Kvadratsetningene

Det finnes to kvadratsetninger, og dessuten den noe beslektede konjugatsetningen. De er nyttige å kunne både fremlengs og baklengs, for å gjøre både algebra og hoderegning enklere.

1. Kvadratsetning

$\ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

2. Kvadratsetning

$\ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Konjugatsetningen

Vi regner ikke her ut noe kvadrat, men en differanse mellom to kvadrater. Denne setningen blir ofte feilaktig kalt 3. kvadratsetning.

$\ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Fullstendig kvadrat

Utdypende artikkel: Kvadratkomplettering

Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som kan faktoriseres ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Uttrykket $\ x^{2}+bx+c$ er et fullstendig kvadrat dersom $\ (b/2)^{2}=c$ . Da er $\ x^{2}+bx+c=(x+b/2)^{2}$ .

Dersom en har et uttrykk som ikke akkurat passer med en av de to første kvadratsetningene kan man utvide dem til fullstendig kvadrater.

$\ x^{2}-6x+4$

Vi lager et fullstendig kvadrat:

$\ =x^{2}-6x+(6/2)^{2}-(6/2)^{2}+4$

$\ =x^{2}-6x+3^{2}-9+4$

$\ =(x-3)^{2}-5$

Generalisert fullstendig kvadrat

Et generelt andregradsuttrykk kan skrives som et generelt fullstendig kvadrat på følgende måte

$ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

Mer generelt, om $n$ er et positivt heltall, så

$ax^{2n}+bx^{n}+c=a\left(x^{n}+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

Hoderegning

God kunnskap til kvadratsetningene kan gjøre vanlig hoderegning enklere. Fremgangsmåten er å se på ulike multiplikasjonsoppgaver som en kvadratsetning. Eksempler:
$19*21=(20-1)(20+1)=20^{2}-1^{2}=399$
$31*31=31^{2}=(30+1)^{2}=30^{2}+2*30*1+1^{2}=900+60+1=961$

Se også

Kilder

«Kvadratsetningene», fra matematikk.org

Autoritetsdata