보렐 집합

측도론에서 보렐 집합(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린집합들로부터 가산 합집합 · 가산 교집합 · 차집합 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합이다.^[1]

정의

위상 공간 $(X,{\mathcal {U}})$ 의 보렐 시그마 대수(Borelσ代數, 영어: Borel sigma-algebra) ${\mathcal {B}}(X)$ 또는 ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)$ 는 열린집합들의 집합 ${\mathcal {U}}$ 를 포함하는 최소의 시그마 대수이다.^[2]^{:68, §11.A}^[1]^{:83, §3.1} (후자의 기호는 사영 위계의 표기법에서 유래한다.) $X$ 의 보렐 집합은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다. 즉, 열린집합으로부터 가산 번의 가산 합집합·가산 교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다.

보렐 측도(Borel測度, 영어: Borel measure)는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 측도이다. 위상 공간 $X$ 의 보렐 가측 공간(영어: Borel measurable space)은 보렐 시그마 대수를 갖춘 가측 공간이다.

보렐 위계

만약 $(X,{\mathcal {U}})$ 가 거리화 가능 공간일 경우, 보렐 시그마 대수 ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)$ 는 초한 귀납법을 사용하여, 구체적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

임의의 순서수 $\alpha >0$ 에 대하여, 다음과 같은 보렐 위계(Borel位階, 영어: Borel hierarchy)를 정의하자.^[2]^{:68, §II.B}

{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)={\mathcal {U}}

(모든 열린집합들의 집합)

{\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)=\{X\setminus S\colon S\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}\}

{\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)=\left\{\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}\colon \forall i\in \mathbb {N} (X_{i}\in {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha _{i}}^{0}\land \alpha _{i}<\alpha )\right\}\qquad (\alpha >1)

{\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}(X)={\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)\cap {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)

그렇다면 다음이 성립한다.

$\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}{\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}={\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)$
임의의 순서수 $\alpha >0$ 에 대하여, ${\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}(X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}(X)\subseteq {\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha +1}^{0}(X)$

즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.^[2]^{:69, §11.B}

{\begin{matrix}&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\{\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{3}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\&&{\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}&&&\cdots \end{matrix}}

여기서 $A\to B$ 는 $A\subseteq B$ 를 의미한다.

보렐 위계의 일부 단계의 원소들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

보렐 위계의 단계	이름
${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}$	열린닫힌집합들의 집합
${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$	열린집합들의 집합
${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$	닫힌집합들의 집합
${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}$	F_σ 집합(F_σ集合, 영어: F_σ set)들의 집합^[1]^:44, §2.1^[2]^{:1, §1.A}
${\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}$	G_δ 집합(G_δ集合, 영어: G_δ set)들의 집합^[1]^{:44, §2.1}^[2]^{:1, §1.A}

성질

연산에 대한 닫힘

두 위상 공간 $X,Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 는 (보렐 시그마 대수에 대하여) 가측 함수이다. 즉, 보렐 집합 $S\subseteq Y$ 의 원상 $f^{-1}(S)\subseteq X$ 은 보렐 집합이다. (반면, 만약 $X=Y=\mathbb {R}$ 일 경우, 르베그 가측 집합의 연속 함수에 대한 원상은 일반적으로 르베그 가측 집합이 아니다.) 보렐 집합의 연속 함수에 대한 상은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 $X$ 와 $Y$ 가 폴란드 공간이라면, 보렐 집합의 상은 해석적 집합이다.

다음이 성립한다.^[1]^:116

집합족	유한 교집합에 대해 닫힘	가산 교집합에 대해 닫힘	유한 합집합에 대해 닫힘	가산 합집합에 대해 닫힘	여집합에 대해 닫힘	연속 함수에 대한 상	보렐 가측 함수에 대한 원상
${\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}$	⭕	❌	⭕	❌	⭕	❌	❌
${\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}$	⭕	❌	⭕	⭕	❌	❌	❌
${\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}$	⭕	⭕	⭕	❌	❌	❌	❌
${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}$	⭕	⭕	⭕	⭕	⭕	❌	⭕

보렐 집합의 수

폴란드 공간 $X$ 의 보렐 집합의 수는 다음과 같다.

|{\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)|=2^{\min\{|X|,\aleph _{0}\}}

증명:

가산 폴란드 공간은 이산 공간이므로 자명하다. 따라서, $X$ 가 비가산 폴란드 공간(즉, $\mathbb {R}$ )라고 하자.

보렐 시그마 대수의 초한 귀납법 작도를 생각하자. 이 경우 $|{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )|=2^{\aleph _{0}}$ 이며, 초한 귀납법의 각 단계에서

(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}

이므로 집합의 크기는 $2^{\aleph _{0}}$ 을 초과하지 않는다.

반면, 실수의 르베그 가측 집합의 수는

|{\mathcal {L}}(\mathbb {R} )|=2^{2^{\aleph _{0}}}

이다. 이는 크기가 $2^{\aleph _{0}}$ 이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, 칸토어 집합)이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 부분 집합은 르베그 가측 집합이기 때문이다.

분리 정리

루진-노비코프 분리 정리에 따르면, 임의의 폴란드 공간 $X$ 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 $\{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}(X)$ , $|I|\leq \aleph _{0}$ 에 대하여, 만약 $\textstyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing$ 이라면, $\forall i\in I\colon B_{i}\supseteq A_{i}$ 이자 $\textstyle \bigcap _{i\in I}B_{i}=\varnothing$ 인 보렐 집합들의 집합족 $\{B_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)$ 이 존재한다.^[2]^{:219, Theorem 28.5}^[1]^{:155, Theorem 4.6.1}

베르 범주와의 관계

임의의 위상 공간 $X$ 의 임의의 제1 범주 집합 $M\subseteq X$ 에 대하여, $M\subseteq {\tilde {M}}\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)$ 인 제1 범주 집합 ${\tilde {M}}$ 이 존재한다.

증명:

정의에 따라, $M$ 은 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합 $\{M_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ 들의 합집합으로 나타낼 수 있다.

M=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }M_{i}

조밀한 곳이 없는 집합의 폐포는 (자명하게) 조밀한 곳이 없는 집합이므로,

{\tilde {M}}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} (M_{i})

로 놓으면 자명하게 $M\in {\tilde {M}}\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)$ 이다.

준열린집합들의 집합족 $\operatorname {BP} (X)$ 은 열린집합과 제1 범주 집합을 포함하는 최소의 시그마 대수이므로,^[2]^{:47, Proposition 8.32} 모든 보렐 집합은 준열린집합이다.^[2]^{:71, Proposition 11.5}

{\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)\subseteq \operatorname {BP} (X)

예

수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 예를 들어, 실수 집합 $\mathbb {R}$ 속의 다음과 같은 부분 집합들의 보렐 위계에서의 위치는 다음과 같다.

공집합 $\varnothing$ : ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )$
실수 집합 $\mathbb {R}$ : ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )$
양의 실수 집합 $\mathbb {R} ^{+}$ : ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )$
음이 아닌 실수 집합 $\mathbb {R} _{\geq 0}$ : ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )$
정수 집합 $\mathbb {Z}$ : ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(\mathbb {R} )$
유리수 집합 $\mathbb {Q}$ : ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(\mathbb {R} )$
무리수 집합 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ : ${\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(\mathbb {R} )$

F_σ 집합이 아닌 열린집합

거리화 가능 공간의 모든 열린집합은 F_σ 집합이다. 그러나 이는 일반적인 위상 공간에서는 성립하지 않는다. 최소 비가산 순서수 $\omega _{1}$ 은 순서 위상을 부여하면 위상 공간을 이룬다. $U$ 가 $\omega _{1}$ 의 고립점들의 집합이라고 하자. 그렇다면 $U$ 는 열린집합이며 비가산 집합이다. 반면 $\omega _{1}$ 은 가산 콤팩트 공간이므로, 닫힌집합은 유한 집합과 동치이며, 따라서 $U$ 는 F_σ 집합이 아니다.^[3]

보렐 집합이 아닌 집합

실수선 $\mathbb {R}$ 에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 존재는 선택 공리를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.)

집합 $A\subseteq \mathbb {R}$ 가 다음 조건을 만족시키는 무리수들의 집합이라고 하자.

$a\in A$ 의 연분수 표현
$a=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}$
의 계수 $a_{i}$ 가운데, $a_{k_{i}}\mid a_{k_{i+1}}$ 인 부분 수열 $a_{k_{0}},a_{k_{1}},\ldots$ 이 존재한다.

그렇다면 $A$ 는 보렐 집합이 아닌 해석적 집합이다.

역사

보렐 집합의 개념은 에밀 보렐이 1905년에 도입하였다.^[4]^[1]^:xi^[5]^{:153, §11}

"F_σ 집합"이라는 용어에서, F는 프랑스어: fermé 페르메^[*](닫힌집합)의 머리글자이며, σ는 프랑스어: somme 솜^[*](합집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.^[6]^{:23, §1.3} 마찬가지로, "G_δ 집합"이라는 용어에서, G는 독일어: Gebiet 게비트^[*](근방)의 머리글자이며, δ는 독일어: Durschnitt 두르슈니트^[*](교집합)의 머리글자에 해당하는 그리스 문자이다.^[6]^{:23, §1.3}

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 Srivastava, Shashi Mohan (1991). 《A course on Borel sets》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 180. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 978-3-642-85475-0. MR 1619545. Zbl 0903.28001.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.
↑ “Why is each open set an Fσ?”. 《Mathematics Stack Exchange》 (영어). 2019년 12월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 12월 4일에 확인함.
↑ Borel, Émile (1905). 《Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes, professées a l’École normale supérieure》. Collection de monographies sur la théorie des fonctions, publiée sur la direction de M. Émile Borel (프랑스어). 파리: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire. JFM 36.0435.01.
↑ Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002.
↑ ^가 ^나 Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). 《Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces》. Princeton Lectures in Analysis (영어) 3. Princeton University Press. ISBN 978-069111386-9. Zbl 1081.28001.

외부 링크

“Borel set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Borel field of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Borel set, criterion for a”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Borel function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Borel measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Suslin theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Separability of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Luzin separability principles”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel sigma-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Borel hierarchy”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “F_sigma set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “G_delta set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Borel subset”. 《nLab》 (영어).
“G-delta subspace”. 《nLab》 (영어).
“Definition: Borel sigma-algebra”.
“Definition: F-sigma set”.
“Definition: G-delta set”.
“Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?” (영어).

같이 보기

[Srivastava-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 Srivastava, Shashi Mohan (1991). 《A course on Borel sets》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 180. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 978-3-642-85475-0. MR 1619545. Zbl 0903.28001.

[Kechris-2] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.

[3] “Why is each open set an Fσ?”. 《Mathematics Stack Exchange》 (영어). 2019년 12월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 12월 4일에 확인함.

[4] Borel, Émile (1905). 《Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes, professées a l’École normale supérieure》. Collection de monographies sur la théorie des fonctions, publiée sur la direction de M. Émile Borel (프랑스어). 파리: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire. JFM 36.0435.01.

[5] Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002.

[SS-6] 가 ^나 Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). 《Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces》. Princeton Lectures in Analysis (영어) 3. Princeton University Press. ISBN 978-069111386-9. Zbl 1081.28001.

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[6]

정의