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7.4   二叉搜索树

如图 7-16 所示，二叉搜索树（binary search tree）满足以下条件。

  1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 \(<\) 根节点的值 \(<\) 右子树中所有节点的值。
  2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1. 。

二叉搜索树

图 7-16   二叉搜索树

7.4.1   二叉搜索树的操作

我们将二叉搜索树封装为一个类 BinarySearchTree ，并声明一个成员变量 root ，指向树的根节点。

1.   查找节点

给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如图 7-17 所示，我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系。

  • 若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right 。
  • 若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left 。
  • 若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。

二叉搜索树查找节点示例

bst_search_step2

bst_search_step3

bst_search_step4

图 7-17   二叉搜索树查找节点示例

二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 \(O(\log n)\) 时间。示例代码如下：

binary_search_tree.py
def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
    """查找节点"""
    cur = self._root
    # 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur is not None:
        # 目标节点在 cur 的右子树中
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 目标节点在 cur 的左子树中
        elif cur.val > num:
            cur = cur.left
        # 找到目标节点，跳出循环
        else:
            break
    return cur
binary_search_tree.cpp
/* 查找节点 */
TreeNode *search(int num) {
    TreeNode *cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur->val > num)
            cur = cur->left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else
            break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
binary_search_tree.java
/* 查找节点 */
TreeNode search(int num) {
    TreeNode cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num)
            cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else
            break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
binary_search_tree.cs
/* 查找节点 */
TreeNode? Search(int num) {
    TreeNode? cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur =
            cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num)
            cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else
            break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
binary_search_tree.go
/* 查找节点 */
func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
    node := bst.root
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    for node != nil {
        if node.Val.(int) < num {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            node = node.Right
        } else if node.Val.(int) > num {
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            node = node.Left
        } else {
            // 找到目标节点，跳出循环
            break
        }
    }
    // 返回目标节点
    return node
}
binary_search_tree.swift
/* 查找节点 */
func search(num: Int) -> TreeNode? {
    var cur = root
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur != nil {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if cur!.val > num {
            cur = cur?.left
        }
        // 找到目标节点，跳出循环
        else {
            break
        }
    }
    // 返回目标节点
    return cur
}
binary_search_tree.js
/* 查找节点 */
search(num) {
    let cur = this.root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
binary_search_tree.ts
/* 查找节点 */
search(num: number): TreeNode | null {
    let cur = this.root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
binary_search_tree.dart
/* 查找节点 */
TreeNode? search(int _num) {
  TreeNode? cur = _root;
  // 循环查找，越过叶节点后跳出
  while (cur != null) {
    // 目标节点在 cur 的右子树中
    if (cur.val < _num)
      cur = cur.right;
    // 目标节点在 cur 的左子树中
    else if (cur.val > _num)
      cur = cur.left;
    // 找到目标节点，跳出循环
    else
      break;
  }
  // 返回目标节点
  return cur;
}
binary_search_tree.rs
/* 查找节点 */
pub fn search(&self, num: i32) -> OptionTreeNodeRc {
    let mut cur = self.root.clone();
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while let Some(node) = cur.clone() {
        match num.cmp(&node.borrow().val) {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            Ordering::Greater => cur = node.borrow().right.clone(),
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            Ordering::Less => cur = node.borrow().left.clone(),
            // 找到目标节点，跳出循环
            Ordering::Equal => break,
        }
    }

    // 返回目标节点
    cur
}
binary_search_tree.c
/* 查找节点 */
TreeNode *search(BinarySearchTree *bst, int num) {
    TreeNode *cur = bst->root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != NULL) {
        if (cur->val < num) {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            cur = cur->right;
        } else if (cur->val > num) {
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            cur = cur->left;
        } else {
            // 找到目标节点，跳出循环
            break;
        }
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
binary_search_tree.kt
/* 查找节点 */
fun search(num: Int): TreeNode? {
    var cur = root
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        cur = if (cur._val < num)
            cur.right
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur._val > num)
            cur.left
        // 找到目标节点，跳出循环
        else
            break
    }
    // 返回目标节点
    return cur
}
binary_search_tree.rb
### 查找节点 ###
def search(num)
  cur = @root

  # 循环查找，越过叶节点后跳出
  while !cur.nil?
    # 目标节点在 cur 的右子树中
    if cur.val < num
      cur = cur.right
    # 目标节点在 cur 的左子树中
    elsif cur.val > num
      cur = cur.left
    # 找到目标节点，跳出循环
    else
      break
    end
  end

  cur
end
binary_search_tree.zig
// 查找节点
fn search(self: *Self, num: T) ?*inc.TreeNode(T) {
    var cur = self.root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        } else if (cur.?.val > num) {
            cur = cur.?.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        } else {
            break;
        }
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
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2.   插入节点

给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如图 7-18 所示。

  1. 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 None ）时跳出循环。
  2. 在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于 None 的位置。

在二叉搜索树中插入节点

图 7-18   在二叉搜索树中插入节点

在代码实现中，需要注意以下两点。

  • 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
  • 为了实现插入节点，我们需要借助节点 pre 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 None 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
binary_search_tree.py
def insert(self, num: int):
    """插入节点"""
    # 若树为空，则初始化根节点
    if self._root is None:
        self._root = TreeNode(num)
        return
    # 循环查找，越过叶节点后跳出
    cur, pre = self._root, None
    while cur is not None:
        # 找到重复节点，直接返回
        if cur.val == num:
            return
        pre = cur
        # 插入位置在 cur 的右子树中
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 插入位置在 cur 的左子树中
        else:
            cur = cur.left
    # 插入节点
    node = TreeNode(num)
    if pre.val < num:
        pre.right = node
    else:
        pre.left = node
binary_search_tree.cpp
/* 插入节点 */
void insert(int num) {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if (root == nullptr) {
        root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur->val == num)
            return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else
            cur = cur->left;
    }
    // 插入节点
    TreeNode *node = new TreeNode(num);
    if (pre->val < num)
        pre->right = node;
    else
        pre->left = node;
}
binary_search_tree.java
/* 插入节点 */
void insert(int num) {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if (root == null) {
        root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val == num)
            return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else
            cur = cur.left;
    }
    // 插入节点
    TreeNode node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num)
        pre.right = node;
    else
        pre.left = node;
}
binary_search_tree.cs
/* 插入节点 */
void Insert(int num) {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if (root == null) {
        root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val == num)
            return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else
            cur = cur.left;
    }

    // 插入节点
    TreeNode node = new(num);
    if (pre != null) {
        if (pre.val < num)
            pre.right = node;
        else
            pre.left = node;
    }
}
binary_search_tree.go
/* 插入节点 */
func (bst *binarySearchTree) insert(num int) {
    cur := bst.root
    // 若树为空，则初始化根节点
    if cur == nil {
        bst.root = NewTreeNode(num)
        return
    }
    // 待插入节点之前的节点位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            return
        }
        pre = cur
        if cur.Val.(int) < num {
            cur = cur.Right
        } else {
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 插入节点
    node := NewTreeNode(num)
    if pre.Val.(int) < num {
        pre.Right = node
    } else {
        pre.Left = node
    }
}
binary_search_tree.swift
/* 插入节点 */
func insert(num: Int) {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if root == nil {
        root = TreeNode(x: num)
        return
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur != nil {
        // 找到重复节点，直接返回
        if cur!.val == num {
            return
        }
        pre = cur
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // 插入节点
    let node = TreeNode(x: num)
    if pre!.val < num {
        pre?.right = node
    } else {
        pre?.left = node
    }
}
binary_search_tree.js
/* 插入节点 */
insert(num) {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if (this.root === null) {
        this.root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    let cur = this.root,
        pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val === num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 插入节点
    const node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num) pre.right = node;
    else pre.left = node;
}
binary_search_tree.ts
/* 插入节点 */
insert(num: number): void {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if (this.root === null) {
        this.root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    let cur: TreeNode | null = this.root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val === num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 插入节点
    const node = new TreeNode(num);
    if (pre!.val < num) pre!.right = node;
    else pre!.left = node;
}
binary_search_tree.dart
/* 插入节点 */
void insert(int _num) {
  // 若树为空，则初始化根节点
  if (_root == null) {
    _root = TreeNode(_num);
    return;
  }
  TreeNode? cur = _root;
  TreeNode? pre = null;
  // 循环查找，越过叶节点后跳出
  while (cur != null) {
    // 找到重复节点，直接返回
    if (cur.val == _num) return;
    pre = cur;
    // 插入位置在 cur 的右子树中
    if (cur.val < _num)
      cur = cur.right;
    // 插入位置在 cur 的左子树中
    else
      cur = cur.left;
  }
  // 插入节点
  TreeNode? node = TreeNode(_num);
  if (pre!.val < _num)
    pre.right = node;
  else
    pre.left = node;
}
binary_search_tree.rs
/* 插入节点 */
pub fn insert(&mut self, num: i32) {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if self.root.is_none() {
        self.root = Some(TreeNode::new(num));
        return;
    }
    let mut cur = self.root.clone();
    let mut pre = None;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while let Some(node) = cur.clone() {
        match num.cmp(&node.borrow().val) {
            // 找到重复节点，直接返回
            Ordering::Equal => return,
            // 插入位置在 cur 的右子树中
            Ordering::Greater => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().right.clone();
            }
            // 插入位置在 cur 的左子树中
            Ordering::Less => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().left.clone();
            }
        }
    }
    // 插入节点
    let pre = pre.unwrap();
    let node = Some(TreeNode::new(num));
    if num > pre.borrow().val {
        pre.borrow_mut().right = node;
    } else {
        pre.borrow_mut().left = node;
    }
}
binary_search_tree.c
/* 插入节点 */
void insert(BinarySearchTree *bst, int num) {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if (bst->root == NULL) {
        bst->root = newTreeNode(num);
        return;
    }
    TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != NULL) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur->val == num) {
            return;
        }
        pre = cur;
        if (cur->val < num) {
            // 插入位置在 cur 的右子树中
            cur = cur->right;
        } else {
            // 插入位置在 cur 的左子树中
            cur = cur->left;
        }
    }
    // 插入节点
    TreeNode *node = newTreeNode(num);
    if (pre->val < num) {
        pre->right = node;
    } else {
        pre->left = node;
    }
}
binary_search_tree.kt
/* 插入节点 */
fun insert(num: Int) {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if (root == null) {
        root = TreeNode(num)
        return
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode? = null
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur._val == num)
            return
        pre = cur
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        cur = if (cur._val < num)
            cur.right
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else
            cur.left
    }
    // 插入节点
    val node = TreeNode(num)
    if (pre?._val!! < num)
        pre.right = node
    else
        pre.left = node
}
binary_search_tree.rb
### 插入节点 ###
def insert(num)
  # 若树为空，则初始化根节点
  if @root.nil?
    @root = TreeNode.new(num)
    return
  end

  # 循环查找，越过叶节点后跳出
  cur, pre = @root, nil
  while !cur.nil?
    # 找到重复节点，直接返回
    return if cur.val == num

    pre = cur
    # 插入位置在 cur 的右子树中
    if cur.val < num
      cur = cur.right
    # 插入位置在 cur 的左子树中
    else
      cur = cur.left
    end
  end

  # 插入节点
  node = TreeNode.new(num)
  if pre.val < num
    pre.right = node
  else
    pre.left = node
  end
end
binary_search_tree.zig
// 插入节点
fn insert(self: *Self, num: T) !void {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if (self.root == null) {
        self.root = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T));
        return;
    }
    var cur = self.root;
    var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.?.val == num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        } else {
            cur = cur.?.left;
        }
    }
    // 插入节点
    var node = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T));
    node.init(num);
    if (pre.?.val < num) {
        pre.?.right = node;
    } else {
        pre.?.left = node;
    }
}
可视化运行

与查找节点相同，插入节点使用 \(O(\log n)\) 时间。

3.   删除节点

先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作。

如图 7-19 所示，当待删除节点的度为 \(0\) 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。

在二叉搜索树中删除节点（度为 0 ）

图 7-19   在二叉搜索树中删除节点（度为 0 ）

如图 7-20 所示，当待删除节点的度为 \(1\) 时，将待删除节点替换为其子节点即可。

在二叉搜索树中删除节点（度为 1 ）

图 7-20   在二叉搜索树中删除节点（度为 1 ）

当待删除节点的度为 \(2\) 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树 \(<\) 根节点 \(<\) 右子树”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。

假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如图 7-21 所示。

  1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 tmp 。
  2. 用 tmp 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 tmp 。

在二叉搜索树中删除节点（度为 2 ）

bst_remove_case3_step2

bst_remove_case3_step3

bst_remove_case3_step4

图 7-21   在二叉搜索树中删除节点（度为 2 ）

删除节点操作同样使用 \(O(\log n)\) 时间，其中查找待删除节点需要 \(O(\log n)\) 时间，获取中序遍历后继节点需要 \(O(\log n)\) 时间。示例代码如下：

binary_search_tree.py
def remove(self, num: int):
    """删除节点"""
    # 若树为空，直接提前返回
    if self._root is None:
        return
    # 循环查找，越过叶节点后跳出
    cur, pre = self._root, None
    while cur is not None:
        # 找到待删除节点，跳出循环
        if cur.val == num:
            break
        pre = cur
        # 待删除节点在 cur 的右子树中
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 待删除节点在 cur 的左子树中
        else:
            cur = cur.left
    # 若无待删除节点，则直接返回
    if cur is None:
        return

    # 子节点数量 = 0 or 1
    if cur.left is None or cur.right is None:
        # 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        child = cur.left or cur.right
        # 删除节点 cur
        if cur != self._root:
            if pre.left == cur:
                pre.left = child
            else:
                pre.right = child
        else:
            # 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
            self._root = child
    # 子节点数量 = 2
    else:
        # 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        tmp: TreeNode = cur.right
        while tmp.left is not None:
            tmp = tmp.left
        # 递归删除节点 tmp
        self.remove(tmp.val)
        # 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val
binary_search_tree.cpp
/* 删除节点 */
void remove(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == nullptr)
        return;
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur->val == num)
            break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else
            cur = cur->left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == nullptr)
        return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
        TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
        // 删除节点 cur
        if (cur != root) {
            if (pre->left == cur)
                pre->left = child;
            else
                pre->right = child;
        } else {
            // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
            root = child;
        }
        // 释放内存
        delete cur;
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode *tmp = cur->right;
        while (tmp->left != nullptr) {
            tmp = tmp->left;
        }
        int tmpVal = tmp->val;
        // 递归删除节点 tmp
        remove(tmp->val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur->val = tmpVal;
    }
}
binary_search_tree.java
/* 删除节点 */
void remove(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null)
        return;
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val == num)
            break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else
            cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == null)
        return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (cur != root) {
            if (pre.left == cur)
                pre.left = child;
            else
                pre.right = child;
        } else {
            // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
            root = child;
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode tmp = cur.right;
        while (tmp.left != null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // 递归删除节点 tmp
        remove(tmp.val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val;
    }
}
binary_search_tree.cs
/* 删除节点 */
void Remove(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null)
        return;
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val == num)
            break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else
            cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == null)
        return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (cur != root) {
            if (pre!.left == cur)
                pre.left = child;
            else
                pre.right = child;
        } else {
            // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
            root = child;
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode? tmp = cur.right;
        while (tmp.left != null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // 递归删除节点 tmp
        Remove(tmp.val!.Value);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val;
    }
}
binary_search_tree.go
/* 删除节点 */
func (bst *binarySearchTree) remove(num int) {
    cur := bst.root
    // 若树为空，直接提前返回
    if cur == nil {
        return
    }
    // 待删除节点之前的节点位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            break
        }
        pre = cur
        if cur.Val.(int) < num {
            // 待删除节点在右子树中
            cur = cur.Right
        } else {
            // 待删除节点在左子树中
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if cur == nil {
        return
    }
    // 子节点数为 0 或 1
    if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
        var child *TreeNode = nil
        // 取出待删除节点的子节点
        if cur.Left != nil {
            child = cur.Left
        } else {
            child = cur.Right
        }
        // 删除节点 cur
        if cur != bst.root {
            if pre.Left == cur {
                pre.Left = child
            } else {
                pre.Right = child
            }
        } else {
            // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
            bst.root = child
        }
        // 子节点数为 2
    } else {
        // 获取中序遍历中待删除节点 cur 的下一个节点
        tmp := cur.Right
        for tmp.Left != nil {
            tmp = tmp.Left
        }
        // 递归删除节点 tmp
        bst.remove(tmp.Val.(int))
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.Val = tmp.Val
    }
}
binary_search_tree.swift
/* 删除节点 */
func remove(num: Int) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if root == nil {
        return
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur != nil {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if cur!.val == num {
            break
        }
        pre = cur
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if cur == nil {
        return
    }
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if cur?.left == nil || cur?.right == nil {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        let child = cur?.left ?? cur?.right
        // 删除节点 cur
        if cur !== root {
            if pre?.left === cur {
                pre?.left = child
            } else {
                pre?.right = child
            }
        } else {
            // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
            root = child
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        var tmp = cur?.right
        while tmp?.left != nil {
            tmp = tmp?.left
        }
        // 递归删除节点 tmp
        remove(num: tmp!.val)
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur?.val = tmp!.val
    }
}
binary_search_tree.js
/* 删除节点 */
remove(num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (this.root === null) return;
    let cur = this.root,
        pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val === num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur === null) return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        const child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (cur !== this.root) {
            if (pre.left === cur) pre.left = child;
            else pre.right = child;
        } else {
            // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
            this.root = child;
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        let tmp = cur.right;
        while (tmp.left !== null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // 递归删除节点 tmp
        this.remove(tmp.val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val;
    }
}
binary_search_tree.ts
/* 删除节点 */
remove(num: number): void {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (this.root === null) return;
    let cur: TreeNode | null = this.root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val === num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur === null) return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        const child: TreeNode | null =
            cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (cur !== this.root) {
            if (pre!.left === cur) pre!.left = child;
            else pre!.right = child;
        } else {
            // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
            this.root = child;
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        let tmp: TreeNode | null = cur.right;
        while (tmp!.left !== null) {
            tmp = tmp!.left;
        }
        // 递归删除节点 tmp
        this.remove(tmp!.val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp!.val;
    }
}
binary_search_tree.dart
/* 删除节点 */
void remove(int _num) {
  // 若树为空，直接提前返回
  if (_root == null) return;
  TreeNode? cur = _root;
  TreeNode? pre = null;
  // 循环查找，越过叶节点后跳出
  while (cur != null) {
    // 找到待删除节点，跳出循环
    if (cur.val == _num) break;
    pre = cur;
    // 待删除节点在 cur 的右子树中
    if (cur.val < _num)
      cur = cur.right;
    // 待删除节点在 cur 的左子树中
    else
      cur = cur.left;
  }
  // 若无待删除节点，直接返回
  if (cur == null) return;
  // 子节点数量 = 0 or 1
  if (cur.left == null || cur.right == null) {
    // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
    TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
    // 删除节点 cur
    if (cur != _root) {
      if (pre!.left == cur)
        pre.left = child;
      else
        pre.right = child;
    } else {
      // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
      _root = child;
    }
  } else {
    // 子节点数量 = 2
    // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
    TreeNode? tmp = cur.right;
    while (tmp!.left != null) {
      tmp = tmp.left;
    }
    // 递归删除节点 tmp
    remove(tmp.val);
    // 用 tmp 覆盖 cur
    cur.val = tmp.val;
  }
}
binary_search_tree.rs
/* 删除节点 */
pub fn remove(&mut self, num: i32) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if self.root.is_none() {
        return;
    }
    let mut cur = self.root.clone();
    let mut pre = None;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while let Some(node) = cur.clone() {
        match num.cmp(&node.borrow().val) {
            // 找到待删除节点，跳出循环
            Ordering::Equal => break,
            // 待删除节点在 cur 的右子树中
            Ordering::Greater => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().right.clone();
            }
            // 待删除节点在 cur 的左子树中
            Ordering::Less => {
                pre = cur.clone();
                cur = node.borrow().left.clone();
            }
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if cur.is_none() {
        return;
    }
    let cur = cur.unwrap();
    let (left_child, right_child) = (cur.borrow().left.clone(), cur.borrow().right.clone());
    match (left_child.clone(), right_child.clone()) {
        // 子节点数量 = 0 or 1
        (None, None) | (Some(_), None) | (None, Some(_)) => {
            // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
            let child = left_child.or(right_child);
            let pre = pre.unwrap();
            // 删除节点 cur
            if !Rc::ptr_eq(&cur, self.root.as_ref().unwrap()) {
                let left = pre.borrow().left.clone();
                if left.is_some() && Rc::ptr_eq(left.as_ref().unwrap(), &cur) {
                    pre.borrow_mut().left = child;
                } else {
                    pre.borrow_mut().right = child;
                }
            } else {
                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                self.root = child;
            }
        }
        // 子节点数量 = 2
        (Some(_), Some(_)) => {
            // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
            let mut tmp = cur.borrow().right.clone();
            while let Some(node) = tmp.clone() {
                if node.borrow().left.is_some() {
                    tmp = node.borrow().left.clone();
                } else {
                    break;
                }
            }
            let tmp_val = tmp.unwrap().borrow().val;
            // 递归删除节点 tmp
            self.remove(tmp_val);
            // 用 tmp 覆盖 cur
            cur.borrow_mut().val = tmp_val;
        }
    }
}
binary_search_tree.c
/* 删除节点 */
// 由于引入了 stdio.h ，此处无法使用 remove 关键词
void removeItem(BinarySearchTree *bst, int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (bst->root == NULL)
        return;
    TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != NULL) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur->val == num)
            break;
        pre = cur;
        if (cur->val < num) {
            // 待删除节点在 root 的右子树中
            cur = cur->right;
        } else {
            // 待删除节点在 root 的左子树中
            cur = cur->left;
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == NULL)
        return;
    // 判断待删除节点是否存在子节点
    if (cur->left == NULL || cur->right == NULL) {
        /* 子节点数量 = 0 or 1 */
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
        TreeNode *child = cur->left != NULL ? cur->left : cur->right;
        // 删除节点 cur
        if (pre->left == cur) {
            pre->left = child;
        } else {
            pre->right = child;
        }
        // 释放内存
        free(cur);
    } else {
        /* 子节点数量 = 2 */
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode *tmp = cur->right;
        while (tmp->left != NULL) {
            tmp = tmp->left;
        }
        int tmpVal = tmp->val;
        // 递归删除节点 tmp
        removeItem(bst, tmp->val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur->val = tmpVal;
    }
}
binary_search_tree.kt
/* 删除节点 */
fun remove(num: Int) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null)
        return
    var cur = root
    var pre: TreeNode? = null
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur._val == num)
            break
        pre = cur
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        cur = if (cur._val < num)
            cur.right
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else
            cur.left
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == null)
        return
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        val child = if (cur.left != null)
            cur.left
        else
            cur.right
        // 删除节点 cur
        if (cur != root) {
            if (pre!!.left == cur)
                pre.left = child
            else
                pre.right = child
        } else {
            // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
            root = child
        }
        // 子节点数量 = 2
    } else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        var tmp = cur.right
        while (tmp!!.left != null) {
            tmp = tmp.left
        }
        // 递归删除节点 tmp
        remove(tmp._val)
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur._val = tmp._val
    }
}
binary_search_tree.rb
### 删除节点 ###
def remove(num)
  # 若树为空，直接提前返回
  return if @root.nil?

  # 循环查找，越过叶节点后跳出
  cur, pre = @root, nil
  while !cur.nil?
    # 找到待删除节点，跳出循环
    break if cur.val == num

    pre = cur
    # 待删除节点在 cur 的右子树中
    if cur.val < num
      cur = cur.right
    # 待删除节点在 cur 的左子树中
    else
      cur = cur.left
    end
  end
  # 若无待删除节点，则直接返回
  return if cur.nil?

  # 子节点数量 = 0 or 1
  if cur.left.nil? || cur.right.nil?
    # 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
    child = cur.left || cur.right
    # 删除节点 cur
    if cur != @root
      if pre.left == cur
        pre.left = child
      else
        pre.right = child
      end
    else
      # 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
      @root = child
    end
  # 子节点数量 = 2
  else
    # 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
    tmp = cur.right
    while !tmp.left.nil?
      tmp = tmp.left
    end
    # 递归删除节点 tmp
    remove(tmp.val)
    # 用 tmp 覆盖 cur
    cur.val = tmp.val
  end
end
binary_search_tree.zig
// 删除节点
fn remove(self: *Self, num: T) void {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (self.root == null) return;
    var cur = self.root;
    var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.?.val == num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        } else {
            cur = cur.?.left;
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == null) return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.?.left == null or cur.?.right == null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        var child = if (cur.?.left != null) cur.?.left else cur.?.right;
        // 删除节点 cur
        if (pre.?.left == cur) {
            pre.?.left = child;
        } else {
            pre.?.right = child;
        }
    // 子节点数量 = 2
    } else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        var tmp = cur.?.right;
        while (tmp.?.left != null) {
            tmp = tmp.?.left;
        }
        var tmp_val = tmp.?.val;
        // 递归删除节点 tmp
        self.remove(tmp.?.val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.?.val = tmp_val;
    }
}
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4.   中序遍历有序

如图 7-22 所示，二叉树的中序遍历遵循“左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 \(<\) 根节点 \(<\) 右子节点”的大小关系。

这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。

利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 \(O(n)\) 时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。

二叉搜索树的中序遍历序列

图 7-22   二叉搜索树的中序遍历序列

7.4.2   二叉搜索树的效率

给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。观察表 7-2 ，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。

表 7-2   数组与搜索树的效率对比

无序数组 二叉搜索树
查找元素 \(O(n)\) \(O(\log n)\)
插入元素 \(O(1)\) \(O(\log n)\)
删除元素 \(O(n)\) \(O(\log n)\)

在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 \(\log n\) 轮循环内查找任意节点。

然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为图 7-23 所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 \(O(n)\) 。

二叉搜索树退化

图 7-23   二叉搜索树退化

7.4.3   二叉搜索树常见应用

  • 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
  • 作为某些搜索算法的底层数据结构。
  • 用于存储数据流，以保持其有序状态。
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