Atlas (topologia)

Em matemática, particularmente em topologia, um atlas é um conceito utilizado para descrever uma variedade. Um atlas consiste em cartas individuais que, em termos gerais, descrevem regiões específicas da variedade. No geral, a noção de atlas é a base da definição formal de uma variedade e estruturas relacionadas, como fibrados vetoriais e outros fibrados. A variedade é a união das imagens das cartas.

A definição de um atlas depende da noção de carta. Uma carta para um espaço topológico M é um homeomorfismo $\varphi$ de um subconjunto aberto U de M para um subconjunto aberto de um espaço euclidiano. A carta é tradicionalmente representada pelo par ordenado $(U,\varphi )$.

Ao escolher um sistema de coordenadas no espaço euclidiano, define-se coordenadas em $U$: as coordenadas de um ponto $P$ em $U$ são dadas como as coordenadas de $\varphi (P).$ O par formado por uma carta e tal sistema de coordenadas é chamado de sistema de coordenadas local, cartas coordenadas.

Definição formal de atlas

Um atlas para um espaço topológico $M$ é uma família indexada ${(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I}$ de cartas em $M$ que cobre $M$ (ou seja, ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$). Se, para um valor fixo n, a imagem de cada carta for um subconjunto aberto de um espaço euclidiano n-dimensional, então $M$ é chamada de uma variedade n-dimensional.

Cartas

A definição de um atlas depende da noção de carta. Uma carta para um espaço topológico M é um homeomorfismo $\varphi$ de um aberto U de M para um aberto de um espaço euclidiano. A carta é tradicionalmente representada pelo par ordenado $(U,\varphi )$.

Quando um sistema de coordenadas é escolhido no espaço euclidiano, isso define coordenadas em $U$: as coordenadas de um ponto $P$ em $U$ são definidas como as coordenadas de $\varphi (P)$. O par formado por uma carta e tal sistema de coordenadas é chamado de sistema de coordenadas local, cartas coordenadas ou referencial local.

Mapas de transição

$M$

$U_{\alpha }$

$U_{\beta }$

$\varphi _{\alpha }$

$\varphi _{\beta }$

$\tau _{\alpha ,\beta }$

$\tau _{\beta ,\alpha }$

$\mathbf {R} ^{n}$

$\mathbf {R} ^{n}$

Dupla de cartas em uma variedade e seu respectivo mapa de transição

Um mapa de transição ou função de transição fornece um meio de comparar duas cartas de um atlas. Para realizar essa comparação, considera-se a composição de uma carta com a inversa da outra. Essa composição não está bem definida, a menos que ambas as cartas sejam restritas à interseção de seus domínios de definição. (Por exemplo, se temos uma carta da Europa e uma carta da Rússia, podemos comparar essas duas cartas em sua sobreposição, isto é, a parte europeia da Rússia.)

De maneira mais precisa, suponha que $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ e $(U_{\beta },\varphi _{\beta })$ sejam duas cartas de uma variedade M tal que $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ não seja vazio. O mapa de transição $\tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ é definido como: $$\tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.$$Note que, como $\varphi _{\alpha }$ e $\varphi _{\beta }$ são ambos homeomorfismos, o mapa de transição $\tau _{\alpha ,\beta }$ também é um homeomorfismo.

Estrutura adicional

Frequentemente, deseja-se mais estrutura em uma variedade além da estrutura topológica. Por exemplo, se quisermos uma noção inequívoca de diferenciação de funções em uma variedade, é necessário construir um atlas cujas funções de transição sejam diferenciáveis. Tal variedade é chamada de diferenciável. Dada uma variedade diferenciável, é possível definir de forma inequívoca a noção de vetores tangentes e, a partir disso, derivadas direcionais.

Se cada função de transição for uma função suave, o atlas é chamado de atlas suave, e a variedade em si é chamada de suave. Alternativamente, pode-se exigir que os mapas de transição tenham apenas k derivadas contínuas, caso em que o atlas é dito ser $C^{k}$.

De maneira mais geral, se cada função de transição pertencer a um pseudogrupo ${\mathcal {G}}$ de homeomorfismos do espaço euclidiano, o atlas é chamado de ${\mathcal {G}}$-atlas. Se os mapas de transição entre as cartas de um atlas preservarem uma trivialização local, então o atlas define a estrutura de um fibrado.