SAT/SMTソルバの仕組み
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Proof Summit 2015 <http: /> で発表した、SAT/SMTソルバの仕組みです。 Proofということで、論理学的側面からの面白さを出来るだけ紹介しています。
![SATの入力
普通のSATソルバは任意の論理式ではなく、
CNF形式の論理式を扱う
CNF = Conjunctive Normal Form
リテラル ::= 変数 | ￢変数
節 ::= リテラル ∨ … ∨ リテラル
CNF ::= 節 ∧ … ∧ 節
ただし、任意の論理式は充足可能性が同値(equi-satisfiable)
な線形サイズのCNFへと変換可能 [Tseitin68]](https://image.slidesharecdn.com/sat-smt-solver-mechanism-150913044707-lva1-app6892/85/SAT-SMT-13-320.jpg)
![Tseitin encoding
部分式を変数に置き換え、それが元の部分式と同値で
あるという制約を追加
例)
φ[a∧b]
φ[c] ∧ (c a∧b) … cはフレッシュな変数
φ[c] ∧ ￢c∨a ∧ ￢c∨b ∧ c∨￢a∨￢b
このような置き換えを再帰的に繰り返すことによって、
任意の論理式をCNFに変換可能](https://image.slidesharecdn.com/sat-smt-solver-mechanism-150913044707-lva1-app6892/85/SAT-SMT-14-320.jpg)
![デモ: toysat
$ toysat UF250.1065.100/uf250-01.cnf
…
c #vars 250
c #constraints 1065
c Solving starts ...
c ============================[ Search Statistics ]============================
c Time | Restart | Decision | Conflict | LEARNT | Fixed | Removed
c | | | | Limit GC | Var | Constra
c =============================================================================
c 0.0s | 0 | 0 | 0 | 438 0 | 0 | 0
c 0.0s | 1 | 155 | 100 | 438 0 | 0 | 0
c 0.1s | 2 | 343 | 250 | 482 0 | 0 | 0
c 0.1s | 3 | 602 | 475 | 531 0 | 0 | 0
c 0.1s | 4 | 1014 | 813 | 585 1 | 0 | 0
c 0.2s | 5 | 1622 | 1320 | 644 3 | 0 | 0
c 0.4s | 6 | 2560 | 2081 | 780 4 | 0 | 0
c 0.6s | 7 | 3927 | 3223 | 859 7 | 0 | 0
c 1.1s | 8 | 5948 | 4936 | 945 11 | 0 | 0
c 1.6s | 9 | 9039 | 7506 | 1040 16 | 0 | 0
c 2.3s | 10 | 13555 | 11361 | 1144 23 | 0 | 0
c 3.3s | 10 | 19494 | 16361 | 1144 32 | 0 | 0
c 3.4s | 11 | 20419 | 17144 | 1259 33 | 0 | 0
c 4.0s | 11 | 23520 | 19665 | 1259 37 | 0 | 0
c #cpu_time = 3.872s
c #wall_clock_time = 3.957s
c #decision = 23520
c #random_decision = 105
c #conflict = 19665
c #restart = 11
s SATISFIABLE
v -1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10
v -11 -12 -13 14 15 16 17 -18 19 20
v 21 22 -23 -24 25 26 -27 28 29 -30
v 31 32 -33 34 -35 36 37 -38 39 -40
…
p cnf 250 1065
-159 -234 197 0
-71 13 194 0
45 -218 38 0
191 -129 -88 0
117 -164 -29 0
107 53 115 0
167 111 -57 0
-115 94 98 0
25 -51 -165 0
247 31 -64 0
156 228 11 0
64 199 -162 0
1 173 -54 0
136 -98 -215 0
201 -206 159 0
-223 -137 7 0
-34 220 236 0
-155 -92 217 0
…
↓入力ファイル 実行例
¬x159∨¬x234∨x197
充足可能
x1=false, x2=false,
x3=true, …](https://image.slidesharecdn.com/sat-smt-solver-mechanism-150913044707-lva1-app6892/85/SAT-SMT-21-320.jpg)
![代表的な理論: 算術
Linear Real Arithmetics (LRA)
実数(有理数)上の線形算術 (≒ 線形計画 w/o 最適化)
アルゴリズム例: 単体法, Fourier-Motzkin, Virtual Substitution
Linear Integer Arithmetics (LIA)
整数上の線形算術 (≒ 整数線形計画 w/o 最適化)
アルゴリズム例: 単体法+B&B+切除平面, Omega test, Cooper
Non-linear Real Arithmetics (NRA)
実数上の一般の算術 (≒ 多項式計画 w/o 最適化)
アルゴリズム例: Cylindrical Algebraic Decomposision, Virtual
Substitution, Gröbner Basis
Non-linear Integer Arithmetics (NIA)
整数上の一般の算術 (≒ ディオファントス方程式)
一般には決定不能[Matiyasevich70]](https://image.slidesharecdn.com/sat-smt-solver-mechanism-150913044707-lva1-app6892/85/SAT-SMT-33-320.jpg)
SAT/SMTソルバの仕組み
- 1. SAT/SMTソルバのしくみ 酒井 政裕 2015-09-12 Proof Summit 2015 改訂版
- 2. Twitter: @masahiro_sakai github: https://github.com/msakai/ G+: https://plus.google.com/+MasahiroSakai ブログ: ヒビルテ Haskeller 共訳書に Alloy本 や TaPL 定理証明や決定手続きに興味 https://github.com/msakai/toysolver 今日はその中から、SAT/SMTソルバについて紹介 自己紹介: 酒井 政裕
- 4. Courserian 最近はCourseraでデータ分析・機械学習に 手を出してみたりも。 Computing for Data Analysis by Roger D. Peng @ Johns Hopkins University Data Analysis by Jeff Leek @ Johns Hopkins University Machine Learning by Andrew Ng @ Stanford University Introduction to Recommender Systems by Joseph A Konstan and Michael D Ekstrand @ University of Minnesota Process Mining: Data science in Action by Wil van der Aalst @ Eindhoven University of Technology などなど 朝日新聞 2013.8.22 教育欄 「ネット講義 東大を世界に」 NHKクローズアップ現代2013.09.17 「あなたもハーバード大へ ∼広がる無料オンライン講座∼」 『ルポ MOOC革命』 金成 隆一
- 5. 本日のお題 (1) : SAT SAT = SATisfiability Problem 論理式の充足可能性問題 論理変数を含む命題論理式が与えられたとき、 「それを真にする(=充足する)割り当て」があるか? 例: (P∨Q) ∧ (P∨￢Q) ∧ (￢P∨￢Q) 充足可能 (P = true, Q = false のときに真) 例: (P∨Q) ∧ (P∨￢Q) ∧ (￢P∨￢Q) ∧ (￢P∨Q) 充足不能 SATソルバは命題論理式の充足可能性を判定 充足可能な場合には割り当ても出力
- 6. 本日のお題 (2) : SMT SMT = Satisfiability Modulo Theories 例: 0 ≦ b ∧ b < 10 ∧ (2×b + 1 = c ∨ read(a,b) = 0) ∧ f(read(write(a,b,3), c-2)) ≠ f(c-b+1) を真にする a, b, c, f の解釈は存在するか? SATが命題論理なのに対して、SMTは述語論理の 豊かな表現力 SATソルバの次としてソフトウェア検証などで普及 詳細は後述
- 7. 特徴: 速くて便利 SATは古典的なNP完全問題だが、近年SATソルバは著しく高性能化 様々な問題を、SAT/SMT問題へとエンコードし、ソルバを用いて解くアプローチ が普及 ソフトウェア・ハードウェア検証、プランニング、… 利点 ソルバの進歩によるメリットを享受 「制約生成」「制約解消」という関心事の分離 開発効率の向上＆メンテナンス容易性 欠点 (ICFP Programming Contest のオーガナイザの話) “Elegant general-purpose formulations in terms of constraint solving: Relatively easy to code up and obtain decent results” “But, hand-tuned solutions are going to do better ... MUCH BETTER”
- 8. 特徴: 論理学的に面白い 証明論やモデル論の基本が応用に直結していて、面白い 証明論的なアプローチとモデル論的なアプローチの組合せ クレイグの補間定理 (Craig’s interpolation theorem) レーヴェンハイム-スコーレムの定理 (Löwenheim–Skolem theorem) などなど Proof Summit 的にもどう？
- 9. 充足可能性 vs. 定理証明 論理式の分類 恒真 (valid) 任意の割り当てで真: M ⊧ φ for all M 例: P∨￢P, 3 > 2 充足可能 (satisfiable) 真になる割り当てが存在: M ⊧ φ for some M 例: P∨￢Q, 3 > x, P∨￢P 充足不能 (unsatisfiable) 真になる割り当てが存在しない: M ⊭ φ for all M 例: P∧￢P, x > 2 ∧ 0 ≧ x 定理証明と充足可能性の関係 (完全性より) φが証明可能 φが恒真 (￢φ)が充足不可能 すなわち、φを証明するには￢φが充足不可能なことを示せばよい。 valid satisfiable unsatisfiable
- 10. SAT編
- 11. SATの性能向上の歴史 1986 BDD ≈ 100 var 1992 GSAT ≈ 300 var 1996 Stålmarck ≈ 1000 var 1996 GRASP ≈1k var 1960 DP ≈10 var 1988 SOCRATES ≈ 3k var 1994 Hannibal ≈ 3k var 1962 DLL ≈ 10 var 2001 Chaff ≈10k var 1996 SATO ≈1k var B.C. (Before Chaff) 時代 http://www.cs.cmu.edu/~emc/spring06/home_files/zchaff4ed.new.ppt
- 12. SATの性能向上の歴史(2) 1996 GRASP: ブレイクスルーの始まり (学習の導入) 2001 Chaff: 今のソルバの基本形 2005 Minisat: オープンソースでコンパクト SAT 2005 competition の3つのindustrial category を総なめ。 以降広く利用 ＆ソルバ開発のベースラインに 2015現在 今の規模感 数百万変数・1千万以上の制約 (industrialな問題) 規模が小さくても難しい問題はあるので、一概には言えない
- 13. SATの入力 普通のSATソルバは任意の論理式ではなく、 CNF形式の論理式を扱う CNF = Conjunctive Normal Form リテラル ::= 変数 | ￢変数 節 ::= リテラル ∨ … ∨ リテラル CNF ::= 節 ∧ … ∧ 節 ただし、任意の論理式は充足可能性が同値(equi-satisfiable) な線形サイズのCNFへと変換可能 [Tseitin68]
- 14. Tseitin encoding 部分式を変数に置き換え、それが元の部分式と同値で あるという制約を追加 例) φ[a∧b] φ[c] ∧ (c a∧b) … cはフレッシュな変数 φ[c] ∧ ￢c∨a ∧ ￢c∨b ∧ c∨￢a∨￢b このような置き換えを再帰的に繰り返すことによって、 任意の論理式をCNFに変換可能
- 15. SATのアルゴリズム 素朴なアイディア: 全組み合わせを列挙 (バックトラッキング) P=true P=false Q=falseQ=true 制約伝播 (Unit Propagation) 割り当ての結果、節の一つ以外のリテラ ルが全て偽になったら、最後のリテラル を真にするよう割り当てる 例: P ∨ ￢Q ∨ ￢R という節があり、 P=false, R=true という割り当てが なされたら、Qにfalseを割り当てる コンフリクト (=どれかの 節が偽に) M ⊧ φ なるM を探す モデル論的アプローチ
- 16. SATのアルゴリズム: 学習の必要性 Those who do not learn from their mistakes are doomed to repeat them 長い探索の果てに、 Pとは無関係に 充足不能なことが判明 同じ探索を再度繰り返す？ Pの値を変えても充足不能 なことは明らか。 学習と制約伝播により回避できる P=true P=false
- 17. 矛盾からの学習 Conflict-driven Clause Learning (CDCL) 学習 部分問題が充足不能と判明したとき、その原因と同じ割り当てをしない制 約(学習節)を追加 (制約伝播をどこまで るか等の方式は色々) 例: 割り当て P=true,Q=false,R=false が原因なら ￢P∨Q∨R 論理的には導出原理(resolution)による推論で、 学習節 C は元の論理式から含意される (φ ⊢ C) 非時間的バックトラック (Non-chronological backtracking) 直前ではなく、コンフリクト原因を修正できるところまでバックトラック 最終的に空節が導出された(φ ⊢ ⊥)ら、φは充足不能 学習の仮定を記録しておけば、¬φの証明も生成可能 証明論的
- 18. CDCLの動作の様子 How a CDCL SAT solver works http://www.slideshare.net/sakai/how-a-cdcl-sat-solver-works
- 20. 代表的なソルバ 良く使われるオープンソースのソルバ Minisat (C++), picosat (C), SAT4J (Java) アプリ組み込みにはこれらを使うことが多い 性能的にはベストではないが、使い勝手は良い 試したこと無いけど、Google Optimization Tools にも SATソルバが入ったっぽい？ 最近の競技会で好成績のソルバ Lingeling, glueminisat, CryptoMiniSat, … おまけ 私が学習用に書いた pure Haskell な SATソルバ toysat (拙作のtoysolverパッケージに入ってる)
- 21. デモ: toysat $ toysat UF250.1065.100/uf250-01.cnf … c #vars 250 c #constraints 1065 c Solving starts ... c ============================[ Search Statistics ]============================ c Time | Restart | Decision | Conflict | LEARNT | Fixed | Removed c | | | | Limit GC | Var | Constra c ============================================================================= c 0.0s | 0 | 0 | 0 | 438 0 | 0 | 0 c 0.0s | 1 | 155 | 100 | 438 0 | 0 | 0 c 0.1s | 2 | 343 | 250 | 482 0 | 0 | 0 c 0.1s | 3 | 602 | 475 | 531 0 | 0 | 0 c 0.1s | 4 | 1014 | 813 | 585 1 | 0 | 0 c 0.2s | 5 | 1622 | 1320 | 644 3 | 0 | 0 c 0.4s | 6 | 2560 | 2081 | 780 4 | 0 | 0 c 0.6s | 7 | 3927 | 3223 | 859 7 | 0 | 0 c 1.1s | 8 | 5948 | 4936 | 945 11 | 0 | 0 c 1.6s | 9 | 9039 | 7506 | 1040 16 | 0 | 0 c 2.3s | 10 | 13555 | 11361 | 1144 23 | 0 | 0 c 3.3s | 10 | 19494 | 16361 | 1144 32 | 0 | 0 c 3.4s | 11 | 20419 | 17144 | 1259 33 | 0 | 0 c 4.0s | 11 | 23520 | 19665 | 1259 37 | 0 | 0 c #cpu_time = 3.872s c #wall_clock_time = 3.957s c #decision = 23520 c #random_decision = 105 c #conflict = 19665 c #restart = 11 s SATISFIABLE v -1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10 v -11 -12 -13 14 15 16 17 -18 19 20 v 21 22 -23 -24 25 26 -27 28 29 -30 v 31 32 -33 34 -35 36 37 -38 39 -40 … p cnf 250 1065 -159 -234 197 0 -71 13 194 0 45 -218 38 0 191 -129 -88 0 117 -164 -29 0 107 53 115 0 167 111 -57 0 -115 94 98 0 25 -51 -165 0 247 31 -64 0 156 228 11 0 64 199 -162 0 1 173 -54 0 136 -98 -215 0 201 -206 159 0 -223 -137 7 0 -34 220 236 0 -155 -92 217 0 … ↓入力ファイル 実行例 ¬x159∨¬x234∨x197 充足可能 x1=false, x2=false, x3=true, …
- 25. SMT = SATソルバ + 理論ソルバ 発想 SATソルバを専用ソルバ（例えば算術演算に関する ソルバ）と組み合わせて、弱点を克服 構成 論理的な構造はSATが担当 背景理論に関する推論(例: a ≧ 2 a ≠ 0)は その理論のソルバが担当
- 26. SMTの動作: オフライン版 a>0 ∨ b-2c≧0, ￢(a > 0) ∨ b=c, ￢(a > 0) ∨ c≧a, b<c ∨ c≧a P ∨ Q, ￢P ∨ R, ￢P ∨ S, T ∨ S Boolean abstraction UNSAT SAT a>0 ∧ b-2c≧0 ∧ b=c ∧ c≧a ∧￢(b<c) P=Q=R=S=true T=false {a>0, b- 2c≧0, b=c, c≧a} が矛盾SAT リテラル の連言 UNSAT ￢P∨￢Q ∨￢R∨￢S 制約追加 SATソルバ 理論 ソルバ
- 27. SMTの動作: DPLL(T) 今普及している手法(Lazy SMT) DPLL(T) SATソルバと理論ソルバが「オンライン」で連携 SATソルバ 理論ソルバ SATソルバが終了してから理論ソルバを呼ぶのではなく、 命題変数に真偽を割り当てるたびに、理論ソルバ側に制約を追加。 適当なタイミングで整合性を検査。 バックトラックする際に、理論ソルバ側から制約を削除。 理論ソルバ SATソルバ 理論ソルバが矛盾を検出した時点で枝刈り＆学習 含意される原子論理式の真偽の割り当て 例: a = 0, a > 0 という原子論理式が それぞれP, Q という論理変数で表さ れているとして、Pにtrueが割り当てられたときに、Qにfalseを割り当てる。
- 28. (改めて) SMT問題 （量化子を含まない）一階述語論理式が対象 SATの命題論理に対して、豊かな表現力 背景理論(theory) のもとでの充足可能性 理論: 「公理系」「推論に関して閉じた論理式集合」「モデ ルのクラス」 (どの定義を用いるかは流儀による) 実際的には、一部の述語/関数/定数(例: ≦, +, read, 3.0) の解釈が固定されていると思えば良い 固有のソルバを使って高速に推論
- 29. 自動定理証明器との違い SMT 一部述語・関数(e.g. ≦, +, read)の解釈が背景理論に よって固定 固定された解釈に基づいた高速な専用アルゴリズムを活用 量化子への対応は限定的 決定可能な場合を扱い、高速 一階述語論理の(古典的な)自動定理証明 解釈は固定されていない そのためすべてを明示的に公理化する必要 量化子も自由に扱え、汎用度は高い 一般には半決定可能でしかなく、低速 例: ペアノ算術 ∀x. 0≠s(x) ∀x1, x2. s(x1)=s(x2) x1=x2, ∀a,b. a+s(b)=s(a+b) …
- 30. SMTで使われる理論 任意に解釈可能な関数と等号に関する理論 (公理が空集合) 整数や有理数上の（線形｜非線形）算術 配列の理論 ソフトウェア・ハードウェア検証でのメモリのモデル化など ビットベクタの理論 ソフトウェア・ハードウェア検証での整数型のモデル化など （余）帰納的データ型の理論 (List ::= Nil | Cons A List) 文字列の理論 言語処理系向けのテストケース生成、SQLインジェクション 脆弱性探しなど 浮動小数点数の理論
- 31. 代表的な理論: EUF EUF (Equality and Uninterpreted Function) 任意に解釈してよい関数と等号に関する理論 変数もゼロ引数の関数記号(定数記号)として考える 公理無しの一番基本的な「理論」 例: f(b) = c ∧ f(c) = a ∧ g(a) = h(a,a) ∧ ￢(g(b) = h(c,b)) は充足可能？ これに b = c を追加した場合はどうか? ソルバのアルゴリズム: Union-Find を拡張したアルゴリズムで Congruence Closure を計算するなど
- 32. (set-logic QF_UF) (set-option :produce-models true) (declare-sort U 0) (declare-fun f (U) U) (declare-fun g (U) U) (declare-fun h (U U) U) (declare-fun a () U) (declare-fun b () U) (declare-fun c () U) (assert (= (f b) c)) (assert (= (f c) a)) (assert (= (g b) (h a a))) (assert (not (= (g b) (h c b)))) (check-sat) (get-model) (assert (= b c)) (check-sat) $ cvc4 --incremental test.smt2 sat (model ; cardinality of U is 5 (declare-sort U 0) ; rep: @uc_U_0 ; rep: @uc_U_1 ; rep: @uc_U_2 ; rep: @uc_U_3 ; rep: @uc_U_4 (define-fun f ((_ufmt_1 U)) U (ite (= @uc_U_2 _ufmt_1) @uc_U_0 @uc_U_2)) (define-fun g ((_ufmt_1 U)) U @uc_U_3) (define-fun h ((_ufmt_1 U) (_ufmt_2 U)) U (ite (= @uc_U_0 _ufmt_1) (ite (= @uc_U_0 _ufmt_2) @uc_U_3 @uc_U_4) @uc_U_4)) (define-fun a () U @uc_U_0) (define-fun b () U @uc_U_1) (define-fun c () U @uc_U_2) ) unsat ← 入力ファイル ↓実行例
- 33. 代表的な理論: 算術 Linear Real Arithmetics (LRA) 実数(有理数)上の線形算術 (≒ 線形計画 w/o 最適化) アルゴリズム例: 単体法, Fourier-Motzkin, Virtual Substitution Linear Integer Arithmetics (LIA) 整数上の線形算術 (≒ 整数線形計画 w/o 最適化) アルゴリズム例: 単体法+B&B+切除平面, Omega test, Cooper Non-linear Real Arithmetics (NRA) 実数上の一般の算術 (≒ 多項式計画 w/o 最適化) アルゴリズム例: Cylindrical Algebraic Decomposision, Virtual Substitution, Gröbner Basis Non-linear Integer Arithmetics (NIA) 整数上の一般の算術 (≒ ディオファントス方程式) 一般には決定不能[Matiyasevich70]
- 34. (set-logic QF_AUFLIRA) (set-option :produce-models true) (declare-fun x1 () Real) (declare-fun x2 () Real) (declare-fun x3 () Real) (declare-fun x4 () Int) (assert (<= (+ (- x1) x2 x3 (* 10.0 x4)) 20.0)) (assert (<= (+ x1 (- (* 3.0 x2)) x3) 30.0)) (assert (= (+ x2 (- (* 3.5 x4))) 0.0)) (assert (<= 0.0 x1)) (assert (<= x1 40.0)) (assert (<= 0.0 x2)) (assert (<= 0.0 x3)) (assert (<= 2 x4)) (assert (<= x4 3)) (check-sat) (get-model) $ cvc4 --incremental test2.smt2 sat (model (define-fun x1 () Real 7) (define-fun x2 () Real 7) (define-fun x3 () Real 0) (define-fun x4 () Int 2) ) $ ← 入力ファイル ↓実行例
- 35. 理論ソルバ 基本的には既存アルゴリズムを利用するが、SMT特 有の要件もある 1. インクリメンタルに制約を追加可能 2. 制約の追加前の状態に(低コストで)戻せる SATソルバのバックトラック時の処理 3. ∧C の 矛盾時に、出来るだけ小さな原因(= Cの矛 盾する部分集合)を発見可能 小さい方がSAT側の制約伝播・枝刈りに効率的 4. 含意される制約を(低コストで)発見可能 SATソルバへの制約伝播のため 5. インターフェース等号の導出機能 (後述)
- 36. 主なSMTソルバ Z3 (Microsoft Research) 性能および機能の双方で独走 以前は商用利用に制限があったが、オープンソース化 CVC4 (NYU and U Iowa) オープンソースの定番ソルバ。Z3とはまた違う実験的な機能も yices (SRI) Z3以前に一時代を築いたソルバ。最近ソースが公開。 MathSAT … 定評のあるアカデミックなソルバ Boolector … 配列やビットベクタの理論に特化したソルバ OpenSMT … 開発は止まってるがシンプルな実装で学習に良い？ (おまけ) toysat SATソルバに理論ソルバ用のフックを追加したところで止まってる
- 38. Theory Combination 背景理論T1, T2を組み合わせた論理式の充足可能性を判 定したい 例 (EUF ∪ LIA): 2a ≧ b + f(g(c)) ∧ f(b) = c ∧ f(c) = a ∧ g(a) < h(a, a) ∧ g(b) > h(c, b) ∧ b = c T1の理論ソルバと、T2の理論ソルバはあるとする それらを使って T1∪T2 の理論ソルバを構成できるか?
- 39. Theory Combinationの課題 (T1∪T2)-論理式 φ が与えられたとする まずφを充足可能性同値なφ1∧φ2に変形 T1-論理式φ1、T2-論理式φ2 φ1 と φ2 は変数(定数記号)と等号以外の記号 を共有しない 課題 φ1,φ2がそれぞれT1-充足可能,T2-充足可能で あっても、φ1∧φ2 が (T1∪T2)-充足可能とは 限らない 注: 本当は「T-論理式」という言い方はせず、TのシグニチャΣを定義して、 「Σ-論理式」と呼ぶべきだが、ここでは簡略化して書いている
- 40. Craig interpolation theorem クレイグの補間定理 φ1 φ2 ならば φ1, φ2 に共通する記号しか含まない論理式εが存在し φ1 ε かつ ε φ2 同値な表現 φ1 ∧ φ2 が矛盾するなら φ1, φ2 に共通する記号しか含まない論理式εが存在し φ1 ε かつ ε φ2 が矛盾 SMTの場合 T1, T2 を等号と変数のみしか共有しないようにしておく φ1 ∧ φ2 が矛盾するとき、等号と共通変数だけなる論理式εが存在 (量化子は含まれるかも知れないので注意) εに相当する情報を理論ソルバ間で交換すれば良い！
- 41. 素朴なTheory Combination 共通する変数の上の同値関係 R を列挙 各Rについて AR = ∧(s,t)∈R (s=t) ∧ ∧(s,t)∉R (s≠t) とする AR ∧φ1 と AR ∧ φ2 の充足可能性をそれぞれ検査 いずれかの R について両方充足可能であれば良い 完全性 T1, T2 が stably-infinite なら充足不能性を検出可能 T が stably-infinite とは: T-充足可能な基礎論理式はサイズ無限のT-モデルで充足可能
- 42. Stably-infiniteness T が stably-infinite: 「T-充足可能な基礎論理式はサイズ無限のT-モデルで充足可能」 モデルのサイズが無限だと仮定しても一般性を失わない レーヴェンハイム-スコーレムの定理 (Löwenheim–Skolem theorem) 「可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度κ についてサイズκのモデルを持つ」 T1, T2 が Stably infinite ならば、 理論ソルバ間でモデルサイズの一致を仮定しても良い サイズの情報を交換しないで良い 量化子の含まれない基礎等号の情報だけ交換すれば良い
- 43. Nelson-Oppan Theory Combination T1ソルバがφ1から含意される ∨iei という形の論理式をすべ て計算し、T2ソルバに伝える ei は共通変数に関する等式 (インターフェース等式) T2ソルバ→T1ソルバも同様 どちらかが矛盾を検出するか、新たに伝播すべき制約がなくな るまで、相互再帰的に伝え合う 問題点 選言が含意されることを検出するのは大変 受け入れ側も、場合分けが必要になって大変 というか、ぶっちゃけ無理！
- 44. Convexity 理論Tが凸(convex)とは: Γ を基礎リテラルの連言として Γ ⊢T ∨ei iff (Γ ⊢T ei for some i) Tが凸な場合にはNelson-Oppanを単純化可能 等号の選言 ∨ei ではなく、等号 ei だけを伝えれば十分 例: EUF, LRAなどは凸、LIA, BV, Aは非凸 LIAでは Γ = (y=1 ∧ z=2 ∧ 1≦x≦2) とすると Γ ⊢T (x=y ∨ x=z) だが Γ ⊢T x=y も Γ ⊢T x=z も成り立たない
- 45. TheoryCombination の実際 Delayed Theory Combination (DTC) インターフェース等式を論理変数にして、SATソルバ に割り当てを推測させることで、理論ソルバの実装 の負担を軽く Model-based Theory Combination 単体法のようなモデル生成型の理論ソルバの場合 モデルで「たまたま」成り立っている等号も伝播 ダメだったらバックトラック その他にも理論や実装の研究が色々
- 46. まとめとか
- 47. まとめとか SAT/SMTソルバは高速で便利 論理学的にも面白い 対話的定理証明系とは補完的 プログラム検証などでは、VC (Verification Condition) を抽出し、 複数のソルバ、自動定理証明器、対話的定理 証明器に並列に投げたりも 対話的定理証明系内で一部を自動化 例) Isabelle の SledgeHammer
- 49. 参考文献 Handbook of Satisfiability A. Biere, M. Heule, H. Van Maaren, and T. Walsh, Eds. IOS Press, Feb. 2009. SAT関係の話は大抵載ってる 鈍器としても使用可能
- 50. 参考文献: 日本語 ＜特集＞最近のSAT技術の発展, 人工知能学会 誌, Vol. 25, No.1 (2010) http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/aisat.html 酒井 政裕, 今井 健男, “SAT問題と他の制約問 題との相互発展," コンピュータ・ソフトウェ ア, vol. 32, no. 1, pp. 103-119, 2015. https://www.jstage.jst.go.jp/article/jssst/ 32/1/32_1_103/_article/-char/en/
- 51. その他 参考 より「定理証明」っぽいお題をSMTソルバで 解いてみた例として TPP2011 の TPPmark ”Uniform Candy Distribution” をSMTソルバZ3で証明した試み https://github.com/msakai/tpp2011