至急！

[1]

$\mathrm{A}(1,\tan\theta)$ より$$r_1=\tan\theta$$である。

線分 $\mathrm{OB}$ と $y$ 軸正の向きがなす角は $\dfrac{\pi-2\theta}{2}$ だから、$$\alpha=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi-2\theta}{2}=\theta+\dfrac{\pi}{4}$$となる。

(1)

$\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のとき、$$r_1=\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$である。

このとき $\tan\alpha=\tan(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4})=2+\sqrt3$ となるから、直線 $\mathrm{OB}$ の方程式は$$y=(2+\sqrt3)x$$となる。

また、$r_2=\dfrac{\sqrt3}{3}$ とすると、点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標も $\dfrac{\sqrt3}{3}$ だから、$$\mathrm{B}\left(\dfrac{\sqrt3}{3},\dfrac{2\sqrt3}{3}+1\right)$$である。

(2)

$C_1$ と $C_2$ が点 $\mathrm{T}$ で外接するとき、点 $\mathrm{T}$ において直線 $l$ と接するから、$$\mathrm{OT}=r_1=1$$であり、$$\angle\mathrm{BOT}=\dfrac{\pi}{4}-\theta$$である。$\angle\mathrm{BTO}=\dfrac{\pi}{2}$ であることに注意すると、$$\mathrm{BT=OT}\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\theta\right)=\dfrac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}$$を得る。したがって、

$$\begin{aligned}\mathrm{AB}&=\mathrm{AT+BT}=r_1+r_2 \\&=\tan\theta+\dfrac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta} \\&=t+\dfrac{2}{t}-2\end{aligned}$$

となる。$0<\theta<\dfrac{\pi}{4} \iff 1<t<2$ だから、相加平均と相乗平均の大小関係により$$t+\dfrac{2}{t}-2\geqq2\sqrt{t\cdot\dfrac{2}{t}}-2=2\sqrt2-2$$であり、等号成立は $t=\dfrac{2}{t}\iff t=\sqrt2$ すなわち$$\tan\theta=\sqrt2-1$$のときである。

[2]

初期状態における食塩の量は、$$500\times0.1=50\ [\mathrm{g}]$$であり、そのうち $100\ \mathrm{[g]}$ すなわち全体の $\dfrac{1}{5}$ にあたる量の食塩水を取り出す。つまり、残った食塩の量は$$50\times\dfrac{4}{5}=40\ \mathrm{[g]}$$ である。

濃度が $1 \%$ 以下となるときの食塩の量は $5\ \mathrm{[g]}$ だから、$n$ 回の操作によって題意の条件が満たされるとき、

$$\left(\dfrac{4}{5}\right)^n\times50\leqq5 \iff 2^{2n+1}<5^{n-1}$$であり、両辺の常用対数をとると

$$\begin{aligned}(2n+1)\log_{10}2\leqq (n-1)\log_{10}5 &\iff 3n\log_{10}2 \leqq n-1 \\&\iff n\geqq 10.3\cdots\end{aligned}$$となって、求める回数は $11$ 回である。