Função homogênea

Uma função homogénea não é necessariamente contínua, como mostrado por este exemplo. Esta função f é definida por:
$f(x,y)=x$ se $xy>0$ ou
$f(x,y)=0$ se $xy\leq 0$.
Esta função é homogénea de grau 1, i.e. $f(\alpha x,\alpha y)=\alpha f(x,y)$ para quaisquer números reais $\alpha ,x,y$. É descontínua em $y=0$.

Uma função $f(\mathbf {x} )$ diz-se homogênea ^{(português brasileiro)} ou homogénea ^{(português europeu)} de grau $k$ se:

$f\left(t\mathbf {x} \right)=t^{k}f\left(\mathbf {x} \right)$

quando $\mathbf {x}$ e $t\mathbf {x}$ pertencem ao domínio de $f(\mathbf {x} )$.

Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.

O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física. De acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vaschy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).

Exemplos

• $f\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}$ é uma função homogênea de grau 2, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:

$f\left(tx,ty\right)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}=t^{2}(x^{2}+y^{2})=t^{2}f\left(x,y\right)$

• $f\left(x,y\right)={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$ é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:

$f\left(tx,ty\right)={\frac {(tx)^{2}}{(ty)^{2}}}$ $={\frac {t^{2}x^{2}}{t^{2}y^{2}}}=t^{0}\times {\frac {x^{2}}{y^{2}}}=t^{0}f\left(x,y\right)=f\left(x,y\right)$

Propriedades

Uma função homogênea algébrica u de duas variáveis (x,y) pode ser escrita como $u=x^{k}\phi ({\frac {y}{x}})\,$

Analogamente, para uma função de várias variáveis (x, y, z, ...) pode-se mostrar que $u=x^{k}\phi ({\frac {y}{x}},{\frac {z}{x}},\ldots )\,$

Derivadas de funções homogêneas

Se $f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)$ é homogênea de grau $k$, então, para qualquer n, a função de derivada parcial ${\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)}{\partial x_{n}}}$, se existir, é homogênea de grau $(k-1)$

Identidade de Euler

A identidade de Euler aplicada às funções homogêneas dita o seguinte.

Seja $f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{m})$ uma função homogénea de grau $n$, então verifica-se a seguinte igualdade:

$x_{1}{\partial f \over \partial x_{1}}+x_{2}{\partial f \over \partial x_{2}}+x_{3}{\partial f \over \partial x_{3}}+...+x_{m}{\partial f \over \partial x_{m}}=n\cdot f$

Exemplo

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ é homogénea de grau $n=2$. Então

$x{\partial f \over \partial x}+y{\partial f \over \partial y}=x(2x)+y(2y)=2(x^{2}+y^{2})=2\cdot f(x,y)$