
θ312
更に！このように Parameter Tying するには
どうすればよいか？

39
CPTと論理
p(X3= x3k | X1=x1, X2=x2) = θ3 T3(x1,x2) k
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x2
x3=0
1
1
0
0
θ311
θ312
2
0
1
θ321
θ322
3
1
0
θ321
θ322
4
1
1
θ331
θ332
T3(x1, x2) =
1 : x1 ⊕ x2
2 : otherwise
あらゆる条件は論理で記述可能！！

40
CPTと論理
論理を用いたパラメータ共有
Tij ≡ “Ti(Xi:i-1) = j ”と等価な論理式
→ Tij を定義 = パラメータ共有を定義
ID
x1
x2
x3=0
1
T31
T32
1
0
0
θ311
θ312
1
0
2
0
1
θ321
θ322
0
1
3
1
0
θ321
θ322
0
1
4
1
1
θ331
θ332
1
0
パラメータが共有される
場所を論理式で記述

41
小まとめ
p(x | θ) を効率的に定義する
論理式 Tij によりパラメータを共有する
任意のパラメータ共有を表現可能 
通常の独立性では表現できない共有も可能 
p(x | θ) を効率的に計算する
Tij の Model counting を効率的に行う
Model counting は一般には NP-hard 
How?

42
目次
2.離散分布を効率的に定義する
3.離散分布を効率的に計算する by 動的計画法
5.まとめ

43
p(x|θ) 上で効率的に計算する
Model Counting (MC)
論理式 F に対し、F(x) = 1 なる x の数 MC(F) を計算
→ #P-complete
離散分布とMC
MC は離散分布の積分に対応
２種類の論理式
同時分布を定義する論理式 Tij
確率事象を定義する論理式 F
p(F | θ)
MC(F) を計算可能
 E[F]p(X|θ) を計算可能
Tij でグループ化
確率事象

44
Knowledge Compilation [Darwich 02]
タスクに応じて論理式を適切な形式に変換
変換後の形式上で効率的にタスクを実行
タスクの例
Consistency
Validity
Implicant
Equivalence
Model Counting
Model Enumeration
...
形式の例
Negation Normal Form (NNF)
Decomposable NNF (DNNF)
Deterministic NNF (d-NNF)
d-DNNF
Binary Decision Diagram (BDD)
Disjunctive Normal Form (DNF)
Conjunctive Normal Form (CNF)
...
||
変換後の形式サイズに対して多項式時間
X1
X3
X2
0
1

45
Knowledge Compilation [Darwich 02]
Binary Decision Diagram [Bryant 86]
論理関数を表現する DAG (有向非循環グラフ)
様々な論理演算をサポート
Zero-suppressed BDD [Minato 93]
アイテムセット（集合）を効率的に表現する BDD の一種
d-DNNF [Darwiche 01]
(多くの場合で) BDD よりもコンパクトな論理関数のDAG表現
コンパクトに圧縮される → 効率的に計算できる

46
Compiling Probabilistic Models
1.離散同時分布を論理式 F, Tij を用いて定義
2.適切なデータ構造に Compile (圧縮)
3.データ構造上で Dynamic Programming を実行
X1
X3
X2
0
1
Model
Ti1 = (X1∨X2)∧X3
Ti2 = ￢Til ∧ X4
Ti3 = ￢（Ti1∨Ti2)
....
Observation
F = X1 ∨ X2
1. Modeling
2. Compiling
3. Dynamic Programming
X1
X3
X2
0
1

47
目次
1.Compiling Bayesian Network
2.Probabilistic Logic Programming
3.Lifted Inference
4.発想の転換
5.まとめ

48
Compiling Bayesian Network
Bayesian Network (BN) [Pearl 85]
DAG + CPT で同時分布を定義
DAG = 条件付き独立を定義
CPT = 条件付き確率を定義
X1
X2
X3
X2⊥⊥X3 | X1
ID
x1=0
1
1
θ111
θ112
ID
x1
x2=0
1
1
0
θ211
θ212
2
1
θ221
θ222
ID
x1
x3=0
1
1
0
θ311
θ312
2
1
θ321
θ322

49
Belief Propagation (BP) [Pearl 82]
木構造 BN の周辺確率を計算
計算量は BN のサイズに比例
Junction Tree Algorithm [Lauritzen88]
一般のBNを木に変換
変換後の木で BP を実行
X3
X4
X5
X1
X2
m34(x3)
m35(x3)
m31(x3)
m32(x3)
Junction Tree
1
2
3
4
5
6
Bayesian Network
1,2,3
2,3,4
3,4,6
3,5,6
を効率に扱えない 

50
DAG + CPT を合わせて別の構造に Compile (圧縮)
変換後の構造上の DP で確率計算
→ Context Specific Independence を効率的に扱える
BDD に変換
[Ishihata+ 11a]
ZDD に変換 [Minato+ 07]
d-DNNF に変換
[Chavira+ 05, 07]

51
Probabilistic Logic Programming
Model (Language)
Structure
PRISM [Sato+ 01]
Explanation Graph / BDD
LPAD [Vennekens+ 04]
BDD
Markov Logic [Richardson+06]
d-DNNF
ProbLog [DeRaedt+07]
BDD / d-DNNF
EM algorithm on BDDs [Ishihata+ 08]
Variational Bayes on BDDs [Ishiahta+ 11b]
MCMC-Bayes on BDDs [Ishihata+ 11c]
述語論理を利用して確率モデルを定義 [DeRaedt+ 08]
Statistical Relational Learning とも呼ばれる [Getoor+ 07]
推論、学習を行う処理系を含む
詳しくは亀谷先生のチュートリアル参照
[亀谷 11]

52
Lifted Inference
当初 : Lifted Inference [Poole 03]
述語論理を利用して効率的に確率を定義・計算する
述語 : Friend(X,Y), Smoke(X), X, Y ∈ D
ルール : 0.9 ∀X,Y Smoke(X) ∧ Friend(X,Y) ⇒ Smoke(Y)
ドメイン : D ≡ {Alice, Bob, Charlie, ...}
確率変数: Friend(Alice, Bob), Friend(Alice, Charlie), ...
述語ルールで複数の確率変数の関係をまとめて記述

53
Lifted Inference
当初 : Lifted Inference [Poole 03]
述語論理を利用して効率的に確率を定義・計算する
述語 : Friend(X,Y), Smoke(X), X, Y ∈ D
ルール : 0.9 ∀X,Y Smoke(X) ∧ Friend(X,Y) ⇒ Smoke(Y)
ドメイン : D ≡ {Alice, Bob, Charlie, ...}
確率変数: Friend(Alice, Bob), Friend(Alice, Charlie), ...
現在 : Domain-lifted Inference [Broeck 11b]
確率推論がドメインサイズ |D| の多項式時間 O(Poly(|D|))
変数の数 = O( Poly(|D|) )
通常の計算量 = O( 2Poly(|D|) )
“効率的” = 曖昧な定義
Lift!!

54
Lifted Inference の Trick
Partial Exchangeability in First-Order Logic
述語論理 = 1ルールで複数変数の関係を記述
→ 似た関係をもつ変数が大量に発生
→ Partial Exchangeability
First-Order Model Counting [Broeck 11]
述語論理の MC を命題論理を経由せずに計算
述語論理の対称性を利用することで効率化

55
Lifted Inference の Trick
First-Order d-DNNF [Broeck 11a]
d-DNNF を述語論理に拡張
Partial Exchangeability を非常に効率的に表現
→ O(2Poly(N)) を O(Poly(N)) に削減
FO d-DNNF は万能か?? No!!
モデルの持つ対称性に依存
強い対称性を仮定 [Broack+ 12]
(２項関係の観測があると #P-hard)

56
発想の転換
従来の考え
論理で確率モデルを記述
論理を別形式 (BDD, d-DNNF,...) に Compile (圧縮)
別形式がコンパクトなら効率的に計算可能
発想の転換
はじめからコンパクトな形式で確率モデルを定義

57
Sum-Product Network
d-DNNF と似た構造を利用して p(x) を定義
•厳密計算 [Poon+ 11] ← UAI Best Paper
•パラメータ学習 [Gens+ 12] ← NIPS Best Paper
•構造学習 [Gens+ 13]
•ID-SPN [Rooshenas+ 14]
Sum-Product Network
Compiling BN to d-DNNF

58
Exchangeable Variable Model
Exchangeable Variable Model [Niepert+ 14b]
Exchangeable Component の混合分布
Naïve Bayes を Partial Exchangeability に一般化
単純な計算で SVM 並みの性能
Exchangeable Component
Partial Exchangeable が成り立つ変数集合 X の生成分布
T(X) の値 j を生成し、 T(x) = j なる x を一様に生成

59
Generating Graphical models [Ishihata+ 14]
•データは順序木で表現される構造を持つと仮定
•構造を元に効率的に計算できる範囲で Graphical Model を生成
文書データを表す順序木
Mixture, LDA, HMM その組合せを含む
様々なモデルからデータにあったものを生成

60
目次
4.論理を用いた確率計算の例
5.まとめ

61
まとめ
~ 2010 年
離散分布は複雑
離散分布は論理を用いて効率的に定義可能 (Probabilistic Logic)
論理はグラフ構造を用いて効率的に計算可能 (Knowledge Compilation)
2010年~
最も効率的に計算できるのはどのようなときか？ (Lifted Inference)
離散分布を直接効率的に計算できるグラフで定義 (Tractable model)
人工知能ブーム
Deep Learning に便乗
論理(やグラフ)という古き良き AI の技を ML 業界で流行らせたい
（という意図が見られる）

Reference

63
Knowledge Compilation
[Darwiche 02] Adnan Darwiche: “A Knowledge Compilation Map”, JAIR, 2002
[Bryant 86] Randal E. Bryant: "Graph-Based Algorithms for Boolean Function Manipulation”, IEEE Transactions on Computers, 1986
[Minato 93] Shin-ichi Minato: "Zero-suppressed BDDs for set manipulation in combinatorial problems", DAC '93
[Darwiche 01] Adnan Darwiche: “On the tractability of counting theory models and its application to belief revision and truth maintenance”, Journal of Applied Non- Classical Logics 2001

64
Bayesian Networks
[Pearl 85] Judea Pearl: “Bayesian Networks: A Model of Self-Activated Memory for Evidential Reasoning”, CogSci85
[Pearl 82] Judea Pearl: “Reverend Bayes on inference engines: A distributed hierarchical approach”, AAAI Press
[Kim+ 83] Jin H Kim, Judea Pearl: “A computational model for combined causal and diagnostic reasoning in inference systems”, IJCAI83
[Pearl 88] Judea Pearl: “Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems: Networks of Plausible Inference”
[Lauritzen88] Lauritzen, S.L. and Spiegelhalter, D.: “local computations with probabilities on graphical structures and their application to expert systems”, JRSS88
[Boutilier+ 96] C. Boutilier, N. Friedman, M. Goldszmidt, and D. Koller: “Context-Specific Independence in Bayesian Networks”, UAI96

65
Compiling Bayesian Networks
[Chavira+ 05] Mark Chavira, Adnan Darwiche: “Compiling Bayesian Networks with Local Structure”, IJCAI05
[Minato+ 07] S. Minato, K. Satoh, and T. Sato: “Compiling Bayesian Networks by Symbolic Probability Calculation Based on Zero-suppressed BDDs”, IJCAI07
[Chavira+ 07] “Compiling Bayesian Networks Using Variable Elimination ”, IJCAI07
[Ishihata+ 11] M. Ishihata, T. Sato and S. Minato: "Compiling Bayesian Networks for Parameter Learning based on Shared BDDs“, AAI11

66
Probabilistic Logic Programming
[Getoor+ 07] Lise Getoor and Ben Taskar: “Introduction to Statistical Relational Learning”, MIT Press
[DeRaedt+ 08] L. DeRaedt and K. Kersting: “Probabilistic inductive logic programming”, Springer
[Sato+ 01] T. Sato and Y. Kameya: “Parameter learning of logic programs for symbolic-statistical modeling”, JAIR
[Vennekens+ 04] Vennekens, J., Verbaeten, S., Bruynooghe, M.: “Logic programs with annotaqted disjunctions”, ICLP04
[Richardson+ 06] M. Richardson and P. Domingos: “Markov logic networks”, Machine Learning
[DeRaedt+ 07] L. De Raedt, A. Kimming and H. Toivonen: “ProbLog: a probabilistic Prolog and its application in link discovery”, IJCAI07
[亀谷 11] 亀谷由隆: “論理に基づく確率モデリングのこれまで，これから”, 第 4回 IBISML チュートリアル

67
Lifted Inference
[Poole 03] David Poole “First-order probabilistic inference”, IJCAI03
[Broeck 11a] Guy Van den Broeck, Nima Taghipour, Wannes Meert, Jesse Davis and Luc De Raedt: “Lifted Probabilistic Inference by First-Order Knowledge Comppilation”, IJCAI11
[Broeck 11b] Guy Van den Broeck: “On the completeness of first-order knowledge compilation for lifted probabilistic inference”, NIPS11
[Broeck+ 12] Guy Van den Broeck and Adnan Darwiche: “On the complexity and approximation of binary evidence in lifted inference”, NIPS12
[Niepert+ 14a] Mathias Niepert and Guy Van den Broeck: “Tractability through Exchangeability: A New Perspective on Efficient Probabilistic Inference”, AAAI’14

68
Tractable Probabilistic Models
[Poon+ 11] Hoifung Poon and Pedro Domingos: “Sum-Product Networks: A New Deep Architecture”, UAI11
[Gens+ 12] Robert Gens and Pedro Domingos: “Discriminative Learning of Sum-Product Networks”, NIPS12
[Gens+ 13] Robert Gens and Pedro Domingos: “Learning the Structure of Sum-Product Networks”, ICML13
[Rooshenas+ 14] Amirmohammad Rooshenas and Daniel Lowd: “Learning Sum-Product Networks with Direct and Indirect Variable Interactions”, ICML14
[Niepert+ 14b] Mathias Niepert and Pedro Domingos: “Exchangeable Variable Models”, ICML14
[Ishihata+ 14] Masakazu Ishihata and Tomoharu Iwata: “Generating structure of latent variable models for nested data”, UAI14

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