数学プログラムを Haskell で書くべき 6 の理由
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筑波大学計算機数学グループ春の館山合宿での講演「数学プログラムを Haskell で書くべき６の理由」の発表資料。実際の講演映像は https://www.youtube.com/watch?v=S4_7KVNA-Ww
![遅延評価の例
可算無限の対象を扱える（列挙できるなら）
下：素数から成る無限リスト（注：これはとても非効率）
全部読もうとすると当然止まらないが、一部分だけ使う分
には問題ない
sieve [] = []
sieve (n : ns) =
n : sieve [ m | m ← ns, m `mod` n ≠ 0]
!
primes = 2 : sieve [3, 5 ..]
!
primesUpto100 = takeWhile (≦ 100) primes](https://image.slidesharecdn.com/slide-140313013841-phpapp01/85/Haskell-6-26-320.jpg)
![型安全性と型の意味
そもそも型とは？
○ 値の種類を表すタグ
int は自然数、char は文字、[int] はint値のリスト etc, etc...
◎ 値や関数の不変条件の表明
実際に不変条件として振る舞うには、システムが型安全性を
満たす必要がある
Haskell の型は十分強力なので、配列の境界条件や変数条件
などを型の制約として書ける
安全性を静的に保証出来る！](https://image.slidesharecdn.com/slide-140313013841-phpapp01/85/Haskell-6-30-320.jpg)
![モナドによる副作用の制御
圏論のモナドの概念を使って副作用を抽象化する
副作用を持ち得る値はモナドに包んで扱う
型 a を持つけど何らかの意味で副作用を含むものをモナドで包んで
m a 型の値として区別する
代表的なモナド
入出力：IO、非決定性計算：リスト、失敗計算：Maybe、
破壊的代入：ST などなど
IO Int : 入出力を伴った整数、
[String]：文字列のリストまたは文字列を使った非決定性計算](https://image.slidesharecdn.com/slide-140313013841-phpapp01/85/Haskell-6-37-320.jpg)
![例：クィックソート
一般的に Haskell の例として出される qsort
実はこれは偽物
pivot してない、in-place じゃない、遅い……
qsort :: [Int] → [Int]
qsort [] = []
qsort (a : as) =
qsort [x | x ← xs, x ≦ a] ++ [a]
++ qsort [y | y ← ys, y > a]](https://image.slidesharecdn.com/slide-140313013841-phpapp01/85/Haskell-6-39-320.jpg)
![例：クィックソート
破壊的変更による本物のクィックソート（抜粋）
（出典：Quicksort in Haskell）
qsort' l r =
if1 (r > l) $ do
i ← auto l
j ← auto (r+1)
let v = a[l] :: E m a
iLTj = i < (j :: E m i)
while iLTj $ do
while ((i += 1) < mub && a[i] < v)
skip
while (a[j -= 1] > v) skip
if1 iLTj $ a[i] =:= a[j]
a[l] =:= a[j]
qsort' l (j-1)
qsort' i r](https://image.slidesharecdn.com/slide-140313013841-phpapp01/85/Haskell-6-40-320.jpg)
数学プログラムを Haskell で書くべき 6 の理由
- 3. 発表内容 純粋関数型言語 Haskell の紹介 今年一年間 Haskell で計算機代数ライブラリを 書いてきた経験を踏まえて 実装や言語の詳細は後程捕まえて いて下さい
- 7. 要するに？
- 10. Haskell は 記述力が凄い
- 11. 何がどのように？
- 18. 宣言的・純粋関数型
- 19. 宣言的・純粋関数型 C, Ruby……命令的・手続型 何をどうするか記述する （命令する） ループが基本 def fib(n) a = b = 1 for i in 1..n a, b = b, a + b end return a end
- 20. 宣言的・純粋関数型 C, Ruby……命令的・手続型 何をどうするか記述する （命令する） ループが基本 Haskell：宣言的、関数型 何がどうであるか記述する （宣言する） 再帰が基本 def fib(n) a = b = 1 for i in 1..n a, b = b, a + b end return a end fib :: Int → Int → Int fib 0 = 1 fib 1 = 1 fib n = fib (n-2) + fib (n-1)
- 21. 宣言的・純粋関数型 C, Ruby……命令的・手続型 何をどうするか記述する （命令する） ループが基本 Haskell：宣言的、関数型 何がどうであるか記述する （宣言する） 再帰が基本 def fib(n) a = b = 1 for i in 1..n a, b = b, a + b end return a end fib :: Int → Int → Int fib 0 = 1 fib 1 = 1 fib n = fib (n-2) + fib (n-1) 宣言型の方が数学の「定義」に近い
- 22. 代数的データ型 Haskell における共用体・構 造体（のようなもの） 既存の型の直積・直和で表 現 再帰的な定義も余裕 数学の定義をそのまま書き起 こせる data Bool = False | True data List a = Nil | Cons a (List a) ! data Expr = Num Integer | Neg Expr | Plus Expr Expr | Mult Expr Expr | If Expr Expr Expr
- 23. パターンマッチ 帰納的に定義した型の値を、その形によって場合分 けできる 再帰的にデータを走査する際に便利 例：構文木の評価 eval :: Expr -> Int eval (Num i) = i eval (Neg i) = negate (eval i) eval (Plus n m) = eval n + eval m eval (Mult n m) = eval n * eval m eval (If p t f) = if p == 0 then f else t
- 25. 遅延評価 Haskell は必要になるまで値を評価しない C, Ruby の && や ¦¦ の振舞いに似ている これらは第一引数の値で結果が決まる場合、 第二引数は評価しない Haskell ではデフォルトで全てがこの評価戦略
- 26. 遅延評価の例 可算無限の対象を扱える（列挙できるなら） 下：素数から成る無限リスト（注：これはとても非効率） 全部読もうとすると当然止まらないが、一部分だけ使う分 には問題ない sieve [] = [] sieve (n : ns) = n : sieve [ m | m ← ns, m `mod` n ≠ 0] ! primes = 2 : sieve [3, 5 ..] ! primesUpto100 = takeWhile (≦ 100) primes
- 29. 強力な型システム（1） 静的型付き：コンパイル時に型をチェック（これはCも同じ） Ruby など：実行時に型エラーで不正終了することがある こうしたバグが防げるだけで、デバッグが格段に楽になる 型推論：コンパイラが型を推定してくれるので、大抵型を自分 で書かなくても大丈夫 型安全 型が付いたプログラムは（何かの意味で）絶対に刺さらない C, C++, ... : 型安全ではない：cast や printf で簡単にSEGV Haskell, OCaml：型安全である
- 30. 型安全性と型の意味 そもそも型とは？ ○ 値の種類を表すタグ int は自然数、char は文字、[int] はint値のリスト etc, etc... ◎ 値や関数の不変条件の表明 実際に不変条件として振る舞うには、システムが型安全性を 満たす必要がある Haskell の型は十分強力なので、配列の境界条件や変数条件 などを型の制約として書ける 安全性を静的に保証出来る！
- 31. 強力な型システム（2） 型クラス（アドホック多相） 似た操作・演算を持つ型を抽象化出来る オブジェクト指向の mix-in やトレイトに相当 応用例：有理数型や有限体型に対して個別に線型代数やグレブナー 基底計算を実装するのではなく、一般の体について実装出来る class Field k where zero :: k one :: k (+) :: k -> k -> k (*) :: k -> k -> k recip :: k -> Maybe k
- 32. 強力な型システム（3） 多相型（パラメトリック多相） リストや木など、中身に関係のないデータ構造 や関数を総称的に定義出来る 以下は二分木とその深さの例 data Tree a = Leaf a | Branch (Tree a) (Tree a) ! depth :: Tree a -> Int depth (Leaf _) = 0 depth (Branch t t') = 1 + max (depth t) (depth t')
- 34. 柔軟な副作用の制御 副作用とは？ Haskell は純粋関数型言語 Haskell の関数は全て数学的な意味での関数 純粋 = 同じ引数に対して同じ値を返す 最適化や並列化に有利・定義順を気にしなくてよい 副作用……関数の純粋性を破るような作用 入出力、乱数の生成、etc...
- 37. モナドによる副作用の制御 圏論のモナドの概念を使って副作用を抽象化する 副作用を持ち得る値はモナドに包んで扱う 型 a を持つけど何らかの意味で副作用を含むものをモナドで包んで m a 型の値として区別する 代表的なモナド 入出力：IO、非決定性計算：リスト、失敗計算：Maybe、 破壊的代入：ST などなど IO Int : 入出力を伴った整数、 [String]：文字列のリストまたは文字列を使った非決定性計算
- 38. モナドを理解せずとも Haskell は使える 型レベルで副作用が区別されることが大事 IO モナドや ST モナドの場合、副作用を外に取り出すことは 出来ない C とか Ruby のように、手続型っぽく副作用を書くことが出来る 自前の「モナド」を定義でき、DSL が手軽に作れる 使う副作用の種類を限定でき、型によって副作用を使う場所が区 別出来る 代入や破壊的変更によるバグを防げる
- 39. 例：クィックソート 一般的に Haskell の例として出される qsort 実はこれは偽物 pivot してない、in-place じゃない、遅い…… qsort :: [Int] → [Int] qsort [] = [] qsort (a : as) = qsort [x | x ← xs, x ≦ a] ++ [a] ++ qsort [y | y ← ys, y > a]
- 40. 例：クィックソート 破壊的変更による本物のクィックソート（抜粋） （出典：Quicksort in Haskell） qsort' l r = if1 (r > l) $ do i ← auto l j ← auto (r+1) let v = a[l] :: E m a iLTj = i < (j :: E m i) while iLTj $ do while ((i += 1) < mub && a[i] < v) skip while (a[j -= 1] > v) skip if1 iLTj $ a[i] =:= a[j] a[l] =:= a[j] qsort' l (j-1) qsort' i r
- 43. 時間切れorz
- 45. 入門書 すごい Haskell 楽しく学ぼう！ 他言語での経験がある人向けの、肩肘の張らない解説書の邦訳 関数プログラミング入門 Haskell で学ぶ原理と技法 Haskell を使って、関数型プログラミングの考え方を基礎から学ぶ良書。 型システム入門 型システムに関する定番教科書の邦訳。 この三冊にはレビュアーとして参加してたりします（自慢） Purely Functional Data Structures 純粋関数型を生かしたデータ構造の解説書