Primos de Wall–Sun–Sun

Em teoria dos números, um número primo de Wall-Sun-Sun ou primo de Fibonacci-Wieferich é um tipo de número primo, do qual se conjectura que existe, porém atualmente não se conhece algum. Um primo p > 5 é definido como primo de Wall-Sun-Sun se

$p^{2}|F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}$,

onde $F$ é o $({p-\left({\frac {p}{5}}\right)})$-ésimo número de Fibonacci e o símbolo de Legendre $\left({\frac {p}{5}}\right)$ é definido como

$\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1&{\textrm {se}}\;p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&{\textrm {se}}\;p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}$

Os primos de Wall-Sun-Sun são chamados assim devido a D. D. Wall, Zhi Hong Sun e Zhi Wei Sun. Z. H. Sun e Z. W. Sun mostraram em 1992 que se o primeiro caso do último teorema de Fermat fosse falso para um determinado número primo p, então p teria que ser necessariamente um primo de Wall-Sun-Sun. Como um resultado prévio à demostração de Andrew Wiles do último teorema de Fermat em 1995, a busca de primos de Wall-Sun-Sun conduziria também à busca de possíveis contraexemplos da então, centenária conjectura.

Não há números primos de Wall-Sun-Sun conhecidos até o ano de 2007, Richard J. McIntosh and Eric L. Roettger mostraram que se existirem alguns, estes devem ser > 2×10^{7001140000000000000♠14}.

Tem-se conjecturado que existe uma infinidade de primos de Wall-Sun-Sun.

Veja também

• Número primo de Wieferich
• Número primo de Wilson
• Número primo de Wolstenholme

Bibliografia

• Crandall, Richard E.; Pomerance, Carl (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer. p. 29. ISBN 0387947779 

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Wall-Sun-Sun prime». MathWorld (em inglês) 
• Richard McIntosh, Status of the search for Wall-Sun-Sun primes (Octubre de 2003)