Tam giác đều

Tam giác đều

Trong hình học, tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau, mỗi góc bằng 60°. Nó là một đa giác đều với số cạnh bằng 3.

Tính chất

Giả sử độ dài ba cạnh tam giác đều bằng $a\,\!$, dùng định lý Pytago chứng minh được:

• Diện tích: $A=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$
• Chu vi: $p=3a\,\!$
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$
• Bán kính đường tròn nội tiếp $r=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$
• Trọng tâm của tam giác cũng là trực tâm và tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp
• Chiều cao của tam giác đều $h=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

Với một điểm P bất kỳ trong mặt phẳng tam giác, khoảng cách từ nó đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t ta có:

$3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}$.

Với một điểm P bất kỳ nằm bên trong tam giác, khoảng cách từ nó đến các cạnh tam giác là d, e, và f, thì d+e+f = chiều cao của tam giác, không phụ thuộc vào vị trí P.

Với điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, các khoảng cách từ nó đến các đỉnh của tam giác là p, q, và t, thì

$4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}$

và

$16(p^{4}+q^{4}+t^{4})=11a^{4}$.

Nếu P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp, với khoảng cách đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t, ta có:

$p=q+t$

và

$q^{2}+qt+t^{2}=a^{2};$

hơn nữa nếu D là giao điểm của BC và PA, DA có độ dài z và PD có độ dài y, thì

$z={\frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},$

và cũng bằng ${\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}$ nếu t ≠ q; và

${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{t}}={\frac {1}{y}}.$

Dấu hiệu nhận biết

• Tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều.
• Tam giác có 3 góc bằng nhau là tam giác đều.
• Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.
• Tam giác có 2 góc bằng 60 độ là tam giác đều.
• Tam giác có đường cao bằng nhau hoặc 3 đường phân giác bằng nhau hoặc 3 đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
• Tam giác có 2 trong 4 điểm đồng quy (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác đều

Xem thêm

• Lượng giác
• Định lý Viviani
• Tam giác Heron

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Equilateral Triangle", MathWorld.