−1

Մաթեմատիկայում -1-ը 1 թվի գումարման հակադիրն է, այսինքն՝ այն թիվը, որը 1-ին գումարելիս արդյունքում ստացվում է 0։ Բացասական ամբողջ թիվ, որը մեծ է բացասական երկուսից (-2) և փոքր զրոյից։

Բացասական մեկը կապված է Էյլերի նույնության ($e^{i\pi }=-1$), որը հաճախ համարվում է մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ արտահայտությունը։

Ծրագրավորման մեջ -1-ը տարածված սկզբնական արժեք է ամբողջ թվերի համար։ Որոշ դեպքերում ցույց է տալիս, որ փոփոխականը օգտակար ինֆորմացիա չի պարունակում։

Ծրագրավորման լեզուներում −1-ը կարող է օգտագործվել զանգվածի վերջին (կամ վերջից 2-րդ) տարրը համարակալելու համար՝ կախված նրանից, թե առաջին տարրը համարակալված է 0-ով թե 1-ով։

Հանրահաշվական հատկություններ

Թիվը -1-ով բազմապատկելը համարժեք է թվի նշանը դրականից բացասական կամ բացասական դրական փոխելուն։ Այս հատկությունը կարելի է ապացուցել՝ օգտվելով բաշխման օրենքից և այն աքսիոմից, որ 1-ը բազմապատկական նույնություն է։ Տրված իրական x թվի համար,

$x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0$

որտեղ օգտագործվեց միայն այն փաստը, որ կամայական x իրական թվի և 0-ի արտադրյալը 0 է, կրճատման հատկությունից հետևում է՝

$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,$

0, 1, −1, i, և - i թվերը կոմպլեքս հարթությունում։

Այլ կերպ ասած,

$x+(-1)\cdot x=0\,$

այսպիսով −1 · x-ը կամ -x-ը x թվի թվաբանական հակադարձն է։

-1-ի քառակուսի

−1 թվի քառակուսին (այսինքն՝ -1 անգամ -1) հավասար է 1։ Հետևաբար, երկու բացասական իրական թվերի արտադրյալը դրական է։

Այս արդյունքը հանրահաշվորեն կարելի է ապացուցել օգտվելով հետևյալ հավասարությունից՝

$0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]$

Առաջին հավասարությունը հետևում է արդեն ստացված արդյունքից։ Երկրորդը՝ այն փաստից, որը -1-ը 1-ի գումարման հակադարձն է. այն թիվը, որը 1-ին գումարելիս ստացվում է 0։ Այժմ, օգտվելով բաշխման կանոնից, ստանում ենք՝

$0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)$

Երկրորդ հավասարությունը հետևում է այն փաստից, որ 1-ը բազմապատկական նույնություն է։ Բայց հավասարության երկու կողմերին 1 գումարելով կստանանք՝

$(-1)\cdot (-1)=1$

Վերոնշյալ փաստարկը գործում է կամայական օղակում (աբստրակտ հանրահաշվի հասկացություն, որը ամբողջ և իրական թվերի ընդլայնում է)։

−1-ի քառակուսի արմատ

Չնայած -1-ը չունի իրական թառակուսի արմատ, կոմպլեքս $i$թիվը բավարարում է $i^{2}=-1$ հատկությանը, հետևաբար կարող է համարվել -1-ի քառակուսի արմատ։ Բացասական մեկից բացի միակ կոմպլեքս թիվը, որի քառակուսին 1 է, $-i$-ն է։ Քվատերնիոնների հանրահաշվում, որը իր մեջ ներառում է կոմպլեքս հարթությունը, $x^{2}=-1$հավասարումը ունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ։

Բացասական աստիճան

Զրոյից տարբեր իրական թվի աստիճան բարձրացնելու գործողությունը կարելի է սահմանել նաև բացասական աբողջ ցուցիչների համար։ Ըստ սահմանման $x^{-1}={\frac {1}{x}}$։ Այս սահմանումը կարելի է ընդլայնել բոլոր բացասական ամբողջ թվերի վրա՝ պահպանելով աստիճան բարձրացնելու $x^{a}\cdot x^{b}+x^{a+b}$ (կամայական իրական $a$ և $b$ թվերի համար) հատկությունը։

Բացասական աստիճանը կարելի է ընդլայնել օղակի շրջելի էլեմենտների համար` $x^{-1}$ արտահայտությունը սահմանելով որպես $x$-ի բազմապատկական նույնություն։

Մատրիցների կամ ֆունկցիաների վերտողում գրվող -1-ը աստիճան բարձրացնելու իմաստ չունի. այն համապատասխանաբար նշանակում է հակադարձ ֆունկցիա և հակադարձ մատրից։ Օրինակ, $f^{-1}(x)$-ը $f^{1}(x)$ ֆունկցիայի հակադարձն է, կամ $\sin ^{-1}{x}$-ը՝ $\arcsin {x}$ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիան է։

Համակարգչային ներկայացում

Համակարգիչների մեծ մասում բացասական մեկը ներկայացվում է երկուսի լրացում կոդի միջոցով։ Նման համակարգերում -1-ը ներկայացվում է ամբողջությամբ մեկերից բաղկացած բիթերով։ Օրինակ՝ 8 բիթ ամբողջ թվով (նշանով) -1-ը կներկայացվի "11111111" տեսքով (Հաշվարկման տասնվեցական համակարգով՝ "FF")։ Նույն սիմվոլային տողը աննշան ամբողջ թիվ ներկայացնելու դեպքում n քանակությամբ 1-ը կհամապատասխանի $2^{n}-1$ (հնարավոր ամենամեծ թիվը n երկարութմաբ բիթերի սիմվոլային տողը կարող է ներկայացնել)։ Այսինքն, այս դեպքում "11111111"-ը ներկայացնում է $2^{8}-1=255$։

Աղբյուրներ

• Mathematical analysis and applications By Jayant V. Deshpande, 1-84265-189-7