数学の質問です。

最も重要なのは

「$ab=0⇔a=0またはb=0$」

です。たぶんご存知でしょう

方程式に対して未知数を両辺に掛ける、未知数を両辺で割る、両辺を~乗するなどの操作の同値性は、全部これで説明できます。

例えば方程式$f(x)=0$の両辺に未知数$x$を掛ける。

$xf(x)=x×0$

$⇔xf(x)=0$

$⇔x=0またはf(x)=0$

ここで、$f(0)=0$が成り立つときは、

$x=0またはf(x)=0(かつf(0)=0)$

$⇔f(x)=0$

となります

方程式$f(x)=0$の両辺に式$g(x)$を掛ける。$(g(x)の定義域はG)$

$f(x)g(x)=0⇔f(x)=0または$g(x)=0$

ここで、$\{x \in G|g(x)=0\} \subset \{x \in G|f(x)=0\}$が成り立つときは、

$f(x)=0またはg(x)=0$

$⇔f(x)=0かつx \in G$

となります

方程式$f(x)=g(x)$の両辺に式$h(x)$を掛ける。$(h(x)の定義域はH)$

$f(x)h(x)=g(x)h(x)$

$⇔(f(x)-g(x))h(x)=0$

$⇔f(x)-g(x)=0またはh(x)=0$

$⇔f(x)=g(x)またはh(x)=0$

ほぼないですが、$\{x \in H|h(x)=0\} \subset \{x \in H|f(x)=g(x)\}$が成り立つときは、

$f(x)=g(x)またはh(x)=0$

$⇔f(x)=g(x)かつx \in H$

となります

方程式$f(x)=0$の両辺を$n$乗する。

$f(x)^n=0$

$⇔f(x)^{n-1}=0またはf(x)=0$

$\cdots$

$⇔f(x)=0$

となります

方程式$f(x)=g(x)$の両辺を$n$乗する。

$f(x)^n=g(x)^n$

$⇔f(x)^n-g(x)^n=0$

$⇔(f(x)-g(x))(f^{n-1}(x)+\cdots+g^{n-1}(x))=0$

$⇔f(x)=g(x)またはf^{n-1}(x)+\cdots+g^{n-1}(x)=0$

あまりないですが、$\{x|f^{n-1}(x)+\cdots+g^{n-1}(x)=0\} \in \{x|f(x)=g(x)\}$が成り立つときは、

$f(x)=g(x)またはf^{n-1}(x)+\cdots+g^{n-1}(x)=0$

$⇔f(x)=g(x)$

となります

グラフ$f(x,y)=0$の両辺に未知数$x$を掛ける。

$xf(x,y)=0$

$⇔x=0またはf(x,y)=0$

ここでグラフ$x=0$がグラフ$f(x,y)=0$に含まれるときは

$x=0またはf(x,y)=0$

$⇔f(x,y)=0$

となります

グラフ$f(x,y)=0$の両辺にグラフ$g(x,y)$を掛ける。$(g(x,y)の定義域はG^2)$

$f(x,y)g(x,y)=0$

$⇔f(x,y)=0またはg(x,y)=0$

ここでグラフ$g(x,y)=0((x,y) \in G^2)$がグラフ$f(x,y)=0((x,y) in G^2)$に含まれるときは

$f(x,y)=0またはg(x,y)=0$

$⇔f(x,y)=0かつ(x,y) \in G^2$

となります

グラフ$y=f(x)$にグラフ$y=g(x)$を掛け合わせる。$(g(x)の定義域はG)$

表現的に正しいかわかりませんが、こういうことです。

$y(y-g(x))=f(x)(y-g(x))$

$⇔(y-f(x))(y-g(x))=0$

$⇔y=f(x)またはy=g(x)$

ほぼないですが、$x \in G$において$f(x)=g(x)$であるときは、

$y=f(x)またはy=g(x)$

$⇔y=f(x)$

となります

だいたいこんな感じです