Differenziale esatto

Nel calcolo infinitesimale, un differenziale esatto o differenziale totale è una forma differenziale esatta:

$\operatorname {d} Q=A_{1}(x_{1},x_{2},\dots )\operatorname {d} x_{1}+A_{2}(x_{1},x_{2},\dots )\operatorname {d} x_{2}+\dots$

cioè tale per cui esiste una funzione $Q(x_{1},x_{2},\dots )$, detta potenziale, che soddisfa:

$A_{1}={\frac {\partial Q}{\partial x_{1}}}\qquad A_{2}={\frac {\partial Q}{\partial x_{2}}}\qquad \dots$

Un differenziale è esatto se e solo se è integrabile, cioè se la grandezza $Q$ è esprimibile come funzione di classe $C^{2}$, la cui immagine è un sottoinsieme dei numeri reali. L'implicazione diretta dipende dal fatto che la seconda classe di continuità ammette sempre un solo differenziale $\operatorname {d} Q$. Per generalizzare la nozione di differenziale come infinitesimo a quantità $Q$ definite arbitrariamente risulta utile avere un criterio per determinare se $Q$ sia esprimibile come funzione delle sue variabili, o se invece non lo sia, anche perché in quest'ultimo caso risulta non conservata su un integrale chiuso nelle sue variabili.

Definizione

Nel seguito si considera il caso tridimensionale, anche se la trattazione vale in uno spazio di dimensione arbitraria.

Una forma differenziale $A(x,y,z)\operatorname {d} x+B(x,y,z)\operatorname {d} y+C(x,y,z)\operatorname {d} z$ è detta forma differenziale esatta su un dominio $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ se esiste una qualche funzione scalare $Q=Q(x,y,z)$ definita su $D$ tale che:

$\operatorname {d} Q\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\operatorname {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{z,x}\operatorname {d} y+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\operatorname {d} z=A\operatorname {d} x+B\operatorname {d} y+C\operatorname {d} z$

su tutto $D$. Questo è equivalente a dire che il campo vettoriale $(A,B,C)$ è un campo vettoriale conservativo, corrispondente al gradiente di un campo scalare (chiamato potenziale) $Q$.

In una dimensione, una forma differenziale $A(x)\operatorname {d} x$ è esatta se $A$ ha una primitiva. Altrimenti, se $A$ non possiede primitiva non si può scrivere $\operatorname {d} Q=A(x)\operatorname {d} x$ e la forma non è esatta.

In due dimensioni, per il teorema di Schwarz ogni funzione $Q$ sufficientemente regolare ha la proprietà:

${\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}$

da cui segue che in una regione semplicemente connessa $R$ del piano x-y, un differenziale

$\operatorname {d} Q=A(x,y)\,\operatorname {d} x+B(x,y)\,\operatorname {d} y$

è un differenziale esatto se e solo se vale la relazione

$\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}$

In tre dimensioni, un differenziale

$\operatorname {d} Q=A(x,y,z)\,\operatorname {d} x+B(x,y,z)\,\operatorname {d} y+C(x,y,z)\,\operatorname {d} z$

è un differenziale esatto in una regione semplicemente connessa $R$ dello spazio x-y-z se tra le funzioni $A$, $B$ e $C$ sussiste la relazione

$\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}\qquad \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}\qquad \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}$

dove fuori dalle parentesi in basso sono indicate le variabili considerate costanti durante la differenziazione.

Riassumendo, quando un differenziale è esatto esiste $Q$ e:

$\int _{i}^{f}\operatorname {d} Q=Q(f)-Q(i)$

indipendentemente dal cammino di integrazione seguito.

Criterio di Schwarz

Se la funzione $Q(\mathbf {x} )$ di n variabili, con $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$, ammette un differenziale, esso corrisponde al prodotto scalare tra il gradiente $\nabla Q$ di $Q$ e $\operatorname {d} \mathbf {x}$:

$\operatorname {d} Q=\nabla Q\cdot \operatorname {d} \mathbf {x} =\sum _{i}{\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\operatorname {d} x_{i}$

dove nell'ultima uguaglianza si è esplicitato il prodotto scalare. L'integrazione:

$Q(\mathbf {x} )=\sum _{i}\int {\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\operatorname {d} x_{i}$

è permessa se e solo se tutte le funzioni integrande dipendono da altre variabili con lo stesso andamento:

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial Q}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\quad \forall i,j\in (1,...,n)$

e cioè se $Q[\mathbf {x} ]$ verifica il teorema di Schwarz, affermazione valida per le funzioni $Q(\mathbf {x} )$ della seconda classe di continuità. Poiché il differenziale di $Q[\mathbf {x} ]$ viene solitamente costruito come dipendenza implicita dai differenziali delle variabili, e cioè nella forma:

$Q(\mathbf {x} )=\sum _{i}\int A_{i}\operatorname {d} x_{i}$

il criterio si traduce nel testare se:

${\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\quad \forall i,j\in (1,...,n)$

e nel qual caso $Q[\mathbf {x} ]$ ha differenziale esatto, che si può esprimere come $\operatorname {d} Q$. Per una funzione di una variabile ovviamente questo si riduce a verificare che $Q[x]$ appartenga alla prima classe di continuità, e cioè che $A(x)$ sia funzione continua in $x$.

Relazioni tra le derivate parziali

Se tre variabili $x$, $y$ e $z$ sono legate dalla relazione $F(x,y,z)={\text{costante}}$ per qualche funzione differenziabile $F(x,y,z)$, allora i seguenti differenziali esatti esistono:

$dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz$

$dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy$

Inserendo la prima equazione nella seconda si ottiene:

$dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy$

$dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz$

$\left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy$

Dal momento che $y$ e $z$ sono variabili indipendenti, $dy$ e $dz$ possono essere scelti arbitrariamente. Affinché l'ultima relazione valga in generale è necessario che i termini tra parentesi quadra siano nulli.

Ponendo nullo il primo termine tra parentesi quadra si ha:

${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1$

che con semplici passaggi conduce alla relazione di reciprocità:

${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}$

Ponendo nullo il secondo termine tra parentesi quadra si ha:

${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}$

e utilizzando una delle relazioni di reciprocità per $\partial z/\partial y$ si ottiene la relazione ciclica, anche conosciuta come "regola del triplo prodotto":

${\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1$

Se, invece, si utilizza una relazione di reciprocità per $\partial x/\partial y$ si ottiene una formula standard per la differenziazione implicita:

${\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}$

Applicazione in termodinamica

Si consideri la quantità di calore $\delta Q$ scambiata in una trasformazione infinitesima:

$\operatorname {\delta } Q[T,V]=\operatorname {d} U+\operatorname {\delta } W=C_{v}\,\operatorname {d} T+p\,\operatorname {d} V$

dove compaiono nell'ordine la capacità termica a volume costante, la variazione di temperatura, la pressione e la variazione di volume. L'equazione traduce il primo principio della termodinamica per gas perfetti; è facile vedere che in generale:

${\frac {\partial C_{v}}{\partial V}}=0\neq {\frac {\partial p}{\partial T}}$

perciò $Q$ non ha differenziale esatto, quindi il calore non è una funzione di stato del sistema.

Considerando invece l'aumento infinitesimo di entropia $\operatorname {\delta } \!S$ si ha:

$\operatorname {\delta } \!S={\frac {\operatorname {\delta } Q}{T}}={\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+{\frac {p}{T}}\,\operatorname {d} V$

e poiché per i gas ideali vale $pV=RT$ si ottiene:

$\operatorname {d} S={\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+{\frac {R}{V}}\,\operatorname {d} V$

Questa volta si ha:

${\frac {\partial }{\partial V}}{\frac {C_{v}}{T}}=0={\frac {\partial }{\partial T}}{\frac {R}{V}}$

quindi $\operatorname {d} S$ è un differenziale esatto per i gas ideali. L'entropia è perciò una funzione di stato:

$S=\int \operatorname {d} S=\int {\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+\int {\frac {p}{T}}\,\operatorname {d} V=C_{v}\,\ln T+R\ln V+{\rm {cost}}$

Bibliografia

• (EN) Thomas, G. B., Jr. and Finney, R. L. Calculus and Analytic Geometry, 8th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1996.
• (EN) Perrot, P. (1998). A to Z of Thermodynamics. New York: Oxford University Press.
• (EN) Zill, D. (1993). A First Course in Differential Equations, 5th Ed. Boston: PWS-Kent Publishing Company.
• (EN) Yunus A. Çengel, Boles, Michael A., Thermodynamics Property Relations, in Thermodynamics - An Engineering Approach, McGraw-Hill Series in Mechanical Engineering, 3rd, Boston, MA., McGraw-Hill, 1998 [1989], ISBN 0-07-011927-9.

Voci correlate

• 1-forma
• Classe C di una funzione
• Derivata parziale
• Derivata totale
• Differenziale (matematica)
• Forma differenziale
• Funzione di stato
• Grandezza fisica
• Teorema di Schwarz

Collegamenti esterni

• (EN) Inexact Differential – from Wolfram MathWorld
• (EN) Exact and Inexact Differentials – University of Arizona
• (EN) Exact and Inexact Differentials – University of Texas
• (EN) Exact Differential – from Wolfram MathWorld