테트레이션

n = 1, 2, 3 ...일 때 ${}^{n}x$ 가 두 점 사이에서 무한히 반복되는 지수가 수렴하는 것과 수렴선을 나타내고 있다.

수학에서 테트레이션(영어: tetration, hyper-4)은 거듭제곱의 다음 차례에 오는 하이퍼 연산으로, 거듭제곱의 반복으로 정의된다. 이 단어는 루벤 루이스 굿스타인이 4를 뜻하는 tetra-와 반복함수를 의미하는 iteration을 합성한 것이다. 테트레이션은 보통 큰 수를 표기하는 데 이용한다. 표기법 ${^{n}a}$ 은 ${a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}$ 에서 거듭제곱이 $n-1$ 번 적용된 것을 의미한다.

여기에 나타낸 것은 처음 네 하이퍼연산을 나타낸 것으로, 테트레이션이 네 번째이다(그리고 증분, 증분은 $a'=a+1$ 로 정의된 단항 연산으로 $a$ 를 넣으면 $a$ 의 다음 수를 얻는 연산이 0번째다):

덧셈
$a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}$
n번 a에 1이 더해졌다.
곱셈
$a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}$
n번 a가 덧셈으로 결합했다.
거듭제곱
$a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$
n번 a가 곱셈으로 결합했다.
테트레이션
${^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}$
n번 a가 오른쪽에서 왼쪽으로 결합했다.

위의 예시들은 "a의 n번째 테트레이션"(the nth tetration of a)이라고 읽는다. 각 연산은 이전의 연산을 반복하는 것으로 정의한다(이 수열의 다음 연산은 펜테이션이다). 테트레이션은 초등함수가 아니다.

같이 보기

참고 문헌

Daniel Geisler, tetration.org
Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower
Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function Archived 2010년 1월 17일 - 웨이백 머신.
Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)
R. Knobel. "Exponentials Reiterated." American Mathematical Monthly 88, (1981), p. 235–252.
Hans Maurer. "Über die Funktion $y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}$ für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33–50. (Reference to usage of $\ {^{n}a}$ from Knobel's paper.)

외부 링크