数学の質問です。

$x,y$がどう動けるかを考えるのに$t$の範囲を考える必要はないのですか？

例えば（３）で$t=5$を代入するとそれに対応する$x$は存在しますが、$y$は存在しないですよね？そうすると、座標平面上に$t=5$に対応する点は存在しないことになりますよね？私はこう考えたのですが…

試しに私の解き方で解いて見ますね。

$x=\sqrt{t}$より$0 \leqq t$

$y=\sqrt{4-t}$より$0 \leqq t \leqq 4$

双方を満たす$t$にのみ、対応する平面上の点が存在するので$t$の範囲は$0 \leqq t \leqq 4$

因って$0 \leqq x \leqq 2$、$0 \leqq y \leqq 2$

条件式から$t$を消去した式は$x^2+y^2=4$

これと$0 \leqq x \leqq 2$、$0 \leqq y \leqq 2$より、求める曲線は$x^2+y^2=4$、$x \geqq 0$、$y \geqq 0$

Enigmathematicsさんすみません💦年末で忙しいとは思いますが、是非ご返信頂けたら嬉しいです。

お返事遅くなって申し訳ないです！！これよくよく考えてみるとだんだんと私でも訳わからなくなってしまって...

現時点での私の考えを申しますと、おそらく回答は結果論のような感じで範囲の制定を行っているように見えます。$(3)$の場合は、$x=\sqrt{t},y=\sqrt{4-t}$の中身が正という事だけで答えを出しています。たぶんこれは答えを知っていないと出来ることじゃないかと感じます。対して、$(4)$の場合はより条件の厳しいほうで$t$を論証しているのでこちらはより丁寧な解答なので問題はなさそうです。結局のところ、丁寧に範囲を出してあげた方がより厳正な答えが出ることは間違いないので、個人的には解答のほうは大目に見てあげたいかなと勝手に思っています。確実なことが言えずにごめんなさい🙇　また何かあれば補足したいです

分かりました！態々ありがとうございます！

また何か分かったら教えて下さい！

また考えがまとまりましたので、今回の問題にまた触れたいと思います。

(冗長になり申し訳ありません)

解答には$t$の範囲を直接で出していないように見えましたが、ちゃんと出していると思います。$(3)$では$x=\sqrt{t}≧0$としており、これは間接的に$t≧0$を示しているとも取れます。すると$y=\sqrt{4-t}$の方はどうなのかとなります。

$y=\sqrt{4-t}≧0$だけで記述していて$4-t$が放っておかれているように見えますが、$y≧0$の時点で$t$の範囲が自然と決まっていますのでこの状況で$t$を消去しても矛盾なく結論を出せるという考えです。$x,y$の動ける範囲を考えるだけで十分、ということでしょうか。

つまり媒介変数に内包されている条件は直接出さなくて良い、そもそも$x,y$の条件を満たせない$t$は考える必要もないし存在しないので大丈夫、だと思います。

態々ありがとうございます。

実は、他の回答者さんの回答を読んで居る時に気付いたのですが、自分が解答を勘違いして居る部分がありました…勘違いに気付いた後にもう一度解答を吟味して見たらEnigmathematicsさんと同じ結論に至りました。ｘ，ｙの範囲にｔの範囲が含まれて居るので個別にｔの範囲を考える必要はないんですよね。

自分のミスに長々と付き合わせて終って申し訳ないです🙇💦

回答ありがとうございます。

もう少し説明を詳しくお願い出来ますか？数学が苦手なもので…

>>例えば(3)だと $x$ を満たす $t$ が $y$ を満たさない可能性、$y$ を満たす $t$ が $x$ を満たさない可能性があると思うのですが

$x$ 座標がとれるのは $t\geqq0$, $y$ 座標がとれるのは $t\leqq4$ なので、点 $\mathrm{P}$ が $xy$ 平面上に存在する、つまり曲線が存在するのは $0\leqq t\leqq4$ であることが暗示されています。

DoubleExpYuiさんがおっしゃっていることは分かるのですが、写真の解説だと、$0 \leqq t \leqq 4$が考慮されて居ないのではないかと思いました。$0 \leqq t \leqq 4$を考慮すると、$0 \leqq x \leqq 2$、$0 \leqq y \leqq 2$が分かるので、媒介変数表示された式から$t$を消去した式と、$0 \leqq x \leqq 2$、$0 \leqq y \leqq 2$を合わせて考えるべきなのではないのでしょうか？