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2013.01.14
論理的に考えることの強力さを一生忘れなくさせる世界一くだらない問題
学校で教える内容を増やすとか減らすとかいう話を聞くと、思い出すことがある。
学校の授業で聞いたことで、今も覚えていることといえば、どれも余計なことばかりだ。
人間が不真面目にできているせいかもしれないが、意思伝達から冗長さや不要なものを除いていくと、いつしか何も伝わらなくなってしまうんじゃないかと思ってしまう。
以下で紹介するのも、むかし雑談のように聞いて、今も忘れがたく頭の片すみにあるバカ話である。
この主張を調査によって検証するためには、髪の毛の数を数えるという手間のかかる作業を、膨大な人数分繰り返すことが必要である。
ほとんどの人にとっては不可能であり、また可能な者がいたとしても、この主張の成否を知ることにはあまりにメリットがないので、調査が実施される見込みはほとんどない。
ではこの件は、人類にとって永遠に謎のままなのかといえば、そうではない。
我々は思考の力によって結論を得ることができる。
まず、この主張の反対を考えよう。
すなわち「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」という主張である。
この対立主張が成り立たないことを示せば、最初の主張が正しいことを証明できる。
「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」と仮定すると、すべての人間が毛の数の少ない順に一列に並べることができることになる。
この列のうち、ひとつ後ろの人間は、ひとつ前の人間よりも、少なくとも１本髪の毛が必ず多いはずである。
なぜなら「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」のだから。
すると、髪の毛が０本の人を先頭にしたとしても、６０億人の人間が並んだ列の最後尾には、髪の毛の数が少なくとも６０億本の人間が並んでいなければならない。
しかし人間の頭皮に６０億本の髪の毛が生えることはありえない。
というのも、頭髪は頭皮1平方cm当たりおよそ250～400本だから、６０億本の髪の毛が生えるためには（頭皮を半球形で近似すれば）、半球の半径をｒとすると、
４００（本／cm2）×(1/2)×4πｒ2＝6000000000本
となるから半球の半径ｒは
つまり６０億本の髪の毛が生えるためには、最低でも半径１５４５cm、直径３０ｍを越える頭を持たなくてはならない。
こうして「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」ことは否定される。
したがって髪の毛の数がまったく同じ人間が、少なくとももう一人存在することが証明された。
学校の授業で聞いたことで、今も覚えていることといえば、どれも余計なことばかりだ。
人間が不真面目にできているせいかもしれないが、意思伝達から冗長さや不要なものを除いていくと、いつしか何も伝わらなくなってしまうんじゃないかと思ってしまう。
以下で紹介するのも、むかし雑談のように聞いて、今も忘れがたく頭の片すみにあるバカ話である。
頭髪的双子の定理 髪の毛の数がまったく同じ人間が、少なくとももう一人存在する。 |
この主張を調査によって検証するためには、髪の毛の数を数えるという手間のかかる作業を、膨大な人数分繰り返すことが必要である。
ほとんどの人にとっては不可能であり、また可能な者がいたとしても、この主張の成否を知ることにはあまりにメリットがないので、調査が実施される見込みはほとんどない。
ではこの件は、人類にとって永遠に謎のままなのかといえば、そうではない。
我々は思考の力によって結論を得ることができる。
まず、この主張の反対を考えよう。
すなわち「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」という主張である。
この対立主張が成り立たないことを示せば、最初の主張が正しいことを証明できる。
「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」と仮定すると、すべての人間が毛の数の少ない順に一列に並べることができることになる。
この列のうち、ひとつ後ろの人間は、ひとつ前の人間よりも、少なくとも１本髪の毛が必ず多いはずである。
なぜなら「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」のだから。
すると、髪の毛が０本の人を先頭にしたとしても、６０億人の人間が並んだ列の最後尾には、髪の毛の数が少なくとも６０億本の人間が並んでいなければならない。
しかし人間の頭皮に６０億本の髪の毛が生えることはありえない。
というのも、頭髪は頭皮1平方cm当たりおよそ250～400本だから、６０億本の髪の毛が生えるためには（頭皮を半球形で近似すれば）、半球の半径をｒとすると、
４００（本／cm2）×(1/2)×4πｒ2＝6000000000本
となるから半球の半径ｒは
つまり６０億本の髪の毛が生えるためには、最低でも半径１５４５cm、直径３０ｍを越える頭を持たなくてはならない。
こうして「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」ことは否定される。
したがって髪の毛の数がまったく同じ人間が、少なくとももう一人存在することが証明された。
（追記）
ここで用いられた論法は、数学者のディリクレが1834年にSchubfachprinzip（「引き出し原理」）として述べたもので、鳩の巣原理、下駄箱論法、部屋割り論法などと呼ばれるものである。
鳩の巣原理という呼び方は、「鳩の数が巣箱の数より多ければ，少なくとも一つの巣箱には 2 羽以上の鳩が入る」というところから来ている。
数学オリンピックではマストアイテムとも言われ、大学入試問題にもこの論法を使えばきれいに解けるものが頻出する。
簡単な例題で、この論法の威力を見てみよう。
力任せにやっても解答にたどり着く。すなわち、１から10までの整数から相異なる６個の整数を選ぶ方法の数は10Ｃ6＝210通りだから、これらの210種類をくまなく調べればそれらの中にはすべて和が11となる２数が含まれていることは示せる。
鳩の巣原理を使うと、もっと少ない手間で済む。すなわち、
２数の和が11となるペアは｛1，10｝，｛2，9｝，｛3，8｝，｛4，7｝，｛5，6｝の５個である（これが巣箱である）。
相異なる６個の整数を選んだとすれば、どんな場合にも、鳩の巣原理により、５種類の巣箱のいずれかに、２個の数字が含まれるものがあるはずである。どの巣箱がそうなろうとも、巣箱の２数は必ず和が11となる２数だから、和が11になる２数が必ず含まれていることになる。 Q.E.D。
（参考書籍）
ここで用いられた論法は、数学者のディリクレが1834年にSchubfachprinzip（「引き出し原理」）として述べたもので、鳩の巣原理、下駄箱論法、部屋割り論法などと呼ばれるものである。
鳩の巣原理という呼び方は、「鳩の数が巣箱の数より多ければ，少なくとも一つの巣箱には 2 羽以上の鳩が入る」というところから来ている。
数学オリンピックではマストアイテムとも言われ、大学入試問題にもこの論法を使えばきれいに解けるものが頻出する。
簡単な例題で、この論法の威力を見てみよう。
（例題）１から10までの整数の中から相異なる６個の整数を選ぶと、それらの中には和が11になる２数が必ず含まれている。このことを示せ。 |
力任せにやっても解答にたどり着く。すなわち、１から10までの整数から相異なる６個の整数を選ぶ方法の数は10Ｃ6＝210通りだから、これらの210種類をくまなく調べればそれらの中にはすべて和が11となる２数が含まれていることは示せる。
鳩の巣原理を使うと、もっと少ない手間で済む。すなわち、
２数の和が11となるペアは｛1，10｝，｛2，9｝，｛3，8｝，｛4，7｝，｛5，6｝の５個である（これが巣箱である）。
相異なる６個の整数を選んだとすれば、どんな場合にも、鳩の巣原理により、５種類の巣箱のいずれかに、２個の数字が含まれるものがあるはずである。どの巣箱がそうなろうとも、巣箱の２数は必ず和が11となる２数だから、和が11になる２数が必ず含まれていることになる。 Q.E.D。
（参考書籍）
 | コンピュータサイエンスのための 離散数学入門 (1995/03) C.L. Liu 商品詳細を見る |
 | 数学を決める論証力―大学への数学 (2001/09/25) 福田 邦彦、石井 俊全 他 商品詳細を見る |
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nakanot
いつも大変興味深く拝見しています。
今回の問題は、設定が曖昧な気がします。「（どの個人にも）髪の毛の数がまったく同じ人間が、少なくとももう一人存在する。」だとすると、その対偶は今回の「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」ではなく、「誰とも髪の毛の本数の異なる個人が存在する」かと思います。
「髪の毛の本数が全く同じペアが、人類には少なくとも 1 ペア存在する」なら今回の解法で良いと思いますが…
今回の問題は、設定が曖昧な気がします。「（どの個人にも）髪の毛の数がまったく同じ人間が、少なくとももう一人存在する。」だとすると、その対偶は今回の「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」ではなく、「誰とも髪の毛の本数の異なる個人が存在する」かと思います。
「髪の毛の本数が全く同じペアが、人類には少なくとも 1 ペア存在する」なら今回の解法で良いと思いますが…
2013/01/14 Mon 18:42 URL [ Edit ]
ですよね、これだと体毛が生えない人が2人いればいいんだから。
2013/01/14 Mon 19:49 URL [ Edit ]
mun
私もnakanotさんと同じ意見です．
最初の命題の文章だと，「"任意の個人に関して"髪の毛が同じ本数の人間が，少なくとももう一人存在する．」という意味み捉えるほうが妥当かと思います．
（あくまでこれは日本語の問題ですが）
するとその対偶は，「誰とも髪の毛の本数が異なる人間が少なくとも一人存在する」
となり，このことの証明が容易ではないでしょう．
最初の命題の文章だと，「"任意の個人に関して"髪の毛が同じ本数の人間が，少なくとももう一人存在する．」という意味み捉えるほうが妥当かと思います．
（あくまでこれは日本語の問題ですが）
するとその対偶は，「誰とも髪の毛の本数が異なる人間が少なくとも一人存在する」
となり，このことの証明が容易ではないでしょう．
2013/01/14 Mon 22:02 URL [ Edit ]
80,001本の髪の毛を持つ人間は人類に一人しかいないかもしれません。
そもそも「髪の毛の本数が全く同じペアが、人類には少なくとも 1 ペア存在する」ことなんて、3本しか髪のない人を2人連れてくれば済みますし、それは比較的簡単なことではないでしょうか。
そもそも「髪の毛の本数が全く同じペアが、人類には少なくとも 1 ペア存在する」ことなんて、3本しか髪のない人を2人連れてくれば済みますし、それは比較的簡単なことではないでしょうか。
2013/01/14 Mon 22:30 URL [ Edit ]
yuuki
この列のうち、ひとつ後ろの人間は、ひとつ前の人間よりも、少なくとも１本髪の毛が必ず多いはずである。
なぜなら「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」のだから。
この部分間違ってませんか？？
なぜなら「髪の毛の数がまったく同じ人間が一人も存在しない」のだから。
この部分間違ってませんか？？
2013/01/14 Mon 23:07 URL [ Edit ]
髪の毛が0本の人を先頭にしたとすれば、60億人の人間が並んだ列の最後尾には、髪の毛の数が少なくとも59億9999万9999本の人間が並べばよいのである
2013/01/15 Tue 01:25 URL [ Edit ]
記事のいいたいことはわかるしそのとおりだと思うけど
定理が言葉足らず過ぎて誤解を与える
定理が言葉足らず過ぎて誤解を与える
2013/01/15 Tue 04:07 URL [ Edit ]
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