本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor 関手、Ext 関手を定義する。
R を可換環 とするとき、整数n を添え字として持つR -加群
C
n
{\displaystyle C_{n}}
∂
n
:
C
n
→
C
n
−
1
{\displaystyle \partial _{n}~:~C_{n}\to C_{n-1}}
C
∗
:=
(
C
n
,
∂
n
)
n
∈
Z
{\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
∂
n
−
1
∘
∂
n
=
0
{\displaystyle \partial _{n-1}\circ \partial _{n}=0}
となるものR 上のチェイン複体 [ 1]
H
n
(
C
∗
)
:=
K
e
r
(
∂
n
)
/
I
m
(
∂
n
+
1
)
{\displaystyle H_{n}(C_{*}):=\mathrm {Ker} (\partial _{n})/\mathrm {Im} (\partial _{n+1})}
を
C
∗
{\displaystyle C_{*}}
n 次のホモロジー加群 という[ 1]
可換環R に対し、
C
∗
=
(
C
n
,
δ
n
)
n
∈
Z
{\displaystyle C^{*}=(C^{n},\delta ^{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
D
∗
:=
(
C
−
n
,
δ
−
n
)
n
∈
Z
{\displaystyle D_{*}:=(C^{-n},\delta ^{-n})_{n\in \mathbb {Z} }}
R 上のチェイン複体になるものをコチェイン複体 といい[ 2]
H
n
(
C
∗
)
:=
H
n
(
D
∗
)
{\displaystyle H^{n}(C^{*}):=H_{n}(D_{*})}
を
C
∗
{\displaystyle C^{*}}
n 次のコホモロジー加群 という[ 2]
R を単項イデアル整域とし、M 、N をR -加群 とする。さらに短完全系列
0
⟶
A
⟶
ι
B
⟶
p
M
→
0
{\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0}
でA 、B が自由R -加群であるものを選び[ 注 1]
0
⟶
A
⊗
R
N
⟶
ι
⊗
R
1
N
B
⊗
R
N
⟶
p
⊗
R
1
N
M
⊗
R
N
⟶
0
{\displaystyle 0\longrightarrow A\otimes _{R}N{\overset {\iota \otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}B\otimes _{R}N{\overset {p\otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}M\otimes _{R}N\longrightarrow 0}
を考えると必ずしも完全系列にならない[ 注 2]
T
o
r
R
(
M
,
N
)
:=
K
e
r
(
ι
⊗
R
1
N
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N):=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})}
と定義する[ 4]
T
o
r
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)}
A 、B の取り方に依存しているが、実はA 、B を別のものに取り替えて定義した
T
o
r
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)}
well-defined である[ 4]
T
o
r
R
(
⋅
,
⋅
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(\cdot ,\cdot )}
Tor 関手
なお、R が単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTor が定義できるが本項では割愛する。また
T
o
r
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)}
T
o
r
R
1
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}^{1}(M,N)}
T
o
r
R
n
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}^{n}(M,N)}
n ≧0 Tor関手 の項目を参照されたい。
Tor 関手は以下の性質を満たす。
命題 ―
R を単項イデアル整域、M 、N をR -加群 とするとき、次が成立する：
T
o
r
R
(
M
,
N
)
≈
T
o
r
R
(
N
,
M
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)\approx \mathrm {Tor} _{R}(N,M)}
[ 5]
T
o
r
R
(
⊕
λ
∈
Λ
M
λ
,
N
)
≈
⊕
λ
∈
Λ
T
o
r
R
(
M
λ
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)\approx \oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Tor} _{R}(M_{\lambda },N)}
⊕
{\displaystyle \oplus }
R -加群としての直和を表す[ 6] M が自由 R -加群なら
T
o
r
R
(
M
,
N
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=0}
T
o
r
R
(
R
/
(
x
)
,
N
)
≈
{
u
∈
N
∣
x
u
=
0
}
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x),N)\approx \{u\in N\mid xu=0\}}
[ 7]
T
o
r
R
(
R
/
(
x
)
,
R
/
(
y
)
)
≈
R
/
(
g
c
d
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))}
gcd(x ,y ) はx とy の最大公約元である。K を標数0 の体とするとき、任意の有限生成R -加群M に対し、
T
o
r
R
(
M
,
K
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,K)=0}
証明
1., 2.の証明は出典を参照。3.に関してはM が自由R -加群であれば、
0
→
0
→
ι
M
→
p
M
→
0
{\displaystyle 0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0}
という分解が可能なので、
T
o
r
R
(
M
,
N
)
=
K
e
r
(
ι
⊗
R
1
N
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})=0}
4.に関してはx 倍する演算を「
x
⋅
{\displaystyle x\cdot }
0
→
R
→
x
⋅
R
→
p
R
/
(
x
)
→
0
{\displaystyle 0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0}
という分解が可能であり、
R
⊕
R
N
≈
N
{\displaystyle R\oplus _{R}N\approx N}
N
→
x
⋅
⊗
R
1
N
N
→
p
⊗
1
N
R
/
(
x
)
⊗
R
N
→
0
{\displaystyle N{\overset {x\cdot \otimes _{R}1_{N}}{\to }}N{\overset {p\otimes 1_{N}}{\to }}R/(x)\otimes _{R}N\to 0}
である。よって
T
o
r
R
(
M
,
N
)
=
K
e
r
(
x
⋅
⊗
R
1
N
)
=
{
u
∈
N
∣
x
u
=
0
}
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (x\cdot \otimes _{R}1_{N})=\{u\in N\mid xu=0\}}
5.に関しては4.から直接従う。6.に関しては、M が有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、Rn とR /(x i
T
o
r
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)}
T
o
r
R
(
R
n
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R^{n},N)}
T
o
r
R
(
R
/
(
x
i
)
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x_{i}),N)}
0 に等しく、後者も4.により0 に等しい。
R が単項イデアル整域であるので、M 、N が有限生成である場合、有限生成加群の基本定理 から、M はRn と複数のR /(x i N も同様である。上述の1., 2.からTorR は直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTorR を容易に計算できる。
Tor のときと同様、R を単項イデアル整域とし、M 、N をR -加群 とし、さらに短完全系列
0
⟶
A
⟶
ι
B
⟶
p
M
→
0
{\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0}
でA 、B が自由R -加群であるものを選ぶ[ 注 1]
0
⟶
H
o
m
R
(
M
,
N
)
⟶
p
∗
H
o
m
R
(
B
,
N
)
⟶
ι
∗
H
o
m
R
(
A
)
→
0
{\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Hom} _{R}(M,N){\overset {p^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(B,N){\overset {\iota ^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(A)\to 0}
を考えると必ずしも完全系列にはならない[ 注 3]
E
x
t
R
(
M
,
N
)
:=
C
o
k
e
r
R
(
ι
∗
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N):=\mathrm {Coker} _{R}(\iota ^{*})}
と定義する[ 9] Coker は余核 である。すなわち、
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f~:~X\to Y}
C
o
k
e
r
(
f
)
=
Y
/
I
m
(
f
)
{\displaystyle \mathrm {Coker} (f)=Y/\mathrm {Im} (f)}
E
x
t
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)}
A 、B の取り方に依存しているが、実はA 、B を別のものに取り替えて定義した
E
x
t
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)}
well-defined である[ 9]
E
x
t
R
(
⋅
,
⋅
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(\cdot ,\cdot )}
Ext 関手
また
E
x
t
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)}
T
o
r
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)}
R が一般の環の場合に対しても定義できるし、
E
x
t
R
n
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{n}(M,N)}
E
x
t
R
(
M
,
N
)
=
E
x
t
R
1
(
M
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)=\mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,N)}
Ext関手 の項目を参照されたい。
Ext 関手は以下を満たす：
命題 ―
R を単項イデアル整域、M 、N をR -加群 とするとき、次が成立する：
E
x
t
(
⊕
λ
∈
Λ
M
λ
,
N
)
=
⊕
λ
∈
Λ
E
x
t
(
M
λ
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} (\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)=\oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M_{\lambda },N)}
⊕
{\displaystyle \oplus }
R -加群としての直和である[ 10]
E
x
t
(
M
,
∏
λ
∈
Λ
N
λ
)
=
∏
λ
∈
Λ
E
x
t
(
M
,
N
λ
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} (M,\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }N_{\lambda })=\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M,N_{\lambda })}
∏
{\displaystyle \textstyle \prod }
R -加群としての直積である[ 10] M が自由R -加群なら
E
x
t
(
M
,
N
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {Ext} (M,N)=0}
E
x
t
R
(
R
/
(
x
)
,
N
)
≈
N
/
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)\approx N/(x)}
[ 7]
E
x
t
R
(
R
/
(
x
)
,
R
/
(
y
)
)
≈
R
/
(
g
c
d
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))}
gcd(x ,y ) はx とy の最大公約元である。K を標数0 の体とするとき、任意の有限生成R -加群M に対し、
E
x
t
R
(
M
,
K
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,K)=0}
証明
1.、2.に関しては出典を参照。3.に関してはM が自由R -加群であれば、
0
→
0
→
ι
M
→
p
M
→
0
{\displaystyle 0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0}
という分解が可能なので、
E
x
t
(
M
,
N
)
=
C
o
k
e
r
(
ι
∗
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {Ext} (M,N)=\mathrm {Coker} (\iota ^{*})=0}
4.に関しては、x 倍する演算を「
x
⋅
{\displaystyle x\cdot }
0
→
R
→
x
⋅
R
→
p
R
/
(
x
)
→
0
{\displaystyle 0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0}
という分解が可能であり、
0
→
H
o
m
(
R
/
(
x
)
,
N
)
→
p
∗
H
o
m
(
R
,
N
)
→
(
x
⋅
)
∗
H
o
m
(
R
,
N
)
{\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} (R/(x),N){\overset {p^{*}}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N){\overset {(x\cdot )^{*}}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N)}
である。
ここで
φ
∈
H
o
m
(
R
,
N
)
{\displaystyle \varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)}
(
x
⋅
)
∗
(
φ
)
(
u
)
=
φ
(
x
u
)
=
x
φ
(
u
)
{\displaystyle (x\cdot )^{*}(\varphi )(u)=\varphi (xu)=x\varphi (u)}
φ
∈
H
o
m
(
R
,
N
)
{\displaystyle \varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)}
1
∈
R
{\displaystyle 1\in R}
u
∈
R
{\displaystyle u\in R}
H
o
m
(
R
,
N
)
→
∼
N
,
φ
↦
φ
(
1
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (R,N){\overset {\sim }{\to }}N,\varphi \mapsto \varphi (1)}
E
x
t
R
(
R
/
(
x
)
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)}
=
C
o
k
e
r
(
(
x
⋅
)
∗
)
{\displaystyle =\mathrm {Coker} ((x\cdot )^{*})}
≈
N
/
(
x
)
{\displaystyle \approx N/(x)}
5.は4.から直接従う。6.に関しては、M が有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、Rn とR /(x i
E
x
t
R
(
M
,
K
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,K)}
E
x
t
R
(
R
n
,
K
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R^{n},K)}
E
x
t
R
(
R
/
(
x
i
)
,
K
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x_{i}),K)}
0 に等しく、後者も4.により0 に等しい。
TorR の場合と同様、M が有限生成R -加群であれば、これらの性質からExtR を具体的に計算できる。
次の定理が成立することが知られている：
定理 (Tor に関する普遍係数定理 ―
R を単項イデアル整域 とし、M をR -加群 とし、さらに
C
∗
:=
(
C
n
,
∂
n
)
n
∈
Z
{\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
R 上のチェイン複体で、各n に対し
C
n
{\displaystyle C_{n}}
R -加群として自由なものとする。このとき
0
→
H
n
(
C
∗
)
⊗
R
M
→
α
H
n
(
C
∗
⊗
M
)
→
β
Tor
R
(
H
n
−
1
(
C
∗
)
,
M
)
→
0
{\displaystyle 0\to H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*}\otimes M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\to 0}
が短完全系列 となるα 、β が存在する[ 11]
しかもこの短完全系列は
C
∗
{\displaystyle C_{*}}
M に関して自然 である。さらにこの短完全系列は（自然ではなく）分裂 する[ 11]
上記の定理でα は
[
c
]
⊗
R
m
∈
H
n
(
C
∗
)
⊗
R
M
↦
[
c
⊗
R
m
]
∈
H
n
(
C
∗
⊗
R
M
)
{\displaystyle [c]\otimes _{R}m\in H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M\mapsto [c\otimes _{R}m]\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)}
[ 11]
R が
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
M が
Z
/
p
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
ボックシュタイン・スペクトル系列 （英語版 ）
R
=
Z
{\displaystyle R=\mathbb {Z} }
H
n
(
C
∗
)
{\displaystyle H_{n}(C_{*})}
H
n
(
C
∗
)
{\displaystyle H_{n}(C_{*})}
F n p に対する
T
n
,
p
=
{
x
∈
H
n
(
C
∗
)
∣
∃
m
>
0
:
p
m
x
=
0
}
{\displaystyle T_{n,p}=\{x\in H_{n}(C_{*})\mid \exists m>0~:~p^{m}x=0\}}
p を除いて
T
n
,
p
=
0
{\displaystyle T_{n,p}=0}
前述したTorの性質 を利用すると、以下がわかる：
命題 ― 上記の設定のもと：
H
n
(
C
∗
⊗
M
)
≈
H
n
(
C
∗
)
⊗
M
⊕
Tor
R
(
H
n
−
1
(
C
∗
)
,
M
)
≈
{
Z
p
r
a
n
k
(
F
n
)
+
r
a
n
k
(
T
n
−
1
,
p
⊗
Z
p
)
if
M
=
Z
p
M
r
a
n
k
(
F
n
)
if
M
=
Q
,
R
,
C
{\displaystyle H_{n}(C_{*}\otimes M)\approx H_{n}(C_{*})\otimes M\oplus \operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\approx {\begin{cases}\mathbb {Z} _{p}{}^{\mathrm {rank} (F_{n})+\mathrm {rank} (T_{n-1,p}\otimes \mathbb {Z} _{p})}&{\text{if }}M=\mathbb {Z} _{p}\\M^{\mathrm {rank} (F_{n})}&{\text{if }}M=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} \end{cases}}}
チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う：
定理 ―
R 、M を上述の定理 と同様に取り、
C
∗
{\displaystyle C^{*}}
0
→
H
n
(
C
∗
)
⊗
R
M
→
α
H
n
(
C
∗
⊗
R
M
)
→
β
Tor
R
(
H
n
+
1
(
C
∗
)
,
M
)
→
0
{\displaystyle 0\to H^{n}(C^{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H^{n+1}(C^{*}),M)\to 0}
が短完全系列 となるα 、β が存在する[ 12]
この短完全系列が
C
∗
{\displaystyle C^{*}}
M に関して自然 である事や分裂 する事も前述の定理 と同様である。
R
=
Z
{\displaystyle R=\mathbb {Z} }
H
n
(
C
∗
)
{\displaystyle H^{n}(C_{*})}
M 係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理
編集
上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をM を係数に持つコホモロジー（例えばM を係数にもつ特異コホモロジー ）に適用する場合は注意が必要である。
これまで同様R が単項イデアル整域とし、M をR -加群する。R 上のチェイン複体
C
∗
:=
(
C
n
,
∂
n
)
n
∈
Z
{\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
∂
n
∗
:
H
o
m
R
(
C
n
,
M
)
→
H
o
m
R
(
C
n
+
1
,
M
)
,
c
↦
c
∘
∂
n
+
1
{\displaystyle \partial _{n}{}^{*}~:~\mathrm {Hom} _{R}(C_{n},M)\to \mathrm {Hom} _{R}(C_{n+1},M),~~c\mapsto c\circ \partial _{n+1}}
と定義すると
∂
n
+
1
∗
∘
∂
n
∗
=
0
{\displaystyle \partial _{n+1}{}^{*}\circ \partial _{n}{}^{*}=0}
であるので
H
o
m
R
(
C
∗
,
M
)
:=
(
H
o
m
R
(
C
∗
,
M
)
,
∂
n
∗
)
n
∈
Z
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }}
H
o
m
R
(
C
∗
,
M
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M)}
M に関する
C
∗
{\displaystyle C_{*}}
双対コチェイン複体 （英 : dual cochain complex ）という[ 12]
M に係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、
H
n
(
C
∗
;
M
)
=
H
n
(
C
∗
⊗
R
M
)
{\displaystyle H_{n}(C_{*};M)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)}
H
n
(
C
∗
;
R
)
=
H
n
(
C
∗
⊗
R
R
)
=
H
n
(
C
∗
)
{\displaystyle H_{n}(C_{*};R)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}R)=H_{n}(C_{*})}
なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理 の
H
n
(
C
∗
⊗
R
M
)
{\displaystyle H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)}
H
n
(
C
∗
)
{\displaystyle H_{n}(C_{*})}
系 ―
R 、M を前述の定理 と同様に取り、
C
∗
{\displaystyle C_{*}}
0
→
H
n
(
C
∗
;
R
)
⊗
R
M
→
α
H
n
(
C
∗
;
M
)
→
β
Tor
R
(
H
n
−
1
(
C
∗
;
R
)
,
M
)
→
0
{\displaystyle 0\to H_{n}(C_{*};R)\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*};M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*};R),M)\to 0}
が短完全系列となるα 、β が存在する。
一方、M を係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要 である。実際、
C
∗
:=
H
o
m
R
(
C
∗
,
R
)
{\displaystyle C^{*}:=\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},R)}
H
n
(
C
∗
;
R
)
=
H
n
(
H
o
m
(
C
∗
,
R
)
)
=
H
n
(
C
∗
)
{\displaystyle H^{n}(C_{*};R)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R))=H^{n}(C^{*})}
であるが、
H
n
(
C
∗
;
M
)
{\displaystyle H^{n}(C_{*};M)}
H
n
(
C
∗
;
M
)
=
H
n
(
H
o
m
(
C
∗
,
M
)
)
{\displaystyle H^{n}(C^{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))}
であり、コホモロジーの普遍係数定理 における
H
n
(
C
∗
⊗
R
M
)
=
H
n
(
H
o
m
(
C
∗
,
R
)
⊗
R
M
)
{\displaystyle H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R)\otimes _{R}M)}
とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら２つが等しくなり、M を係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる：
Ext 関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。
前に述べたように 、チェイン複体
C
∗
{\displaystyle C_{*}}
H
o
m
R
(
C
∗
,
M
)
:=
(
H
o
m
R
(
C
∗
,
M
)
,
∂
n
∗
)
n
∈
Z
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }}
M を係数に持つコホモロジー加群を
H
n
(
C
∗
;
M
)
=
H
n
(
H
o
m
R
(
C
∗
;
M
)
)
{\displaystyle H^{n}(C_{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*};M))}
このとき以下の定理がしたがう：
上述の定理においてα は
[
φ
]
∈
H
n
(
C
∗
;
M
)
=
H
n
(
Hom
R
(
C
∗
,
M
)
)
{\displaystyle [\varphi ]\in H^{n}(C_{*};M)=H^{n}({\textrm {Hom}}_{R}(C_{*},M))}
[
c
]
∈
H
n
(
C
∗
)
↦
φ
(
c
)
∈
M
{\displaystyle [c]\in H^{n}(C_{*})\mapsto \varphi (c)\in M}
Hom
R
(
H
n
(
C
∗
)
,
M
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)}
[ 15]
R
=
Z
{\displaystyle R=\mathbb {Z} }
H
n
(
C
∗
)
{\displaystyle H_{n}(C_{*})}
H
n
(
C
∗
)
{\displaystyle H_{n}(C_{*})}
F n
T
n
{\displaystyle T_{n}}
Ext の性質
命題 ― 上記の設定のもと以下が成立する[ 16]
H
n
(
C
∗
;
Z
)
≈
H
o
m
(
H
n
(
C
∗
)
;
Z
)
⊕
Ext
R
(
H
n
−
1
(
C
∗
)
,
Z
)
≈
F
n
⊕
T
n
−
1
{\displaystyle H^{n}(C_{*};\mathbb {Z} )\approx \mathrm {Hom} (H_{n}(C_{*});\mathbb {Z} )\oplus \operatorname {Ext} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),\mathbb {Z} )\approx F_{n}\oplus T_{n-1}}
上記により
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Tor に関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。
H
n
(
C
∗
)
{\displaystyle H_{n}(C_{*})}
上述の普遍係数定理 でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する：
上述の定理において、α は
[
z
]
⊗
m
∈
H
n
(
C
∗
⊗
R
M
)
=
H
n
(
C
∗
;
M
)
{\displaystyle [z]\otimes m\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)=H_{n}(C_{*};M)}
[
f
]
∈
H
n
(
C
∗
)
↦
f
(
z
)
m
∈
M
{\displaystyle [f]\in H^{n}(C_{*})\mapsto f(z)m\in M}
H
o
m
(
H
n
(
C
∗
)
,
M
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (H^{n}(C_{*}),M)}
[ 17]
^ a b 具体的にはM のR 上の生成元
(
e
λ
)
λ
∈
Λ
{\displaystyle (e_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}
A
:=
R
Λ
=
{
(
a
λ
)
λ
∈
Λ
∣
a
λ
∈
R
,
{\displaystyle A:=R^{\Lambda }=\{(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mid a_{\lambda }\in R,}
λ
{\displaystyle \lambda }
a
λ
=
0
}
{\displaystyle a_{\lambda }=0\}}
A
→
R
{\displaystyle A\to R}
(
a
λ
)
λ
∈
Λ
→
∑
λ
∈
Λ
a
λ
e
λ
{\displaystyle (a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\to \sum _{\lambda \in \Lambda }a_{\lambda }e_{\lambda }}
B をこの写像のカーネル とすればよい。定義から明らかにA はR 上自由である。またR は単項イデアル整域なので、自由加群A の部分加群であるB も自由である。
^ 最初の0 を除いた
A
⊗
R
N
⟶
ι
⊗
R
1
N
B
⊗
R
N
⟶
p
⊗
R
1
N
M
⊗
R
N
⟶
0
{\displaystyle A\otimes _{R}N{\overset {\iota \otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}B\otimes _{R}N{\overset {p\otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}M\otimes _{R}N\longrightarrow 0}
[ 3]
^ 最後の0 を除いた
0
⟶
H
o
m
R
(
M
,
N
)
⟶
p
∗
H
o
m
R
(
B
,
N
)
⟶
ι
∗
H
o
m
R
(
A
)
{\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Hom} _{R}(M,N){\overset {p^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(B,N){\overset {\iota ^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(A)}
[ 8]
![{\displaystyle [c]\otimes _{R}m\in H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M\mapsto [c\otimes _{R}m]\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87390f6de8fd5167a628d28455ea2323f61822ce)
![{\displaystyle [\varphi ]\in H^{n}(C_{*};M)=H^{n}({\textrm {Hom}}_{R}(C_{*},M))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70bb7a92433b3eee449d4b4f9e22d2343eace70)
![{\displaystyle [c]\in H^{n}(C_{*})\mapsto \varphi (c)\in M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69df56e38acfd1c2f3c55852393cd8f629352f8)
![{\displaystyle [z]\otimes m\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)=H_{n}(C_{*};M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf24706ae655acda8d02a6f8d161c96c36a0b59a)
![{\displaystyle [f]\in H^{n}(C_{*})\mapsto f(z)m\in M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63926fad690e2be433a1e1450f3fe60a759f350f)
