Punto di equilibrio

Un punto di equilibrio di un sistema dinamico è un punto in corrispondenza del quale l'evoluzione del sistema è stazionaria.

Dato un sistema autonomo ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {f} (\mathbf {x} (t))$ , il vettore $\mathbf {x} _{0}$ è un punto di equilibrio se $f(\mathbf {x} _{0})=\mathbf {0}$ . In tal caso la funzione $\mathbf {x} (t)=\mathbf {x} _{0}$ è una soluzione (stazionaria) per ogni $t$ . Le soluzioni stazionarie sono tutti e soli i punti di equilibrio dell'equazione, la cui ricerca coincide quindi con il trovare gli zeri del campo vettoriale $\mathbf {f}$ .

Definizione

Se il sistema dinamico è determinato da una equazione differenziale (o un sistema di equazioni):

{\frac {d}{dt}}x(t)=F(x(t),t)

un punto di equilibrio è un punto $x_{0}$ tale che $F(x_{0},t)=0$ per ogni $t$ . Questa condizione implica infatti che:

{\frac {d}{dt}}x(t)=0

da cui, integrando, si ottiene $x(t)=cost$ indipendentemente dal tempo $t$ , ovvero il sistema tende a rimanere immutato alle condizioni descritte dal punto $x_{0}$ . Di particolare interesse è lo studio delle derivate (o la jacobiana) di $f$ in corrispondenza dei punti di equilibrio, poiché fornisce diverse informazioni sul comportamento locale della soluzione.

Se il sistema dinamico è determinato da un'equazione di ricorrenza:

x_{n+1}=T(x_{n},n)

allora un punto di equilibrio è un punto $x_{0}$ che sia un punto fisso delle mappe $T(x_{i},i)$ , ovvero tale che $T(x_{0},n)=0$ per ogni n.

Stabilità

I punti di equilibrio possono essere classificati linearizzando l'equazione, e osservando il segno degli autovalori della matrice jacobiana (relativa al sistema linearizzato) valutata nel punto di equilibrio.

Un punto di equilibrio è iperbolico se nessuno degli autovalori ha parte reale nulla. Se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa il punto di equilibrio è stabile, mentre se almeno un autovalore ha parte reale positiva l'equilibrio è instabile. Infine, se ci sono almeno un autovalore che ha parte reale positiva e uno che ha parte reale negativa, il punto è un punto di sella.