약수 함수

정수론에서 약수 함수(約數函數, 영어: divisor function)는 주어진 수의 양의 약수들의 거듭제곱의 합으로 정의되는 수론적 함수다.

정의

자연수 $n$ 과 복소수 $a$ 에 대하여, 약수 함수 $\sigma _{a}(n)$ 는 다음과 같다.

\sigma _{a}(n)=\sum _{d\mid n}d^{a}

여기서 $\textstyle \displaystyle \sum _{d\mid n}$ 은 $n$ 의 양의 약수들에 대한 합이다. 이 경우 1과 $n$ 자신을 포함시키지만, 양수가 아닌 약수는 포함시키지 않는다.

$\sigma _{0}(n)$ 은 $d(n)$ 로도 나타내며, $n$ 의 약수의 개수에 해당한다.

\sigma _{0}(n)=\#\{d\in \mathbb {Z} ^{+}\colon d\mid m\}

$\sigma _{1}(n)$ 은 시그마 함수 $\sigma (n)$ 라고 하며 $n$ 의 모든 양의 약수의 합을 나타낸다.

\sigma (n)=\sigma _{1}(n)=\sum _{d\mid n}d

$s(n)$ = $\sigma (n)$ - $n$ 으로 표시하며, 이 값은 $n$ 에서 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합에 해당한다. $s(n)$ = $n$ 이 되는 수를 완전수라 한다.

p가 소수일 때에만

\sigma _{1}(p)=p+1

이 성립한다. 정의에 의해 소수의 양의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.

약수 함수는 곱셈적이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.

만약 $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha _{i}}$ 로 소인수 분해된다면,

d(n)=\prod _{i=1}^{r}(\alpha _{i}+1)

,

\sigma (n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}

이 된다. 일반적으로 a>0인 경우,

\sigma _{a}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(\alpha _{i}+1)a}-1}{p_{i}^{a}-1}}

이 성립한다.

그리고 오일러-마스케로니 상수 값을 γ로 적을 때,

\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n}}=e^{\gamma }

가 된다.

Weisstein, Eric Wolfgang. “Divisor function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.