Temeljni mnogokotnik

Temeljni mnogokotnik (tudi fundamentalni poligon) je v matematiki oziroma geometrijski topologiji zaprt mnogokotnik, ki ga sestavlja parno število usmerjenih stranic tako, da lahko paroma določimo posamezne stranice. Temeljni mnogokotnik nam služi za konstruiranje zaprtih ploskev. Vsako zaprto ploskev lahko na ta način konstruiramo s pomočjo usmerjenega mnogokotnika, ki ima parno število stranic. Konstrukcija, ki jo prikažemo s pomočjo temeljnega mnogokotnika, vsebuje 2n oznak, sestavljenih iz n simbolov. Vsak simbol se pojavi dvakrat, enkrat z eksponentom +1 in enkrat z eksponentom -1. Eksponent -1 pomeni, da ima pripadajoča stranica nasprotno orientacijo v temeljnem mnogokotniku.

Zgledi

sfera

realna projektivna ravnina

Kleinova steklenica

torus

• sfera: $ABB^{-1}A^{-1}$
• realna projektivna ravnina: $ABAB$
• Kleinova steklenica: $ABAB^{-1}$
• torus: $ABA^{-1}B^{-1}$.

Opomba: Način označevanja je opisan spodaj.

Označevanje temeljnih mnogokotnikov

Za temeljne mnogokotnike je v uporabi poseben način označevanja. Vsaka stranica je označena s simbolom (npr. A, B … ali A₁, A₂,... ), stranice imajo označene tudi smeri. Označujemo tako, da pričnemo z zgornjo stranico, nadaljujemo z desno, spodnjo in levo.

Izdelava zaprte ploskve

Zaprto ploskev naredimo iz temeljnega mnogokotnika tako, da združimo oziroma zlepimo stranice tako kot kaže njihova usmeritev. Pri tem je seveda potrebno upoštevati, da so nekatere smeri stranic obrnjene in moramo ploskev stranice primerno zavrteti. Na koncu se vsa oglišča mnogokotnika združijo v eni točki.

Standardni temeljni mnogokotniki

Orientabilne zaprte ploskve z genusom $n\,$ imajo naslednji standardni temeljni mnogokotnik:

$A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1$

Neorientabilne zaprte ploskve z genusom $n\,$ imajo temeljni polinom v

$A_{1}A_{1}A_{2}A_{2}\cdots A_{n}A_{n}$.

Zunanje povezave

• Konstrukcije mnogoterosti (angleško)
• Geometrija ploskev (angleško)