多重線型形式
(重線型形式から転送)
数学、より具体的には抽象代数学と多重線型代数において、多重線型形式(たじゅうせんけいけいしき、英: multilinear form)とは、複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数であって、どの変数に関しても(ほかの変数を止めて)線型写像となっているようなものを言う。多重線型形式はテンソルの定式化において重要である。
定義
編集V を体 K 上のベクトル空間とし、Vk ≔ V × ⋯ × V は V の k 個の直積とする。V 上 k-変数の函数 が k-重線型または k-線型であるとは、各変数 xi に対して および を満たすときに言う[1]。k を特に指定しないとき、多重線型形式と総称する。
V 上の k-重線型形式全体の成す空間 Lk(V) は通常の和とスカラー倍に関してベクトル空間を成す。このベクトル空間は k-階共変テンソルの空間 Tk(V) = V* ⊗ ⋯ ⊗ V*(V* は V の双対空間で、⊗ はベクトル空間のテンソル積)に自然同型であり、その意味で k-重線型形式を k-階共変テンソルと看做すことができる。
テンソル積
編集→「テンソル積 § 線型写像のテンソル積」も参照
k-重線型形式全体の成す空間 Lk(V) は点ごとの積に関しては閉じていないが、f ∈ Lk(V), g ∈ Ll(V) の点ごとの積: は (k + l)-重線型形式となる(これを f と g とのテンソル積と呼ぶ)。したがって Lk(V) ⊗ Ll(V) ⊂ Lk+l(V) であり、無限直和 はこの積に関して閉じていて、次数付き多元環として共変テンソル代数との自然な同型 がある。
例
編集関連項目
編集注
編集注釈
編集- ^ K の標数が 2 でないとき、交代性は反対称性、すなわち2つの引数を交換したときに符号が変わること: と同値である(標数が 2 のときは多重線型形式が反対称であっても交代であるとは限らない
出典
編集- ^ Pomp, Marek. "Multilinear Form". mathworld.wolfram.com (英語).
参考文献
編集外部リンク
編集- Pomp, Marek. "Multilinear Form". mathworld.wolfram.com (英語).
- Onishchik, A.L. (2001), “Multilinear form”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4