要素内補間

要素内補間（ようそないほかん）とは、数値解析において要素の各節点の既知量から、要素内の値を補間して求めることをいう。この要素内補間は、内挿とも呼ばれることがある。要素内補間は、例えば地図の等高線、CAD、CAE、CGなど、要素が使用される図形処理において、要素内の任意の位置の値を計算する際にも使用される。

3角形のケース： 各節点p₀, p₁, p₂ での値が既知 (10, 20, 30) の場合に、要素内の点 p での値はいくつになるのだろう？これを求めるのが要素内補間である。

与えられた節点情報のみ（要素情報は使用しない）から補間する手法もあるが、これらは本説明に含まれない。

要素には、線分（2節点）、3角形（3節点）、4面体（4節点）などがある。

線分要素内の補間

線分要素のケース： p₀, p₁ の各節点値が既知(10, 20)の場合に、線分内のp の値を求める。

全体座標系と局所座標系の関係

線分要素内の点p は、節点p₀, p₁ により

${\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {p}}_{0}+({\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0})u$

と表せる。ここで局所座標u は 0 < u < 1 を満たす実数で、

$u={\frac {|p-p_{0}|}{|p_{1}-p_{0}|}}$

である。直感的には、基点を p₀ として、そこから p₁ までの距離の比率 u で線分内の座標値 p を求めたことになる。

• u = 0 の場合には点 p は p₀ を示し、u = 1 の場合には p₁ を示す。
• 前述の表現は、直線のパラメトリックまたは、媒介変数u による定義と呼ばれることもある。

線形補間

全体座標系と局所座標系の関係と同様に、節点 p₀, p₁ での各値を C₀, C₁ とし線形補間すると、点 p での値 C は

$C=C_{0}+(C_{1}-C_{0})u$

と表せる。

計算例

節点p₀ (5, 5, 0), p₁ (10, 10, 0) で各節点の値がそれぞれC₀ = 10, C₁ = 20 の場合に、線分の中点p (15/2, 15/2, 0) での値C は、

$u={\frac {|{\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {p}}_{0}|}{|{\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0}|}}=0.5$

より

$C=C_{0}+(C_{1}-C_{0})u=15$

になる。

3角形要素内の補間

面要素のケース： 接点 p₀, p₁, p₃ での値が既知でそれぞれ (10, 20, 30) の場合に、面内の点 p の値を求める。

局所座標系上での位置座標を求めれば点 p での値が求まる。

局所座標系と全体座標系の変換

点 p₀ を原点とする、3角形で構成される局所座標系は、基底ベクトル

${\begin{aligned}{\boldsymbol {e}}_{u}&={\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\{\boldsymbol {e}}_{v}&={\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\\end{aligned}}$

から得られ、全体座標系への変換行列は、点 p の局所座標系の座標を u_p, v_p 、全体座標系の座標を x_p, y_p, z_p とすると以下の通りとなる。

${\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {p}}_{0}+u_{p}{\boldsymbol {e}}_{u}+v_{p}{\boldsymbol {e}}_{v}$

または成分で表せば、

$\left({\begin{array}{c}x_{p}\\y_{p}\\z_{p}\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}x_{p0}\\y_{p0}\\z_{p0}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{ccc}x_{eu}&x_{ev}\\y_{eu}&y_{ev}\\z_{eu}&z_{ev}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u_{p}\\v_{p}\end{array}}\right)$

線形補間

節点p₀, p₁, p₂ での各値をC₀, C₁, C₂とすると、要素内の点p での値C は

$C=C_{0}+u_{p}(C_{1}-C_{0})+v_{p}(C_{2}-C_{0})$

と表せる。ここでu_p, v_p は点p の局所座標系での座標である。

• u_p = 0, v_p = 0 の場合には、C = C₀ （p₀ の値）を示す。
• u_p = 1, v_p = 0 の場合には、C = C₁ （p₁ の値）を示す。
• u_p = 0, v_p = 1 の場合には、C = C₂ （p₂ の値）を示す。
• u_p, v_p ≥ 0 かつ u_p + v_p ≤ 1 の場合には、点p は要素の内部に存在する。

計算例

重心位置と p₁, p₂ の中点位置（赤色は既知量）

節点座標がp₀ (0, 0, 0), p₁ (5, 0, 0), p₂ (5, 5, 0) とし、各節点の既知量は、それぞれC₀ = 10, C₁ = 20,C₂ = 30とすると、

1. 重心位置での値

   重心位置p_G の座標は (10/3, 5/3, 0) で、全体座標系から局所座標系での座標を求めると、(u_G, v_G ) = (1/3, 1/3) となる。これを補間式にあてはめると C _G = 20 となる。重心位置のため、平均値 (C₀ + C₁ + C₂ ) / 3と同じである。

2. p₁ とp₂ の中点位置座標での値

   p₁ とp₂ の中点位置p₁₂ の全体座標系での座標は (5, 5/2, 0) で、全体座標系から局所座標系での座標 (u₁₂, v₁₂ ) を求めると、(1/2, 1/2) となる。これを補間式にあてはめると C₁₂ = 25 となる。

4面体要素内の補間

4面体要素のケース： 節点p₀, p₁, p₃, p₄ での値が既知 (10, 20, 30, 40) の場合に、要素内の点p の値を求める。

局所座標系と全体座標系の変換

4面体で構成される局所座標系は、基底ベクトル (e_u, e_v, e_w ) から得られ、全体座標系への変換行列は、局所座標系の座標をu_p, v_p, w_p と置くと以下の通りとなる。

${\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {p}}_{0}+u_{p}{\boldsymbol {e}}_{u}+v_{p}{\boldsymbol {e}}_{v}+w_{p}{\boldsymbol {e}}_{w}$

または成分で表せば、

$\left({\begin{array}{c}x_{p}\\y_{p}\\z_{p}\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}x_{p0}\\y_{p0}\\z_{p0}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{ccc}x_{eu}&x_{ev}&x_{ew}\\y_{eu}&y_{ev}&y_{ew}\\z_{eu}&z_{ev}&z_{ew}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}u_{p}\\v_{p}\\w_{p}\end{array}}\right)$

ただし

${\begin{aligned}&{\boldsymbol {e}}_{u}={\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\&{\boldsymbol {e}}_{v}={\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{0}\\&{\boldsymbol {e}}_{w}={\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{0}\end{aligned}}$

である。

全体座標系から局所座標系への変換は、局所座標系から全体座標系への変換行列の逆行列を求めることで得られる。

$\left({\begin{array}{c}u_{p}\\v_{p}\\w_{p}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}x_{eu}&x_{ev}&x_{ew}\\y_{eu}&y_{ev}&y_{ew}\\z_{eu}&z_{ev}&z_{ew}\end{array}}\right)^{-1}\left(\left({\begin{array}{c}x_{p}\\y_{p}\\z_{p}\\\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}x_{p0}\\y_{p0}\\z_{p0}\end{array}}\right)\right)$

線形補間

節点p₀, p₁, p₂, p₃ での各値をC₀, C₁, C₂, C₃ とすると、点p の値C は

$C=C_{0}+u_{p}(C_{1}-C_{0})+v_{p}(C_{2}-C_{0})+w_{p}(C_{3}-C_{0})$

と表せる。ここでu_p, v_p, w_p は点p の局所座標系での座標である。

• u = 0, v = 0, w = 0 の場合には、C = C₀ （p₀ の値）を示す。
• u = 1, v = 0, w = 0 の場合には、C = C₁ （p₁ の値）を示す。
• u = 0, v = 1, w = 0 の場合には、C = C₂ （p₂ の値）を示す。
• u = 0, v = 0, w = 1 の場合には、C = C₃ （p₃ の値）を示す。
• u, v, w ≥ 0 かつ u + v + w ≤ 1 の場合には、点p は要素の内部に存在する。

計算例

節点座標がp₀ (0, 0, 0), p₁ (5, 0, 0), p₂ (5, 5, 0), p₃ (0, 0, 5)、各節点の既知量はそれぞれC₀ = 10, C₁ = 20, C₂ = 30, C₃ = 40 とする。

このとき、重心位置p_G での座標は、(5/2, 5/4, 5/4) で、全体座標系から局所座標系での座標を求めると、 (u_G, v_G, w_G ) = (1/4, 1/4, 1/4)となる。これを補間式にあてはめるとC = 25 となる。重心位置のため、平均値 (C₀ + C₁ + C₂ + C₃) / 4 と同じになる。

関連項目

• CAD
• CAE
• CG
• 計算科学
• シミュレーション
• 数値解析