Sistema de numeração vigesimal

Parte da série sobre
sistemas de numeração
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Numerais alfabéticos Abjad Armênio Āryabhaṭa Cirílica
Outros sistemas Ático Babilônica Brahmi Egípcios Etrusco Inuíte Maia Romano Urnfield
Posicionais 5 10 15 20 2 4 8 16 32 64 3 6 9 12 24 30 36 60 1 7 13 26

O sistema vigesimal é o sistema de numeração que tem a base no número vinte.

A base vinte provavelmente tem a mesma origem que a base dez, que se relaciona às contagens primitivas feitas com os dedos - no caso da base vinte, somados os dedos das mãos aos dos pés.

A base vinte é usada para a contagem e nomeação dos numerais na Língua francesa na qual, por exemplo, o número 80 é designado por quatre-vingts ou seja, literalmente, quatro-vintes 80. Há também a forma huitante usada em Suíça.

O número vinte (tyve ) também é usado como um número básico na Língua dinamarquesa na qual Tres (abreviado de tresindstyve ) significa 3 vezes 20 ou seja 60; firs (abreviado de firsindstyve ) significa 4 vezes 20 isto é 80.

Também na Língua galesa o vocábulo ugain (vinte) é usado como um número básico embora no final do século XX o sistema decimal tenha obtido preferência. Aí, Deugain significa 2 vezes 20 ou seja 40 , trigain significa 3 vezes 20 ou seja 60. Antes da adoção do sistema decimal de moeda em 1971, chwigain de papur (6 vezes 20 (=120) de papéis) era o apelido da nota de 10 xelim (=120 pence).

Na Língua georgiana o vocábulo otsi (vinte) é usado como um número básico também. Por exemplo o número 31 (otsdatertmet'i ) ou seja, literalmente, vinte-e-onze. O número 67 (samotsdashvidi ) significa "três-vinte-e-sete".

Numerais maias.

Na civilização maia e asteca toda a matemática e sistema de calendários utilizava a base vigesimal, o que lhes valeu a possibilidade de calcular cifras altíssimas e assim conseguir precisão superior à da matemática em uso na Europa da época dos descobrimentos.

No antigo Reino Unido no sistema de moeda corrente, havia vinte xelims em um pound.

De acordo com o linguista alemão Theo Vennemann, o sistema vigesimal na Europa teve origem na Língua basca antiga e dela foi cooptada pelas outras línguas europeias, notadamente idiomas com origem céltica como o francês e o dinamarquês.

Porém de acordo com Menninger o sistema de numeração vigesimal se originou na linguagem dos Normandos.

Símbolos

São 20 símbolos e são assim 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.

Posições

Em um sistema de posicional vigesimal, vinte algarismos individuais (ou símbolos de dígitos) são usados, dez a mais do que no sistema decimal. Um método moderno de encontrar os símbolos extras necessários é escrever dez como a letra A, ou A 20, onde o 20 significa base 20, para escrever dezenove como J ₂₀, e os números entre com as letras correspondentes do alfabeto. Isso é semelhante à prática comum da ciência da computação de escrever numerais hexadecimais acima de 9 com as letras "A-F". Outro método menos comum pula a letra "I", a fim de evitar confusão entre I 20 como dezoito e um, de modo que o número dezoito é escrito como J 20, e dezenove é escrito como K₂₀. O número vinte está escrito como 10₂₀.

Tabela de multiplicação vigesimal

1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	10
2	4	6	8	A	C	E	G	I	10	12	14	16	18	1A	1C	1E	1G	1I	20
3	6	9	C	F	I	11	14	17	1A	1D	1G	1J	22	25	28	2B	2E	2H	30
4	8	C	G	10	14	18	1C	1G	20	24	28	2C	2G	30	34	38	3C	3G	40
5	A	F	10	15	1A	1F	20	25	2A	2F	30	35	3A	3F	40	45	4A	4F	50
6	C	I	14	1A	1G	22	28	2E	30	36	3C	3I	44	4A	4G	52	58	5E	60
7	E	11	18	1F	22	29	2G	33	3A	3H	44	4B	4I	55	5C	5J	66	6D	70
8	G	14	1C	20	28	2G	34	3C	40	48	4G	54	5C	60	68	6G	74	7C	80
9	I	17	1G	25	2E	33	3C	41	4A	4J	58	5H	66	6F	74	7D	82	8B	90
A	10	1A	20	2A	30	3A	40	4A	50	5A	60	6A	70	7A	80	8A	90	9A	A0
B	12	1D	24	2F	36	3H	48	4J	5A	61	6C	73	7E	85	8G	97	9I	A9	B0
C	14	1G	28	30	3C	44	4G	58	60	6C	74	7G	88	90	9C	A4	AG	B8	C0
D	16	1J	2C	35	3I	4B	54	5H	6A	73	7G	89	92	9F	A8	B1	BE	C7	D0
E	18	22	2G	3A	44	4I	5C	66	70	7E	88	92	9G	AA	B4	BI	CC	D6	E0
F	1A	25	30	3F	4A	55	60	6F	7A	85	90	9F	AA	B5	C0	CF	DA	E5	F0
G	1C	28	34	40	4G	5C	68	74	80	8G	9C	A8	B4	C0	CG	DC	E8	F4	G0
H	1E	2B	38	45	52	5J	6G	7D	8A	97	A4	B1	BI	CF	DC	E9	F6	G3	H0
I	1G	2E	3C	4A	58	66	74	82	90	9I	AG	BE	CC	DA	E8	F6	G4	H2	I0
J	1I	2H	3G	4F	5E	6D	7C	8B	9A	A9	B8	C7	D6	E5	F4	G3	H2	I1	J0
10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	C0	D0	E0	F0	G0	H0	I0	J0	100

Decimal	Vigesimal
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	A
11	B
12	C
13	D
14	E
15	F
16	G
17	H
18	I	J
19	J	K

De acordo com essa notação:

20₂₀ equivale a quarenta em decimal = (2 × 20 ¹) + (0 × 20⁰)

D0₂₀ equivale a duzentos e sessenta em decimal = (13 × 20 ¹) + (0 × 20⁰)

100₂₀ equivale a quatrocentos em decimal = (1 × 20 2) + (0 × 20 ¹) + (0 × 20⁰).

No restante deste artigo abaixo, os números são expressos em notação decimal, a menos que especificado de outra forma. Por exemplo, 10 significa dez, 20 significa vinte. Os números na notação vigesimal usam a convenção de que I significa dezoito e J significa dezenove.

Números cíclicos

A fatoração primária de vinte é 2² × 5, por isso não é um poder perfeito. No entanto, sua parte livre de quadrados, 5, é congruente com 1 (mod 4). Assim, de acordo com a conjectura de Artin sobre raízes primitivas, o vigesimal tem infinitos primos cíclicos, mas a fração de primos que são cíclicos não é necessariamente ~37,395%. Um programa UnrealScript que calcula os comprimentos de períodos recorrentes de várias frações em um dado conjunto de bases descobriu que, dos primeiros 15 456 primos, ~39,344% são cíclicos em vigesimal.

Números reais

Número irracional algébrico	Em decimal	Em vigesimal
√2 (o comprimento da diagonal de um quadrado unitário)	1,41421356237309...	1,85DE37JGF09H6...
√3 (o comprimento da diagonal de um cubo unitário)	1,73205080756887...	1,ECG82BDDF5617...
√5 (o comprimento da diagonal de um retângulo de 1 × 2)	2,2360679774997...	2,4E8AHAB3JHGIB...
φ (phi, a proporção áurea = 1+√5/2)	1,6180339887498...	1,C7458F5BJII95...
Número irracional transcendental	Em decimal	Em vigesimal
π (pi, a razão entre circunferência e diâmetro)	3,14159265358979...	3,2GCEG9GBHJ9D2...
e (a base do logaritmo natural)	2,7182818284590452...	2,E7651H08B0C95...
γ (o pi entre a série harmônica e o logaritmo natural 2)	0,5772156649015328606...	0,BAHEA2B19BDIBI...

Fontes

• Chrisomalis, Stephen (18 de janeiro de 2010). Numerical Notation: A Comparative History (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 135–136. ISBN 978-0-521-87818-0