対数線形近似のç½

流動性の罠においては財政乗数が大きくなる、というのはクルーグマンが日頃から強調している点だが、その特性は実はモデル計算の近似の問題に過ぎない、ということを示した論文がセントルイス連銀の年次総会で提示された、とEconomist's ViewのMark Thomaが報告している*1。

論文のタイトルは「Some unpleasant properties of log-linearized solutions when the nominal rate is zero」、著者はR. Anton BraunとLena Mareen KörberとYuichiro Wakiで*2、BraunとWakiはおそらくこの本の第6ç« *3の著者と同じコンビである。

以下はその導入部からの引用。

We study the properties of a nonlinear stochastic NK model when the nominal interest rate is constrained at its zero lower bound. Our tractable framework allows us to provide a partial analytic characterization of equilibrium and to numerically compute all equilibria when the zero interest state is persistent. There are no approximations needed when computing equilibria and our numerical solutions are accurate up to the precision of the computer. A comparison with the log-linearized equilibrium identifies a severe breakdown of the log-linearized approximate solution. This breakdown occurs when using parameterizations of the model that reproduce the U.S. Great Depression and the U.S. Great Recession.
Conditions for existence and uniqueness of equilibrium based on the log-linearized equilibrium conditions are incorrect and offer little or no guidance for existence and uniqueness of equilibrium in the true economy. The characterization of equilibrium is also incorrect.
These three unpleasant properties of the log-linearized solution have the implication that relying on it to make inferences about the properties of fiscal policy in a liquidity trap can be highly misleading. Empirically relevant parameterization/shock combinations that yield the paradox of toil in the log-linearized economy produce orthodox responses of hours worked in the true economy. The same parameterization/shock combinations that yield large government purchases multipliers in excess of two in the log-linearized economy, produce government purchase multipliers as low as 1.09 in the nonlinear economy. Indeed, we find that the most plausible parameterizations of the nonlinear model have the property that there is no paradox of toil and that the government purchase multiplier is close to one.
（拙訳）
我々は名目金利がゼロ下限に制約されている非線形確率的ニューケインジアンモデルの特性を調べた。取り扱いが容易な我々の枠組みでは、均衡の部分的に解析的な定式化が可能になり、ゼロ金利の状態が継続する場合のすべての均衡を数値計算することが可能となる。その均衡計算の際に近似は一切必要無く、我々の数値解はコンピュータの精度の限界まで正確である。その結果と対数線形法で求めた均衡とを比較することにより、対数線形の近似解は深刻な破綻をもたらすことが分かった。その破綻は、米国の大恐慌および大不況を再現するモデルのパラメータを使用した際に生じる。
対数線形法の均衡条件に基づいた均衡の存在と唯一性の条件は不正確であり、真の経済における均衡の存在と唯一性について殆どないし全く情報を提供しない。均衡の特性もまた不正確である。
対数線形解に関する以上の3つの芳しくない特徴は、流動性の罠における財政政策の特性を推定する際にそれに頼ることが非常にミスリーディングであることを意味する。
対数線形の経済において労働パラドックス*4をもたらす実証的に導かれたパラメータとショックの組み合わせは、真の経済において労働時間の通常の反応をもたらす。対数線形の経済において2を超える政府購買乗数をもたらす同じパラメータとショックの組み合わせは、非線形経済において1.09の政府購買乗数をもたらすに留まる。実際のところ、非線形モデルの最も確からしいパラメータは、労働パラドックスをもたらさず、政府購買乗数が1に近いという特性を持つことが分かった。

Thomaは、今回の総会で最も重要な論文の一つ、と評すると共に、財政乗数が1に近いということは、財政政策は有効ではあるが、対数線形モデルが示すよりももっと積極的にやる必要があるということだね、と如何にも財政積極派らしいコメントを残している。

また、以前ここで紹介したように、Stephen WilliamsonはEggertsson=Krugman論文について「The linearization needs to be done for a fully-specified underlying stochastic model」とコメントしたことがあったが、上記論文の指摘もあるいはそれと通底する話かもしれない。

*1:本石町日記さんもツイートしている。

*2:最初のポスト時にKörberを抜かしていたことを郡司さんのツイートで気付いたので追記。

*3:Amazonの目次表記は「第6章 失われた10年における日本の金融政策 R. アントン・ブラウン・脇雄一郎」。

*4:導入部の冒頭では「Eggertsson (2011) finds that hours worked fall in response to a labor tax cut when the nominal interest rate is zero, a property that is referred to as the “paradox of toil,”」と説明されている。cf. Wikipedia。