Integral de Tchebychev

Pafnuty L. Chebyshev — (1821-1894)

A Integral de Tchebychev é formulada por

Teorema — $\int x^{p}(1-x)^{q}dx=B(x;1+p,1+q)$

onde $B(x;a,b)$ é a função beta incompleta.

Teorema de integração dos binômios diferenciais

Tchebychev demostrou que as integrais indefinidas binômicas da forma:

$\int x^{m}(a+b\,x^{n})^{p}dx$

onde $a$ e $b$ são números reais e $m$, $n$ e $p$ são números racionais, não podem ser expressos em termos de funções elementares para qualquer $m$, $n$ e $p$, exceto no caso em que (pelo menos) uma das condições é satisfeita:

$p$ é um número inteiro;

Expande-se $(a+b\,x^{n})^{p}$ pela fórmula binomial, escrevemos o integrando como uma função racional dos radicais simples ${\sqrt[{c}]{x^{i}}}=x^{\frac {i}{c}}$. Então a substituição $x=t^{r}$, onde $r$ é o maior de todos os denominadores $c$, removerá completamente os radicais.

${\frac {m+1}{n}}$ é um número inteiro;

Substitui-se $a+b\,x^{n}=t^{k}$ onde $k$ é o denominador de $p$, ou seja, $x={\sqrt[{n}]{\frac {t^{k}-a}{b}}}$ e $x^{m}={\biggl (}{\frac {t^{k}-a}{b}}{\biggr )}^{\frac {m}{n}}$.

$p+{\frac {m+1}{n}}$ é um número inteiro.

Substitui-se $ax^{-n}+b=t^{k}$ onde $k$ é o denominador de $p$.

Caso nenhuma condição seja satisfeita, a não função não pode ser representada por funções elementares.

Exemplo

• $\int x^{3}(1+2x^{2})^{-{\frac {3}{2}}}dx$, onde $p=-{\frac {3}{2}}$, $n=2$ e $m=3$, ou seja, ${\frac {m+1}{n}}={\frac {3+1}{2}}=2$.

Logo, $1+2x^{2}=z^{2}\longrightarrow x={\sqrt {\frac {z^{2}-1}{2}}}\longrightarrow dx={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}dz$ .

Assim, $F(x)=\int {\bigg (}{\frac {z^{2}-1}{2}}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}(z^{2})^{-{\frac {3}{2}}}z(z^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}dz={\frac {1}{4}}\int z^{-2}(z^{2}-1)dz={\frac {1}{4}}\int {\biggl (}1-{\frac {1}{z^{2}}}{\biggl )}dz={\frac {1}{4}}{\biggr (}z+{\frac {1}{z}}{\biggr )}+C={\frac {1}{4}}{\biggr (}{\sqrt {1+2x^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {1+2x^{2}}}}{\biggr )}+C.$

Ver também

• Função beta incompleta.