Trasformazione di Möbius

In geometria, una trasformazione di Möbius è una funzione

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

dove $z,a,b,c$ e $d$ sono numeri complessi con $ad-bc\neq 0$ .

La funzione è definita sulla sfera di Riemann, ed è un ingrediente fondamentale della geometria proiettiva e dell'analisi complessa. Si usano anche i termini trasformazione omografica e trasformazione lineare fratta. Il nome è legato al matematico August Ferdinand Möbius.

Definizione

Una trasformazione di Möbius è una funzione

f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}

definita sulla sfera di Riemann

{\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \},

della forma

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

con determinante diverso da zero

\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc\neq 0.

Automorfismi della sfera di Riemann

Esempi

La condizione sul determinante è necessaria affinché la funzione sia effettivamente definita su tutta la sfera di Riemann. Valgono in particolare le relazioni

f\left(-{\frac {d}{c}}\right)={\frac {ad-bc}{0}}=\infty ,

f\left(-{\frac {b}{a}}\right)={\frac {0}{-cb+ad}}=0,

f(\infty )={\frac {a}{c}}.

Rappresentazione tramite matrici

La trasformazione $f$ è determinata dalla matrice

A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.

Poiché ha determinante non nullo, la matrice è invertibile. Quindi è un elemento del gruppo generale lineare ${\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ composto da tutte le matrici complesse invertibili $2\times 2$ .

La rappresentazione tramite matrici è molto comoda, in virtù del fatto seguente: la composizione di due trasformazioni di Möbius, descritte dalle matrici $A$ e $B$ , è anch'essa una trasformazione di Möbius, descritta dalla matrice $BA$ .

Automorfismo

La descrizione tramite matrici mostra che ogni trasformazione di Möbius è una funzione biettiva dalla sfera di Riemann in sé. Infatti, una trasformazione associata alla matrice $A$ ha una inversa, associata alla matrice inversa $A^{-1}$ .

Per questo motivo una trasformazione di Möbius è chiamata automorfismo. Le trasformazioni di Möbius formano un gruppo, indicato con

{\rm {Aut({\widehat {\mathbb {C} }}).}}

Struttura di gruppo

La rappresentazione matriciale fornisce un omomorfismo di gruppi

h:{\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )\to {\rm {Aut({\widehat {\mathbb {C} }}).}}

L'omomorfismo è suriettivo ma non iniettivo: il nucleo consiste infatti di tutte le matrici della forma $\lambda I$ , dove $I$ è la matrice identità e $\lambda \neq 0$ è un numero complesso. Il primo teorema d'isomorfismo fornisce quindi un isomorfismo di gruppi

{\rm {PGL}}_{2}(\mathbb {C} ):={\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )/_{\sim }\cong {\rm {Aut}}({\widehat {\mathbb {C} }})

dove $A\sim B$ se e solo se $A=\lambda B$ per qualche $\lambda$ . Il quoziente è indicato con una "P" davanti, perché questa costruzione è identica a quella dello spazio proiettivo di uno spazio vettoriale.

Proprietà basilari

Trasformazioni elementari

Ogni automorfismo di Möbius è ottenuto componendo alcune trasformazioni elementari di questo tipo:

$f(z)=z+b\;$ (traslazione)
$f(z)=1/z\;$ (inversione)
$f(z)=az\;$ (omotetia e rotazione)

La traslazione tiene fisso il punto all'infinito e trasla tutti i punti del piano complesso. L'inversione scambia i punti $0$ e $\infty$ . A proposito della terza trasformazione, scrivendo $a$ in coordinate polari

a=re^{i\theta }\;

si verifica che è una rotazione di angolo $\theta$ , composta con una omotetia di fattore $r$ .

Mappe conformi

Un automorfismo di Möbius è una mappa conforme, una mappa cioè che preserva gli angoli. Infatti, ciascuna delle trasformazioni elementari descritte preserva gli angoli. Un automorfismo però non preserva lunghezze o aree.

Rette e circonferenze

L'inversione $f(z)=1/z$ manda l'infinito in zero, e quindi le rette (che sono circonferenze passanti per l'infinito) in circonferenze e rette passanti per l'origine.

Una circonferenza nella sfera di Riemann ${\widehat {\mathbb {C} }}$ è una circonferenza di $\mathbb {C}$ , oppure una retta di $\mathbb {C}$ completata con il punto all'infinito.

L'immagine $f(C)$ di una circonferenza $C$ tramite una funzione di Möbius $f$ è un'altra circonferenza. Le trasformazioni di Möbius mandano quindi circonferenze in circonferenze.

Questa proprietà è verificata dalle trasformazioni elementari (traslazioni, inversioni, rotazioni, omotetie), e per questo motivo è verificata da qualsiasi trasformazione.

Birapporto

Una trasformazione di Möbius $f$ preserva il birapporto ${\rm {brp}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})$ di quattro punti della sfera di Riemann. Vale cioè la relazione

{\rm {brp}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\rm {brp}}(f(z_{1}),f(z_{2}),f(z_{3}),f(z_{4})).\;

Funzione meromorfa

Con il linguaggio dell'analisi complessa, un automorfismo di Möbius è una particolare funzione meromorfa, avente un polo in $z=-d/c$ di ordine 1.

Trasformazione proiettiva

Con il linguaggio della geometria proiettiva, la sfera di Riemann è identificata con la retta proiettiva complessa $\mathbb {CP} ^{1}$ tramite la mappa