![Union-Find 木の実装 (1/3)
• 経路圧縮のみ（ランクは使わない）
int par[MAX_N]; // 親の番号
// n 要素で初期化
void init(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) par[i] = i;
}
• par[i] = i ならば根
– はじめは全部の頂点が根](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-15-320.jpg)
![Union-Find 木の実装 (2/3)
// 木の根を求める
int find(int x) {
if (par[x] == x) { // 根
return x;
} else {
return par[x] = find(par[x]); // 経路圧縮
}
}
// x と y が同じ集合に属するか否か
bool same(int x, int y) {
return find(x) == find(y);
}](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-16-320.jpg)
![Union-Find 木の実装 (3/3)
// x と y の属する集合を併合
void union(int x, int y) {
x = find(x);
y = find(y);
if (x == y) return;
par[x] = y;
}](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-17-320.jpg)
![Range Minimum Query (RMQ) 問題
• n 個の数の列 a1, a2, ..., an があります
• 以下の 2 種類のクエリを高速に処理せよ
1. 区間 [i, j] に含まれる最小の数字を答えよ
2. ai を x に変更せよ
これを，平方分割でやってみよう](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-23-320.jpg)
![平方分割による RMQ (2/5)
• 区間 [i, j] の最小値を求めるクエリ
– 区間に完全に含まれるバケット
• そのバケットの最小値
– はみ出した要素
• 個々の値
1 3 2 6 7 4 3 0 8 4 3 5 9 2 1 5
1 0 3 1
2, 6, 0, 3, 9, 2 の min を計算すればよく， 0](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-25-320.jpg)
![セグメント木とは (1/2)
• 各ノードが区間に対応づいた完全二分木
– 子は親を半分にした区間を持つ
[1, 8]
[1, 4] [5, 8]
[1, 2] [3, 4] [5, 6] [7, 8]
1 2 3 4 5 6 7 8
長さ 8 の区間での例](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-34-320.jpg)
![Range Minimum Query (RMQ) 問題
• n 個の数の列 a1, a2, ..., an があります
• 以下の 2 種類のクエリを高速に処理せよ
1. 区間 [i, j] に含まれる最小の数字を答えよ
2. ai を x に変更せよ
これを，セグメント木でやってみよう
まずは，処理のイメージについて説明し，
後で細かい実装について話します．](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-36-320.jpg)
![セグメント木による RMQ (3/4)
• 区間 [i, j] の最小値を求めるクエリ
– 完全に区間に含まれるできるだけ大きい区間
で「受け止める」イメージ
1
3 1
3と1と6の
3 7 1 2 最小値 = 1 が
[1, 7] の最小値
5 3 7 9 1 4 6 2
5 3 7 9 1 4 6 2](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-39-320.jpg)
![木のプログラム上での宣言
const int MAX_N = 131072;
int n; // n は 2 のべき乗
int dat[MAX_N * 2 - 1];
// 初期化
void init() {
// 全ての値を INT_MAX に
for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i++) dat[i] = INT_MAX;
}
ノードの個数は n + n/2 + n/4 + ... = 2n - 1](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-48-320.jpg)
![値の更新の実装
// i 番目の値 (0-indexed) を x に変更
void update(int i, int x) {
// 葉のノードの番号
i += n - 1;
dat[i] = x;
// 登りながら更新
while (i > 0) {
i = (i - 1) / 2;
dat[i] = min(dat[i * 2 + 1], dat[i * 2 + 2]);
}
}](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-52-320.jpg)
![最小値の取得 (再)
• 区間 [i, j] の最小値を求めるクエリ
– 完全に区間に含まれるできるだけ大きい区間
で「受け止める」イメージ
1
3 1
3と1と6の
3 7 1 2 最小値 = 1 が
[1, 7] の最小値
5 3 7 9 1 4 6 2
5 3 7 9 1 4 6 2](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-53-320.jpg)
![最小値の取得の実装
• より形式的には，再帰的に
– 区間 [i, j] とそのノードの区間が全く交差しな
い
• INT_MAX でも返しておく
– 区間 [i, j] がそのノードの区間を完全に含む
• その節点の持つ値を返す
– どちらでもない
• 2 つの子ノードについて再帰的に計算
• その 2 つの値の最小値を返す](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-54-320.jpg)
![最小値の取得の実装
// [a, b) の最小値，l, r にはノード k に対応づく区間を与える
int query(int a, int b, int k, int l, int r) {
if (r <= a || b <= l) return INT_MAX; // 交差しない？
if (a <= l && r <= b) return dat[k]; // 完全に含む？
else {
int vl = query(a, b, k * 2 + 1, l, (l + r) / 2);
int vr = query(a, b, k * 2 + 2, (l + r) / 2, r);
return min(vl, vr);
}
}
外からは query(a, b, 0, 0, n) のように呼ぶ
（ここまで閉区間で説明してきたが，関数は半開区間なことに注意）](https://image.slidesharecdn.com/datastructures-100328100134-phpapp01/85/-56-320.jpg)
プログラミングコンテストでのデータ構造
- 1. 2010/03/20 NTTデータ駒場研修所 （情報オリンピック春合宿） プログラミングコンテストでの データ構造 秋葉 拓哉 / (iwi)
- 2. 内容 • Union-Find 木 • バケット法と平方分割 • セグメント木 • 共通点：自分で実装するデータ構造 • セグメント木が中心 – IOI でのセグメント木の出題が非常に多い
- 4. Union-Find 木の機能 • グループ分けを管理する • はじめ，n 個の物は全て別々のグループ 1 2 3 4 5 • 次の 2 種類のクエリに対応する – 「まとめる」と「判定」
- 5. クエリ 1：まとめる • 2 つのグループを 1 つにまとめる 1 2 1 3 2 4 6 1 2 1 2 3 4 6
- 6. クエリ 2：判定 • 2 つの要素が同じグループに属しているかを 判定する 1 3 2 4 6 5 1 と 3 → true 1 と 2 → false
- 7. 素朴な実現法 (1/2) • 配列に，同じグループなら同じ数字を入 れておく 1 3 2 4 6 5 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 5 2
- 8. 素朴な実現法 (2/2) • この方針の問題点 – グループをまとめる際に，O(n) 時間かかって しまう – 実際には，この方針でも少しの工夫でならし O(log n) 時間にできます • Union-Find 木は，もっと効率的に行う
- 9. Union-Find 木 • グループを，1 つの木で表現する – したがって，全体では森 1 3 2 4 6 5 1 2 5 3 4 6
- 10. まとめる • 片方の木の根からもう片方の根に辺を張 ればよい 1 2 1 2 3 4 6 2 1 1 4 6 2 3
- 11. 判定 • 2 つの要素を上に辿って，根が同じかどう かを見ればよい 1 2 5 3 4 6 2 と 6 → 根は共に 2 → true 1 と 4 → 根は 1 と 2 → false
- 12. 工夫 1：経路圧縮 • 上向きに辿って再帰的に根を調べる際に，調 べたら辺を根に直接つなぎ直す 1 2 1 3 2 3 4 4 • 4 の根を調べると，2, 3, 4 の根が 1 と分かる
- 13. 工夫 2：ランク • 木の高さを持っておき，低い方を高い方 に繋げるようにする ランク 3 ランク 2 1 4 1 2 5 2 4 3 3 5 • ただし，経路圧縮と組み合わせた際，経路圧縮による高 さの変化は気にしない
- 14. Union-Find 木の計算量 • 2 つの工夫の両方をして O(α(n)) – α(n) はアッカーマン関数 A(n, n) の逆関数 – 相当小さく，ほぼ定数 • 片方だけでも，だいたい O(log n) – 経路圧縮のみが実装が楽でよい • これらはならし計算量
- 15. Union-Find 木の実装 (1/3) • 経路圧縮のみ（ランクは使わない） int par[MAX_N]; // 親の番号 // n 要素で初期化 void init(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) par[i] = i; } • par[i] = i ならば根 – はじめは全部の頂点が根
- 16. Union-Find 木の実装 (2/3) // 木の根を求める int find(int x) { if (par[x] == x) { // 根 return x; } else { return par[x] = find(par[x]); // 経路圧縮 } } // x と y が同じ集合に属するか否か bool same(int x, int y) { return find(x) == find(y); }
- 17. Union-Find 木の実装 (3/3) // x と y の属する集合を併合 void union(int x, int y) { x = find(x); y = find(y); if (x == y) return; par[x] = y; }
- 18. 補足 • Union-Find 木はグループをまとめることは できても，分割することはできない – 重要な制約 • Union-Find 木を改造して機能を付加するこ とが必要になるような問題もある
- 20. バケット法とは • 列や平面を「バケット」に分割して管理 • 列 ･･･ バケット • 平面 ←点 バケット →
- 21. 平方分割とは (1/2) • バケット法の，列に関する特殊な場合 • n 個の列を √n 程度の大きさのバケットに 分けて管理する – 各バケットに含まれる要素 √n 個 – バケットの個数も √n 個 これらより良い性質が生まれる
- 22. 平方分割とは (2/2) • 各バケットにどのようなデータを持って おくかによって様々な機能を実現できる • 応用力が非常に高い – 逆に言えば，自分で考える部分が大きい
- 23. Range Minimum Query (RMQ) 問題 • n 個の数の列 a1, a2, ..., an があります • 以下の 2 種類のクエリを高速に処理せよ 1. 区間 [i, j] に含まれる最小の数字を答えよ 2. ai を x に変更せよ これを，平方分割でやってみよう
- 24. 平方分割による RMQ (1/5) • 前処理 – b = floor(√n) とし，列 a を b 個ごとのバケット で扱う – 各バケットでの最小値を計算しておく 1 3 2 6 7 4 3 0 8 4 3 5 9 2 1 5 1 0 3 1 n=16 での例
- 25. 平方分割による RMQ (2/5) • 区間 [i, j] の最小値を求めるクエリ – 区間に完全に含まれるバケット • そのバケットの最小値 – はみ出した要素 • 個々の値 1 3 2 6 7 4 3 0 8 4 3 5 9 2 1 5 1 0 3 1 2, 6, 0, 3, 9, 2 の min を計算すればよく， 0
- 26. 平方分割による RMQ (3/5) • バケットの数，はみ出した要素の数が共 に √n 程度で抑えられる – バケットの数はそもそも √n 個程度 – はみ出した要素も 2√n より少ない 1 3 2 6 7 4 3 0 8 4 3 5 9 2 1 5 1 0 3 1 2, 6, 0, 3, 9, 2 の min を計算すればよく， 0
- 27. 平方分割による RMQ (4/5) • ai の値を x に更新するクエリ • 要素の値を更新 • ai を含むバケットの最小値を更新 – バケットに含まれる値を全部見ても √n 個 • データの持ち方を工夫すればこの部分はもっと効率よくできますが， 最小値の計算が O(√n) なのでこれで十分
- 28. 平方分割による RMQ (5/5) • 以上で， – 前処理 O(n) – 各クエリ O(√n) で RMQ が実現できた • あくまで例であって，実際に RMQ が必要になった際に平方分割を 実装することはあまりないはず
- 29. 応用 • 各バケットが，値ではなく別のデータ構 造を持つ平方分割がしばしば出題 – 各バケットが二分探索木を持ったり – 各バケットが Binary Indexed Tree を持ったり このような場合バケットの大きさは √n 丁度でなく，そ れらのデータ構造の処理の計算量をあわせて調整する
- 30. 補足 (1/3) • 平方分割は，√n 分木と解釈することもで きる 上が親，下が子と見れば，3 (=√9) 分木
- 31. 補足 (2/3) • 「平方分割」は余りポピュラーでない – 「“平方分割” に一致する日本語のページ 10 件」 – 平方根分割の方が正しいのでは？ – 「 "平方根分割" に一致する日本語のページ 2 件」 • 「sqrt decomposition」ってロシアの人が書 いてた – 「“sqrt decomposition”の検索結果 1 件」
- 32. 補足 (3/3) • 実装時には，バケットのサイズは最大 n でのものに固定してしまってよい – 例えば，n 最大 10000 なら 100 に固定 • バケット法に限らず，√n という値を上手 く使うと効率的になる場合がある – IOI ‘09 Regions
- 34. セグメント木とは (1/2) • 各ノードが区間に対応づいた完全二分木 – 子は親を半分にした区間を持つ [1, 8] [1, 4] [5, 8] [1, 2] [3, 4] [5, 6] [7, 8] 1 2 3 4 5 6 7 8 長さ 8 の区間での例
- 35. セグメント木とは (2/2) 平方分割と同様に • 各ノードにどのようなデータを持ってお くかによって様々な機能を実現できる • 応用力が非常に高い – 逆に言えば，自分で考える部分が大きい
- 36. Range Minimum Query (RMQ) 問題 • n 個の数の列 a1, a2, ..., an があります • 以下の 2 種類のクエリを高速に処理せよ 1. 区間 [i, j] に含まれる最小の数字を答えよ 2. ai を x に変更せよ これを，セグメント木でやってみよう まずは，処理のイメージについて説明し， 後で細かい実装について話します．
- 37. セグメント木による RMQ (1/4) • 方針 – 各ノードに，対応づいた区間の最小値を持つ 1 3 1 3 7 1 2 5 3 7 9 1 4 6 2 5 3 7 9 1 4 6 2
- 38. セグメント木による RMQ (2/4) • 初期化 – 子ノードから順に，再帰的に， O(n) 計算量に余裕があれば初期化時は全てのノードを INT_MAX 等にしてしまってもよい 1 3 1 3 7 1 2 5 3 7 9 1 4 6 2 5 3 7 9 1 4 6 2
- 39. セグメント木による RMQ (3/4) • 区間 [i, j] の最小値を求めるクエリ – 完全に区間に含まれるできるだけ大きい区間 で「受け止める」イメージ 1 3 1 3と1と6の 3 7 1 2 最小値 = 1 が [1, 7] の最小値 5 3 7 9 1 4 6 2 5 3 7 9 1 4 6 2
- 40. セグメント木による RMQ (4/4) • ai の値を x に更新するクエリ – ai を含む区間のノード全てについて，値を計 算しなおす 1 3→2 1 3→2 7 1 2 5→2 3 7 9 1 4 6 2 5→2 3 7 9 1 4 6 2
- 41. セグメント木による RMQ の計算量 • 共に，各高さで定数個のノードにしかア クセスせず，O(log n) – この 2 種類の処理のタイプが，RMQ に限らず， セグメント木の処理の基本 1 1 3 1 3→2 1 3 7 1 2 3→2 7 1 2 5 3 7 9 1 4 6 2 5→2 3 7 9 1 4 6 2 区間に対する処理 点に対する処理
- 42. セグメント木の重要な利点 • 平衡処理が必要ない – セグメント木でなく，普通の二分木でも出来 る物は結構ある – しかし，普通の二分木でやると，平衡処理が 必要になる • あるいは，そうでなくても，実装量はセグメント 木のほうが抑えられる場合が多い
- 43. Tips • 前処理や空間計算量（ノードの個数） – × O(n log n) – ○ O(n) • n + n/2 + n/4 + n/8 + ... < 2n
- 45. セグメント木の実装 • 木を実装するというと，結構大変そう – 情報オリンピックでは，そこまで急ぐ必要も ない – その場で気合で考えても，多分何とかなる – しかし，簡単に実装できるに越したことはな いし，複雑なプログラムではバグも出やすい • オススメの実装方法を一通り紹介 – RMQ を実装します
- 46. 木の持ち方 • ノードに番号を付ける – ポインタによる表現でなく，配列で持つ • 上の段から，同じ段では左から順に番号 をふる
- 47. ノードの番号付けの例 0 1 1 2 3 1 3 4 5 6 3 7 1 2 7 8 9 10 11 12 13 14 5 3 7 9 1 4 6 2 番号付け ノードの持つ値 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3 1 3 7 1 2 5 3 7 9 1 3 6 2 プログラム上での表現（配列）
- 48. 木のプログラム上での宣言 const int MAX_N = 131072; int n; // n は 2 のべき乗 int dat[MAX_N * 2 - 1]; // 初期化 void init() { // 全ての値を INT_MAX に for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i++) dat[i] = INT_MAX; } ノードの個数は n + n/2 + n/4 + ... = 2n - 1
- 49. この番号付けの性質 • 番号 n のノード 0 1 2 – 親：(n-1)/2（を切り捨て） 3 4 5 6 – 子：2n + 1，2n + 2 7 8 9 10 11 12 13 14 • 簡単に親や子にアクセスできる • この番号付けが上手く働くのは，セグメント木が完全二 分木だから
- 50. 値の更新 (再) • ai の値を x に更新 – ai を含む区間のノード全てについて，値を計 算しなおす 1 3→2 1 3→2 7 1 2 5→2 3 7 9 1 4 6 2 5→2 3 7 9 1 4 6 2
- 51. 値の更新の実装 • 場所 i に対応する一番下（葉）のノードの 番号は，n + i -1 • そこから，親へ辿ればよい 0 (1-1) / 2 = 0 1 2 (4-1) / 2 = 1 3 4 5 6 (9-1) / 2 = 4 7 8 9 10 11 12 13 14 8+2–1=9 n = 8，i = 2 の場合
- 52. 値の更新の実装 // i 番目の値 (0-indexed) を x に変更 void update(int i, int x) { // 葉のノードの番号 i += n - 1; dat[i] = x; // 登りながら更新 while (i > 0) { i = (i - 1) / 2; dat[i] = min(dat[i * 2 + 1], dat[i * 2 + 2]); } }
- 53. 最小値の取得 (再) • 区間 [i, j] の最小値を求めるクエリ – 完全に区間に含まれるできるだけ大きい区間 で「受け止める」イメージ 1 3 1 3と1と6の 3 7 1 2 最小値 = 1 が [1, 7] の最小値 5 3 7 9 1 4 6 2 5 3 7 9 1 4 6 2
- 54. 最小値の取得の実装 • より形式的には，再帰的に – 区間 [i, j] とそのノードの区間が全く交差しな い • INT_MAX でも返しておく – 区間 [i, j] がそのノードの区間を完全に含む • その節点の持つ値を返す – どちらでもない • 2 つの子ノードについて再帰的に計算 • その 2 つの値の最小値を返す
- 55. 区間に対する処理の実装 • ノードの番号から，そのノードに対応づいて いる区間を知りたい • 3 つの方法 1. 頑張って計算する 2. 予め全てのノードについて求めておく 3. 再帰関数の引数にしてしまう 3 が楽なのでオススメです
- 56. 最小値の取得の実装 // [a, b) の最小値，l, r にはノード k に対応づく区間を与える int query(int a, int b, int k, int l, int r) { if (r <= a || b <= l) return INT_MAX; // 交差しない？ if (a <= l && r <= b) return dat[k]; // 完全に含む？ else { int vl = query(a, b, k * 2 + 1, l, (l + r) / 2); int vr = query(a, b, k * 2 + 2, (l + r) / 2, r); return min(vl, vr); } } 外からは query(a, b, 0, 0, n) のように呼ぶ （ここまで閉区間で説明してきたが，関数は半開区間なことに注意）
- 57. Tips • 実際には，この実装なら n が 2 の累乗でな くても動作する – 値の更新の方はこのままではダメで，同様の 手法で再帰関数で書けば OK • ただし，配列サイズは MAX_N * 2 - 1 では 足りない – MAX_N * 4 取れば十分
- 58. セグメント木に関する補足
- 59. 区間の扱い • セグメント木では，区間を考える際に半 開区間で考えると都合が良い – [i, j) ･･･ i, i+1, ..., j-1 – [l, r) に対応するノードの子ノードは？ • m = (l + r) / 2 として，[l, m)，[m, r) • セグメント木に限らず，半開区間を使う とわかりやすい場合は多い
- 60. より複雑なセグメント木 • 条件を満たす最長の区間の長さが得たい – というようなクエリがたまにある – 例：0 になっている最長の区間の長さ • 各ノードについて， – そこに含まれる最長の区間の長さ – 左側に繋がる部分の長さ – 右側に繋がる部分の長さ • を持つようにすれば効率的に出来る
- 61. より高速な実装 • 区間に対する処理も再帰しないように実 装すると，より高速になる • データ構造に関する問題は，実行時間制 限が厳しい場合が少なくない – 平方分割による解法を落としたい，等 – まずはテストをする
- 62. 平方分割 vs セグメント木 • 共に，応用力の高いデータ構造 • セグメント木 – 同じものが実現できれば，平方分割より高速 • バケット法 – ソースコードや考えることがシンプルで済む – セグメント木よりさらに応用力が高い
- 64. セグメント木の出番 • 主に，以下の 3 種類に分けられる 1. クエリ系の問題 – データ構造を直接的に聞いてきている – 比較的考えやすい 2. （平面）走査系の問題 3. DP 等の計算を加速する問題
- 65. 走査系の問題 • セグメント木を持ちながら平面上をス キャンする，等 – IOI’08 Pyramid Base，春合宿’09 Starry Sky
- 66. DP 等の計算を加速 • 例：漸化式に区間の min が入っている – IOI ‘09 Salesman • DP の方針をまず考えて – 「こんな処理が高速にできれば高速になる」 – クエリの問題に帰着し，データ構造を考える
- 67. 補足
- 68. Binary Indexed Tree (Fenwick Tree) • 列で，以下の操作が行えるデータ構造 – i 番目の要素 ai に値を x 加える – i 番目までの数の和を計算する • a1 + a2 + ... + ai • 引き算すれば ai + ai+1 + ... + aj が計算できる • 非常に簡単に実装できる – セグメント木でも同様の機能が実現可 • 是非調べてみて下さい
- 69. Binary Indexed Treeと セグメント木 • BIT はセグメント木から要らないノードを 削除した物と考えることもできる 8 4 2 6 1 3 5 7
- 70. 領域木 (Range Tree) • セグメント木のノードに二分探索木や配 列を持つ – 2 次元の長方形領域に対するクエリに対応 – セグメント木の入れ子を増やせば，より高次 元にできる • 滅多にお目にかかりませんが，データ構造が好きな IOI なら･･･？と密かに思っています．
- 71. おわりに (1/2) • データ構造を勉強する – 何ができるのか – どうやって作るか • STL にあるなら，どうやって使うか • 重要なデータ構造 – キュー，スタック，デク – 二分探索木，順位キュー – Union-Find – Binary Indexed Tree，Segment Tree
- 72. おわりに (2/2) • セグメント木，領域木などのデータ構造 は，普通のアルゴリズムとデータ構造の 本には載っていない • 計算幾何学の本に載っています
- 73. おわり お疲れ様でした