Çokludoğrusal gönderim

Matematiğin bir alt dalı olan çokludoğrusal cebirde veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir çokludoğrusal gönderim her değişkeni için ayrı ayrı doğrusal olan çok değişkenli, yani birden fazla bağımsız değişkene sahip, bir fonksiyondur. Daha matematiksel bir ifadeyle, çokludoğrusal gönderim $V_{1},\ldots ,V_{n}$ ve $W\!$ vektör uzayları olmak üzere

$f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}$

biçiminde olan ve sabit tutulan herhangi bir $i\!$ için diğer $v_{j}\!$ değişkenleri sabit tutulduğunda ortaya çıkan tek değişkenli $f(v_{1},\ldots ,v_{n})$ fonksiyonunun $v_{i}\!$ bağımsız değişkeninde doğrusal fonksiyon olduğu bir fonksiyondur.

İki değişkenli bir çokludoğrusal gönderime bir çifte doğrusal gönderim denilir ve daha genel durumlarda, k değişkene bağlı bir çokludoğrusal gönderime k-doğrusal gönderim denilir. Eğer bir çokludoğrusal gönderimin değer kümesi bir skalerler cismi ise, o zaman bu gönderim çokludoğrusal form olarak adlandırılır. Çokludoğrusal gönderimler ve çokludoğrusal formlar çokludoğrusal cebrin çalışılmasında temel araçlardır.

Tüm değişkenler aynı cisme ait ise, k-doğrusal gönderim için, bakışımlı, tersbakışık ve almaşık k-doğrusal kavramlarından bahsedilebilir.

Örnekler

• Her çifte doğrusal gönderim aynı zamanda bir çokludoğrusal gönderimdir. Örneğin, bir vektör uzayındaki herhangi bir iç çarpım uzayı çokludoğrusal bir gönderimdir. Yine, $\mathbb {R} ^{3}$teki vektörler için tanımlı çapraz çarpım yine çokludoğrusal gönderimdir
• Bir matrisin determinantı, bir kare matrisin sütunlarının (veya satırlarının) tersbakışık çokludoğrusal fonksiyonudur.
• Eğer $F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ bir C^k fonksiyonu ise, $F\!$'nin her $p\!$ noktasındaki $k\!$inci türevi olan $D^{k}\!f(p)\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ bakışımlı $k\!$-doğrusal fonksiyon olarak görülebilir.

Koordinat gösterimi

Diyelimki

$f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}$

sonlu boyutlu vektör uzayları arasında bir çokludoğrusal gönderim olsun. Burada $V_{i}\!$ boyutu $d_{i}\!$'dir ve $W\!$ boyutu $d\!$'dir. Her bir $V_{i}\!$ için $\{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}$ ve $W\!$ için $\{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}$ taban seçersek, $A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}$ skalerlerini şöyle ifade edebiliriz:

$f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.$

Ardından $\{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}$ skalerleri, $f\!$ çokludoğrusal fonksiyonunu tam olarak tanımlar.

Özel olarak eğer, $1\leq i\leq n\!$ için,

${\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!$

oluyorsa,

$f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}$ olur.

Tensör çarpımıyla ilişkisi

Burada, çokludoğrusal gönderimler arasında doğal bire-bir karşılaştırma yapılmıştır.

$f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}$

ve doğrusal gönderimler

$F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}$

burada $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!$ ifadesi $V_{1},\ldots ,V_{n}$ tensör çarpımıdır.

$f\!$ ve $F\!$ fonksiyonlar arası ilişki şu formül ile verilir:

$F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=f(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

n×n matrislerindeki çokludoğrusal fonksiyonlar

Bir K değişmeli halkasındaki n×n matrisindeki çokludoğrusal fonksiyonlar, matrisin satırları (veya eşdeğer sütunları) olarak ifade edilir. Diyelim ki A gibi bir bir matris ve $a_{i}$, Anın 1 ≤ i ≤ n aralığındaki satırları olsun. Bu durumda D çokludoğrusal fonksiyonu şöyle yazılabilir:

$D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n})\,$

Daha geniş bir ifade ile;

$D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n})\,$

${\hat {e}}_{j}$ ifadesini, tanım matrisinin j.inci satırı olarak ele alırsak, her bir $a_{i}$ satırını şöyle olur.

$a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}$

Dnin çokludoğrusallığı kullanılarak D(A) yı yeniden yazalım;

$D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n})$

Her $a_{i}$ için 1 ≤ i ≤ aralığında sürekli yerine konulursa,

$D(A)=\sum _{1\leq k_{i}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}})$

Burada seçtiğimiz $1\leq i\leq n$ aralığında;

$\sum _{1\leq k_{i}\leq n}=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}\,$

İç içe toplamlar serisi elde edilir.

Burada, ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ satırlarında $D$ fonksiyonu vasıtasıyla D(A)'nın nasıl elde edildiği görüldü.

Örnekler

2×2 matrisleri şöyle yazılır;

$D(A)=A_{1,1}A_{2,1}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})\,$

Burada ${\hat {e}}_{1}=[1,0]$ ve ${\hat {e}}_{2}=[0,1]$'dir. D'yi bir alternatif fonksiyon olarak sınırlandırırsak;

$D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0$ ve $D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)$ olur. $D(I)=1$ olursa, 2×2 matrisinde şu determanant fonksiyonunu elde ederiz:

$D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}\,$

Özellikler

Çokludoğrusal gönderimde bir sıfır değeri varsa, bağımsız değişkenlerden biri sıfır olur.

n>1 için, yalnızca n-doğrusal gönderim ve sıfır fonksiyonudur. Çifte doğrusallık#Örneklere bakınız.

Ayrıca bakınız

• Cebirsel form
• Çokludoğrusal form
• Homojen polinom
• Homojen fonksiyon
• Tensörler
• çoklu doğrusal izdüşüm
• Çokludoğrusal altuzay öğrenimi