PostmanでjsonをPOSTしたい

application/json

で、送信している場合は、$_POST に値は、入りません。

<?php
$json = file_get_contents('php://input');
$arr = json_decode($json);
var_dump($arr);

のように php://input から入力を受け取る必要があります。

参考： PHPマニュアル : サポートするプロトコル/ラッパー php://

php://input は読み込み専用のストリームで、 リクエストの body 部から生のデータを読み込むことができます。

また、 $_POST で値を受け取るためには、ontent-Type が application/x-www-form-urlencoded や multipart/form-data で HTTP POST 送信する必要があります。

参照： PHPマニュアル : $_POST

Content-Type に application/x-www-form-urlencoded あるいは multipart/form-data を用いた HTTP リクエストで、 HTTP POST メソッドから現在のスクリプトに渡された変数の連想配列です。