Tjebysjovpolynom

Pafnutij Tjebysjov (1821-1894).

Tjebysjovpolynomen är en serie ortogonala polynom uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov.

Definition

Tjebysjovpolynomen av första ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}.$

De kan även definieras trigonometriskt som

$T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!.$

Deras genererande funktion är

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!$

Den exponentiella genererande funktionen är

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\tfrac {1}{2}}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!$

En annan genererande funktion är

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}\left(x\right){\frac {t^{n}}{n}}=\ln {\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}.$

Tjebysjovpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}$

Deras genererande funktion är

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!$

Egenskaper

För varje icke-negativt heltal n är T_n(x) och U_n(x) polynom av grad n.

Flera polynom, såsom Lucaspolynomen (L_n), Dicksonpolynomen (D_n) och Fibonaccipolynomen (F_n) är relaterade till Tjebysjovpolynomen.

Tjebysjovpolynomen av första ordningen satisfierar relationen

$T_{j}(x)T_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(T_{j+k}(x)+T_{|k-j|}(x)\right),\quad \forall j,k\geq 0\,$

En analog identitet för Tjebysjovpolynomen av andra ordningen är

$T_{j}(x)U_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(U_{j+k}(x)+U_{k-j}(x)\right),\quad \forall j,k.$

En formel analogisk till

$T_{n}\left(\cos \theta \right)=\cos(n\theta )$

är

$T_{2n+1}\left(\sin \theta \right)=(-1)^{n}\sin((2n+1)\theta )$.

För $x\neq 0$ är

$T_{n}\left({\tfrac {1}{2}}\left[x+x^{-1}\right]\right)={\tfrac {1}{2}}\left(x^{n}+x^{-n}\right)$ and

$x^{n}=T_{n}\left({\tfrac {1}{2}}\left[x+x^{-1}\right]\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(x-x^{-1}\right)U_{n-1}\left({\tfrac {1}{2}}\left[x+x^{-1}\right]\right)$

som följer ur definitionen genom att låta $x=e^{i\theta }$.

Låt

$C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)$

då är

$C_{n}\left(C_{m}(x)\right)=C_{m}(C_{n}(x)).$

Ortogonalitet

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}$

Relationer mellan Tjebysjovpolynom av första och andra ordningen

Följande relationer gäller mellan Tjebysjovpolynomen av första och andra ordningen:

${\tfrac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots$

$T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).$

$T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,$

$T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x),$

$U_{n}(x)=2\sum _{j\,\,{\text{udda}}}^{n}T_{j}(x)$, där n är udda.

$U_{n}(x)=2\sum _{j\,{\text{jämnt}}}^{n}T_{j}(x)-1$, där n är jämnt.

Explicita uttryck

Det finns ett flertal olika explicita uttryck för Tjebysjovpolynomen:

$T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ |x|\leq 1\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!$

${\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(1-x^{-2})^{k}\\&={\tfrac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=\,_{2}F_{1}\left(-n,n;{\frac {1}{2}};{\frac {1-x}{2}}\right)\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(1-x^{-2})^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=(n+1)\,_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}\left[1-x\right]\right)\end{aligned}}$

där $_{2}F_{1}$ är hypergeometriska funktionen.

Relation till andra funktioner

Tjebysjovpolynomen är ett specialfall av Gegenbauerpolynomen, som igen är ett specialfall av Jacobipolynomen:

$T_{n}(x)={\frac {1}{n-{\frac {1}{2}} \choose n}}P_{n}^{-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(x)={\frac {n}{2}}C_{n}^{0}(x)$ $U_{n}(x)={\frac {1}{2{n+{\frac {1}{2}} \choose n}}}P_{n}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(x)=C_{n}^{1}(x).$

Se även

• Hermitepolynom
• Legendrepolynom

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Chebyshev polynomials, 5 december 2013.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Tjebysjovpolynom.
  Bilder & media