적분가능계

수학과 물리학에서 적분가능계(積分可能系, 영어: integrable system) 또는 가적계(可積系) 또는 가적분계(可積分系)는 대략 무한한 수의 운동 상수들이 존재하여, 완전히 풀 수 있는 계를 뜻한다.^[1]^[2] 여러 가지 정의가 있으나, 고전역학적 계의 경우 보통 리우빌 적분가능성(영어: Liouville integrability)을 의미한다.

리우빌 적분가능성

리우빌 적분가능성은 해밀턴 계가 가질 수 있는 한 성질이다. $(M,\omega ,H)$ 가 해밀턴 계라고 하고, $M$ 이 유한 차원이라고 하자. 만약 이 계가 ( $H$ 자체를 포함한) $(\dim M)/2$ 개의 선형독립 운동 상수(또는 운동 적분(영어: integrals of motion)) $F_{i}$ 를 가진다면, 이 계를 리우빌 적분가능(Liouville積分可能, 영어: Liouville integrable)이라고 한다. 만약 이 계가 $(\dim M)/2$ 개를 초과하는 선형독립 운동 상수들을 가진다면, 이 계를 초적분가능(超積分可能, 영어: superintegrable)이라고 한다.

만약 이 계가 $(\dim M)-1$ 개의 선형독립 운동 상수들을 가진다면, 이 계를 최대 초적분가능(最大超積分可能, 영어: maximally superintegrable)이라고 한다. 정적이지 않은 계는 $\dim M$ 개 이상의 선형독립 운동 상수들을 가질 수 없는데, 이는 초기 조건이 $\dim M$ 개 있고, 초기 시간은 운동 상수에 의하여 결정되지 않기 때문이다.

작용각 좌표

(리우빌) 적분가능계의 경우, 작용각 좌표(作用角座標, 영어: action–angle coordinates)라는 좌표들이 존재한다. 적분가능계 $(M,\omega )$ ( $\dim M=2m$ )가 $m$ 개의 운동 상수들을 가진다고 하자. 운동 상수들은 함수 $I\colon M\to B$ 로 나타낼 수 있다. 여기서 $B$ 는 $m$ 차원 미분다양체다. 즉, $M$ 은 $B$ 위의 올다발을 이룬다. $b\in B$ 에 대하여, 올 $I^{-1}(b)=M_{b}\subset M$ 은 $M$ 의 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 즉, $\omega ^{-1}$ 의 $B$ 로의 밂(영어: pushforward)은 0이다.

0=I_{*}(\omega ^{-1})

만약

T_{b}

가 콤팩트 연결 공간이라면,

T_{b}

는

m

차원 원환면과 미분동형이며, 이를 리우빌 원환면(영어: Liouville torus)이라고 한다.

$M$ 은 $B$ 의 국소좌표 $J^{i}$ 와, 이에 대한 정준 켤레 좌표인 $M_{b}$ 의 국소좌표 $w_{i}$ 로 좌표를 잡을 수 있다. 이를 작용각 좌표라고 한다. 여기서 $J^{i}$ 는 작용 좌표(영어: action coordinate), $w_{i}$ 를 각 좌표(영어: angle coordinate)다.

적분가능계의 예

고전역학에서의 적분가능계

위상 공간이 유한 차원인 적분가능 고전역학계들은 다음과 같은 예들이 있다. 위상 공간이 2차원인 경우에는 (해밀토니언이 운동 상수이므로) 자동적으로 적분가능하다. 위상 공간이 4차원 이상인 경우에는 적분불가능한 계들이 존재한다.

조화 진동자

$n$ 차원 조화 진동자. 3차원 조화 진동자는 사실 최대 초적분가능계인데, 이는 에너지와 각운동량 이외에도 프래드킨 텐서(영어: Fradkin tensor)^[3]라는 운동 상수가 존재하기 때문이다.

다체 문제

케플러 문제(영어: Kepler problem, 역제곱힘 이체 문제). 이는 사실 최대 초적분가능계이다. 이는 (이체 문제를 일체 문제로 변형시키면) 6차원 위상 공간에 정의돼 있지만, 그 운동 상수는 총 5개이기 때문이다. (이들은 에너지 $E$ , 각운동량 $\mathbf {L}$ , 라플라스-룽게-렌츠 벡터 $\mathbf {A}$ 이며, 이들 사이에는 $\mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0$ , $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL$ 두 개의 관계가 존재한다.)

역제곱힘 $V(r)\propto 1/r$ 은 3체 이상의 경우 적분가능하지 않지만, 역세제곱힘 $V(r)\propto 1/r^{2}$ 는 임의의 수의 입자에 대하여 적분가능하다. 이는 칼로제로-모저(Calogero–Moser) 모형^[4]^[5]의 특수한 경우다. 이 밖에도, 이를 변형한 칼로제로-서덜런드(Calogero–Sutherland) 모형^[6] 등이 있다.

강체

강체의 경우에는 라그랑주 팽이, 오일러 팽이, 코발렙스카야 팽이(Kovalevskaya Top)^[7] 세 개의 적분가능모형이 존재한다. 다른 강체들은 일반적으로 적분가능하지 않다.

적분가능 2·3차원 장론

수면파를 나타내는 장론들은 적분가능계인 경우가 많다. 이들은 솔리톤(안정된 수면파)을 포함한다.

코르테버흐-더프리스 방정식
부시네스크 방정식(영어: Boussinesq equation, 긴 파장의 비선형 수면파를 나타내는 방정식)
KP(Kadomtsev–Petviashvili) 방정식 (2+1차원 수면파)

페르미온을 포함한 적분가능계와, 이들을 보손화하여 얻어지는 적분가능계들은 다음과 같다.

사인-고든 방정식(sine-Gordon equation)^[8]^[9]과 티링 모형은 보손화로 서로 동형인 적분가능계이다.
도다 장론(Toda field theory)^[10]
비선형 슈뢰딩거 방정식(nonlinear Schrödinger equation)
무질량 2차원 양자 전기역학 (=슈윙거 모형)
2차원 양자 색역학

또한, 모든 2차원 등각 장론들은 무한한 등각 대칭으로 인해 적분가능계이다. 대표적으로 다음이 있다.

격자 모형

강자성을 나타내는 모형인 스핀 사슬(영어: spin chain)들은 다음이 있다. 이들은 상전이 근처에서 등각 장론(보통 최소 모형)을 이룬다.

XXX 모형 (하이젠베르크 모형)^[11]^[12]
XXZ 모형 (하이젠베르크-이징 모형)
XYZ 모형
임계 이징 모형
3개 상태 포츠 모형(Potts model)

이 밖에도, 도다 격자는 연속적인 변수를 가지므로 스핀 사슬이 아니지만, 1차원 결정 격자의 진동을 나타내는 적분가능계이다.

각주

↑ Babelon, Olivier; Denis Bernard, Michel Talon (2007년 2월). 《Introduction to Classical Integrable Systems》 (영어). Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511535024. ISBN 978-0521822671.
↑ Arnold, V.I. (1997). 《Mathematical Methods of Classical Mechanics》 (영어) 2판. Springer. ISBN 978-0-387-96890-2. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑ Fradkin, D. M. (1965년 3월). “Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU₃”. 《American Journal of Physics》 (영어) 33 (3): 207–211. Bibcode:1965AmJPh..33..207F. doi:10.1119/1.1971373. ISSN 0002-9505.
↑ Etingof, Pavel. “Lectures on Calogero–Moser systems”. arXiv:math/0606233.
↑ Calogero, Francesco (2008). “Calogero–Moser system”. 《Scholarpedia》 3 (8): 7216. doi:10.4249/scholarpedia.7216.
↑ “A lecture on the Calogero–Sutherland models”. arXiv:hep-th/9405104.
↑ “Kovalevskaya top — an elementary approach”. arXiv:math-ph/0111025. doi:10.1023/A:1015416529917. ISSN 0040-5779.
↑ “Theory and applications of the sine-Gordon equation”. doi:10.1007/BF02820622.
↑ 안창림 (2006). 《양자 사인-고든 모형》. 서울: 이화여자대학교출판부. ISBN 9788973006687.
↑ “Recent developments in affine Toda field theory”. arXiv:hep-th/9412213. Bibcode:1994hep.th...12213C.
↑ “A spin chain primer” (영어). arXiv:hep-th/9810032. Bibcode:1999IJMPB..13.2973N. doi:10.1142/S0217979299002800.
↑ Maillet, Jean-Michel (2007). 〈Heisenberg spin chains: from quantum groups to neutron scattering experiments〉 (PDF). 《Quantum Spaces: Poincaré Seminar 2007》 (영어). Progress in Mathematical Physics 53. Basel: Birkhäuser. 161–201쪽. doi:10.1007/978-3-7643-8522-4_4. ISBN 978-3-7643-8521-7.

Dunajski, Maciej (2009년 12월 10일). 《Solitons, Instantons and Twistors》 (영어). Oxford Graduate Texts in Mathematics 19. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857062-2.
Faddeev, Ludvig D.; L. A. Takhtajan (1987). 《Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-387-15579-1.
Fomenko, Anatoly T.; A. V. Bolsinov (2003). 《Integrable Hamiltonian Systems: Geometry, Topology, Classification》 (영어). Taylor and Francis. ISBN 978-0-415-29805-6.
Mussardo, Giuseppe (2009년 8월 27일). 《Statistical Field Theory: An Introduction to Exactly Solved Models of Statistical Physics》 (영어). Oxford Graduate Texts. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954758-6. 2013년 6월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 6월 22일에 확인함.
Doikou, Anastasia (2012년 2월 20일). “Selected topics in classical integrability”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 27 (5): 1230003. arXiv:1110.4235. Bibcode:2012IJMPA..2730003D. doi:10.1142/S0217751X12300037. ISSN 0217-751X.
Palais, Richard S. (1997년 10월). “The symmetries of solitons”. 《Bulletin of the American Mathematical Society (New Series)》 (영어) 34 (4): 339–403. doi:10.1090/S0273-0979-97-00732-5. ISSN 0273-0979. MR 1462745.
Kundu, Anjan (1997). “Quantum integrable systems: basic concepts and brief overview” (영어). arXiv:hep-th/9708114. Bibcode:1997hep.th....8114K.
Semenov-Tian-Shansky, M. A. (1997). 〈Quantum and classical integrable systems〉. 《Integrability of Nonlinear Systems: Proceedings of the CIMPA School, Pondicherry University, India, 8–26 January 1996》 (영어). Lecture Notes in Physics 495. Berlin, Heidelberg: Springer. 314–377쪽. arXiv:q-alg/9703023. Bibcode:1997q.alg.....3023S. doi:10.1007/BFb0113700. ISBN 978-3-540-63353-2. ISSN 0075-8450.
Olshanetsky, M. (2009년 1월). “Classical integrable systems and gauge field theories”. 《Physics of Particles and Nuclei》 (영어) 40 (1): 93–114. arXiv:0802.3857. Bibcode:2009PPN....40...93O. doi:10.1134/S1063779609010067. ISSN 1063-7796.
Donagi, Ron Y.; Eyal Markman (1996). 〈Spectral curves, algebraically completely integrable, hamiltonian systems, and moduli of bundles〉. 《Integrable Systems and Quantum Groups: Lectures given at the 1st Session of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held in Montecatini Terme, Italy, June 14–22, 1993》 (영어). Lecture Notes in Mathematics 1620. Berlin, Heidelberg: Springer. 1–119쪽. arXiv:alg-geom/9507017. Bibcode:1995alg.geom..7017D. doi:10.1007/BFb0094792. ISBN 978-3-540-60542-3. ISSN 0075-8434. Zbl 0853.35100.
Bullough, R. K.; N. M. Bogoliubov, J. Timonen (1991년 8월). “Quantum and classical integrability: new approaches in statistical mechanics”. 《Physica D: Nonlinear Phenomena》 (영어) 51 (1–3): 43-51. Bibcode:1991PhyD...51...43B. doi:10.1016/0167-2789(91)90221-T. ISSN 0167-2789.
Beisert, Niklas; Changrim Ahn, Luis F. Alday, Zoltán Bajnok, James M. Drummond, Lisa Freyhult, Nikolay Gromov, Romuald A. Janik, Vladimir Kazakov, Thomas Klose, Gregory P. Korchemsky, Charlotte Kristjansen, Marc Magro, Tristan McLoughlin, Joseph A. Minahan, Rafael I. Nepomechie, Adam Rej, Radu Roiban, Sakura Schäfer-Nameki, Christoph Sieg, Matthias Staudacher, Alessandro Torrielli, Arkady A. Tseytlin, Pedro Vieira, Dmytro Volin, Konstantinos Zoubos (2012년 1월). “Review of AdS/CFT integrability: an overview”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 99 (1–3): 3–32. arXiv:1012.3982. Bibcode:2012LMaPh..99....3B. doi:10.1007/s11005-011-0529-2. ISSN 0377-9017.
Sergyeyev, A. (2018년 2월). “New integrable (3+1)-dimensional systems and contact geometry”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 108 (2): 359–376. arXiv:1401.2122. Bibcode:2018LMaPh.108..359S. doi:10.1007/s11005-017-1013-4. ISSN 0377-9017.
Donagi, Ron Y. (1997). “Seiberg–Witten integrable systems” (영어). arXiv:alg-geom/9705010. Bibcode:1997alg.geom..5010D. MR 1492533. Zbl 0896.58057.

같이 보기

양-백스터 방정식(Yang–Baxter equation)
히친 계
럭스 쌍(Lax pair, 헝가리어: Lax Péter Dávid)
솔리톤

[1] Babelon, Olivier; Denis Bernard, Michel Talon (2007년 2월). 《Introduction to Classical Integrable Systems》 (영어). Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511535024. ISBN 978-0521822671.

[2] Arnold, V.I. (1997). 《Mathematical Methods of Classical Mechanics》 (영어) 2판. Springer. ISBN 978-0-387-96890-2. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[3] Fradkin, D. M. (1965년 3월). “Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU₃”. 《American Journal of Physics》 (영어) 33 (3): 207–211. Bibcode:1965AmJPh..33..207F. doi:10.1119/1.1971373. ISSN 0002-9505.

[4] Etingof, Pavel. “Lectures on Calogero–Moser systems”. arXiv:math/0606233.

[5] Calogero, Francesco (2008). “Calogero–Moser system”. 《Scholarpedia》 3 (8): 7216. doi:10.4249/scholarpedia.7216.

[6] “A lecture on the Calogero–Sutherland models”. arXiv:hep-th/9405104.

[7] “Kovalevskaya top — an elementary approach”. arXiv:math-ph/0111025. doi:10.1023/A:1015416529917. ISSN 0040-5779.

[8] “Theory and applications of the sine-Gordon equation”. doi:10.1007/BF02820622.

[9] 안창림 (2006). 《양자 사인-고든 모형》. 서울: 이화여자대학교출판부. ISBN 9788973006687.

[10] “Recent developments in affine Toda field theory”. arXiv:hep-th/9412213. Bibcode:1994hep.th...12213C.

[11] “A spin chain primer” (영어). arXiv:hep-th/9810032. Bibcode:1999IJMPB..13.2973N. doi:10.1142/S0217979299002800.

[12] Maillet, Jean-Michel (2007). 〈Heisenberg spin chains: from quantum groups to neutron scattering experiments〉 (PDF). 《Quantum Spaces: Poincaré Seminar 2007》 (영어). Progress in Mathematical Physics 53. Basel: Birkhäuser. 161–201쪽. doi:10.1007/978-3-7643-8522-4_4. ISBN 978-3-7643-8521-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]