Równanie parametryczne

Równanie parametryczne – równanie, które określa daną wielkość jako funkcję jednej lub kilku zmiennych nazywanych parametrami. Np. w kinematyce często jako parametr przyjmuje się czas $t$ – za jego pomocą opisuje się współrzędne wektora położenia ciała, prędkości, pędu, momentu pędu itp., które w ogólności zależą od czasu.

Równania parametryczne stosuje się też powszechnie do definicji krzywych lub powierzchni: za pomocą równań parametrycznych określa się współrzędne punktów krzywej lub powierzchni. Przy tym krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru. Gdy są dwa parametry, to mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Przykłady dwuwymiarowe

Parabola

Równanie paraboli

y=x^{2}

można sparametryzowane za pomocą parametru $t$ :

x(t)=t

,

y(t)=t^{2}

,

gdzie $t\in (-\infty ,+\infty )$ .

Okrąg

Równania parametryczne okręgu o promieniu $a$ mają postać:

x=a\cos(t)

,

y=a\sin(t)

,

gdzie $t\in [0,2\pi )$ .

Każda krzywa opisana wzorem funkcji

Rozszerzenie przykładu paraboli. Jeśli krzywą można opisać równaniem $y=f(x)$ , to równania parametryczne będą mogły przyjmować formę:

x=t

y=f(t)

.

Przykłady trójwymiarowe

Helisa

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

x=a\cos(t)

y=a\sin(t)

z=bt,

gdzie $a>0,$ $t\in [0,2\pi ),$

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu $a,$ która wznosi się o $2\pi b$ co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt).

Powierzchnie parametryczne

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany równaniami zależnymi od dwóch parametrów $t,u{:}$

x=\cos(t)\cdot [R+r\cos(u)]

y=\sin(t)\cdot [R+r\cos(u)]

z=r\cdot \sin(u),

gdzie $t\in [0,2\pi ),$ $u\in [0,2\pi ).$

Zastosowanie

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż równania te można różniczkować lub całkować względem parametru.

Np. prędkość jest pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b),

natomiast przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0).

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej $t$ z równań $x=x(t),\ y=y(t).$ Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla $t,$ wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne $x$ oraz $y.$ Jeśli $x(t)$ i $y(t)$ są funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej $t.$ Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie^[1].