• 解決済み

    @harunootoshigo

    2021/8/3 18:34

    1 回答

    どこかの大学入試の積分の問題で、logxが入っている式なのに積分区間が0から何かまでになっている問題を見たことがあります

    あれは何なのでしょうか？うろ覚えですみません…

    1. 高校生
    2. æ•°å­¦
    3. 数学Ⅲ

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    @tokai_teio

    2021/8/4 14:28

    「広義積分」という考え方で適用可能です。


    例えば以下の積分を考えてみましょう。


    J=∫04xlog⁡x dxJ = \int_0^{4} x \log x \, dx

    まず、十分に0に近い正の実数 ε  (0<ε<4)\varepsilon \; (0 < \varepsilon < 4) を用意します。そして、ε\varepsilon から 44 までの積分を考えるのです。

    K=∫ε4xlog⁡x dxK = \int_\varepsilon^{4} x \log x \, dx

    最後に ε→0\varepsilon \to 0 とすれば K→JK \to J となります。

    実際に計算すると

    K=[x(xlog⁡x−x)]ε4−∫ε4(xlog⁡x−x) dx2K=16(2log⁡2−1)−ε2(log⁡ε−1)+8−ε22K=8(2log⁡2−1)−12ε2(log⁡ε−1)+4−ε24K = \left[ x (x \log x - x) \right]_\varepsilon^{4} - \int_\varepsilon^{4} (x \log x - x) \, dx \\2K = 16(2\log 2 - 1) - \varepsilon^2 (\log \varepsilon - 1) + 8 - \dfrac{\varepsilon^2}{2} \\K = 8 (2 \log 2 - 1) - \dfrac{1}{2} \varepsilon^2 (\log \varepsilon - 1) + 4 - \dfrac{\varepsilon^2}{4}

    ε→0\varepsilon \to 0 として

    J=16log⁡2−4J = 16 \log 2 - 4

    と求められるのです。


    大学入試の範囲で出題して良いのかどうかはわかりませんが、実際に誘導つきで出題されている事はあるようですね！



    質問者からのお礼コメント

    質問者からのお礼コメント

    なるほど！xに0を代入出来ないから0に近づけるんですね！

    収束するとも思ってなかったので面白いです！

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