単純加群

環 R 上の左加群 S ≠ {0} が非自明な部分 R-加群をもたないとき、S を単純加群（たんじゅんかぐん、英: simple module）または既約加群（きやくかぐん、英: irreducible module）という。これは任意の 0 ≠ x ∈ S について S = Rx となることと同値である。 これは左 R-加群の圏 R-Mod において、すべてのゼロでない準同型写像 S → M は単射である、あるいはすべてのゼロでない準同型写像 M → S は全射であることとしても特徴づけられる。 右加群に対しても同様に定義される。

例

• 有限 Z-加群はアーベル群と同じなので、 単純 Z-加群とは {0} でない真の部分群をもたないアーベル群、つまり位数が素数の巡回群である。
• 係数環 R が特に体 R = k のとき k-加群とは線型空間なので、単純 k-加群とは 1 次元線型空間 k のことである。
• （直前の例を一般化して）係数環 R が特に体 k 上の全行列環 R = Mat_n(k)のとき 単純 R-加群は kⁿ である。ただし環の作用は行列の乗法で定める。
• 複素数体 C 上の対称群 S_n に関する群環 CS_n の単純 CS_n-加群の同型類はシュペヒト加群で与えられる。

性質

• 環 R の極大左イデアル L に対し、R/L は単純左加群である。逆に，すべての単純加群はこのようにして得られる。
• （直前の性質より）単純加群は常に存在する。
• 単純加群は直既約加群である。
• 単純加群は巡回加群である。

参考文献

• 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』（第1版）日本評論社、2002年。ISBN 4-535-78367-5。 
• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992). Rings and Categories of Modules. Graduate texts in mathematics. 13 (Second ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97845-3 

関連項目

• 半単純加群
• 既約表現
• シューアの補題
• ジョルダン・ヘルダーの定理