多項式の展開

数学において多項式の展開（たこうしきのてんかい、英: polynomial expansion）とは、複数の多項式の積を一つの多項式で表すことをいう。これは因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧がなくなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、級数に対するものに自然に拡張される。

概要

分配法則

a (b + c) = ab + ac

を用いることで、多項式の積を一つの多項式で表すことが可能。まず、帰納法により、第二因子が $n$ 個の項の和である場合の分配法則を得る。

a (b 1 + \dots + b n) = ab 1 + \dots + ab n

第一因子も複数の項の和である場合、すなわち

(a 1 + \dots + a m)(b 1 + \dots + b n)

については、次のように計算される。

第一因子を $A$ とおくと、 $A (b 1 + \dots + b n)$ となる
分配法則により、これは $Ab 1 + \dots + Ab n$ に等しい
この式の第 $i$ 項は $(a 1 + \dots + a m) b i$ であり、再び分配法則を用いると、これは $a 1 b i + \dots + a m b i$ に等しい
よって、全体は $(a 1 b 1 + \dots + a m b 1) + \dots + (a 1 b n + \dots + a m b n)$ に等しい

この結果を記号 ∑
を用いて書くならば

{\Bigl (}\sum _{i=1}^{m}a_{i}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{j}

である。言葉で表現するならば、

第一因子の項と第二因子の項、全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である

ということである。第一因子が $m$ 個の項の和、第二因子が $n$ 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは $mn$ 通りであるから、展開した結果は $mn$ 個の項の和になる。

3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、

それぞれの因子からひとつずつ項を選ぶ、その全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である

ことがしたがう。 $k$ 個の多項式の積であって、 $i$ 番目の多項式が $n i$ 個の項の和であれば、展開した結果は $n 1 \dots n k$ 個の項の和になる。

具体例

$(a + b + c)(x + y)$ を展開すると、 $ax + ay + bx + by + cx + cy$ となる。展開の様子は次の表のように表せる。

{\begin{array}{c|cc}\times &a&b&c\\\hline x&ax&bx&cx\\y&ay&by&cy\end{array}}

展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば $(a + b)(a - b)$ を展開する場合の表は

{\begin{array}{c|cc}\times &a&b\\\hline a&a^{2}&ab\\-b&-ab&-b^{2}\end{array}}

であるが、 $ab$ と $- ab$ が打ち消しあうため、 $a 2 - b 2$ となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を公式として教授することが多い。

$(a + b)(a - b) = a 2 - b 2$
$(a + b)(a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3$
$(a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2$

右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。

冪級数への拡張

→詳細は「コーシー積」を参照

多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である（形式的）冪級数に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1変数の冪級数

\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb

についてのみ考える。ふたつの冪級数の積は

{\Bigl (}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}{\Bigr )}=\sum _{k=0}^{\infty }{\Bigl (}\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}{\Bigr )}x^{k}

と定義される。冪級数をその収束域に対する関数とみなした場合、これは関数の積に対応する。

例

指数関数のテイラー展開

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\dotsb

の右辺の平方を上記の法則で「展開」すると、

{\biggl (}1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\dotsb {\biggr )}^{\!2}=1+2x+2x^{2}+{\frac {4}{3}}x^{3}+\dotsb

となるが、この右辺は $(e x) 2$ すなわち $e 2 x$ のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、 $x$ にいかなる複素数を代入しても収束するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、

(1-x)(1+x+x^{2}+x^{3}+\dotsb )=1

であるが、 $1 + x + x 2 + x 3 + \dots$ は $| x | < 1$ の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、複素関数 $1 + x + x 2 + x 3 + \dots$ の解析接続は $1/(1 - x)$ であり、これは $x = 1$ のみを1位の極に持ち、その他の点で正則である。

外部リンク

概要

具体例

冪級数への拡張

例

関連項目

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