Quadrica

In matematica, e in particolare in geometria, una quadrica (o superficie quadrica) è una (iper-)superficie di uno spazio n-dimensionale sui complessi o sui reali rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine nelle variabili spaziali (coordinate). Se le coordinate spaziali sono $\{x_{1},\ \dots ,\ x_{n}\}$, allora la generale quadrica nello spazio $\mathbb {C} ^{n}$ (o $\mathbb {R} ^{n}$) è definita da un'equazione della forma

$\sum _{i,j=1}^{n}B_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}E_{i}x_{i}+F=0,$

dove $B_{ij}$ è una matrice (non nulla), $E$ un vettore e $F$ una costante.

Un punto qualsiasi di una superficie quadrica si definisce iperbolico, parabolico o ellittico a seconda che il piano tangente alla superficie in quel punto tagli la quadrica in due rette reali e distinte, coincidenti o immaginarie coniugate. I punti di una quadrica sono tutti dello stesso tipo, cioè o tutti iperbolici o tutti parabolici o tutti ellittici. Tale caratteristica dipende solo dal segno del determinante della quadrica (invariante nei sistemi di riferimento cartesiani ortogonali) e viene spesso posta in evidenza come aggettivo della quadrica (ad esempio, iperboloide iperbolico).

Attraverso traslazioni e rotazioni ogni quadrica può essere trasformata in una forma "normalizzata", sensibilmente più semplice di quella generale. Ad esempio, l'equazione normalizzata di molte quadriche nello spazio a tre dimensioni ($n=3$) è:

$\pm {x^{2} \over a^{2}}\pm {y^{2} \over b^{2}}\pm {z^{2} \over c^{2}}\,=\,1$

Nello spazio euclideo tridimensionale ogni quadrica può essere scritta in una delle seguenti 9 forme normalizzate:

Quadriche non degeneri
Ellissoide	Ellissoide scaleno	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$
	Sferoide prolato	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1$
	Sferoide oblato	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1$
	Sfera	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1$
Paraboloide	Paraboloide ellittico	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z \over c}=0$
	Paraboloide circolare	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z \over c}=0$
	Paraboloide iperbolico	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-{z \over c}=0$
Iperboloide	Iperboloide ad una falda (iperboloide iperbolico)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$
	Iperboloide a due falde (iperboloide ellittico)	$-{x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$
Quadriche degeneri
Cono (a due falde)		${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0$
Cilindro	Cilindro ellittico	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$
	Cilindro circolare	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1$
	Cilindro parabolico	${x^{2} \over 2a}+y=0$
	Cilindro iperbolico	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1$

Nello spazio proiettivo reale, a meno di una trasformazione proiettiva ci sono tre classi di equivalenza di quadriche:

• il cono, il cilindro e le altre quadriche "degeneri", cioè con curvatura gaussiana zero, sono tra loro equivalenti;
• i due paraboloidi iperbolici e le superfici rigate sono tra loro equivalenti;
• l'ellissoide, il paraboloide ellittico, l'iperboloide a due falde e le rimanenti quadriche sono tra loro equivalenti.

Nello spazio proiettivo complesso tutte le quadriche non degeneri sono tra loro equivalenti, a meno di trasformazioni proiettive.

Bibliografia

• Giuseppe Vaccaro, Lezioni di geometria, vol. I, Roma, Veschi, 1975.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

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Collegamenti esterni

• (EN) quadric surface, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Quadrica, su MathWorld, Wolfram Research.
• http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html, 16 Quadrics in Geometry Formulas and Facts di Silvio Levy, estratto dalla trentesima edizione di CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press).