מרכז מסה

בפיזיקה ובמכניקה, מרכז המסה (או מרכז כובד) של גוף או מערכת גופים הוא נקודה במרחב המהווה את הממוצע משוקלל של מיקום המסה במערכת.

ניתן לחשב חישובים מסוימים במכניקה תוך הפשטה של המערכת, כאילו הגוף או מערכת הגופים הם גוף נקודתי הנמצא בנקודת מרכז המסה וכל המסה של המערכת מרוכזת שם. הנחה זו מפשטת מאוד את החישובים, שכן אין צורך להתחשב בממדיו של הגוף, בצורתו או בכיווניות שלו ומתאימה לחישובים המסתמכים על חוקי התנועה של ניוטון לצורך חישוב התנועה הקווית של המערכת.

למרכז המסה תפקיד חשוב בתיאור של מכניקה של גוף קשיח, כלומר של גוף שאינו משנה את צורתו. את תנועתו של גוף קשיח ניתן לתאר כמורכבת מתנועה קווית של מרכז המסה, ומתנועה סיבובית של הגוף סביב ציר סיבוב העובר דרך מרכז המסה. הפעלת כוח על גוף קשיח יכולה להביא לתנועה קווית שלו ו\או לתנועה סיבובית שלו סביב מרכז המסה. בפרט, כח המופעל על ציר העובר דרך מרכז המסה לא יגרום לסיבוב של הגוף הקשיח. כהדגמה לכך, עצם הנמצא על נקודת משען בודדת ימצא בשיווי משקל אם מרכז המסה נמצא על אותו ציר אנכי כמו נקודת המשען (ראו בתמונה).

מרכז המסה משמש גם בתיאור כוח הכובד, אז הוא מכונה גם "מרכז הכובד". על פי חוק הכבידה של ניוטון, $F=G{{m_{1}m_{2}} \over r^{2}}$ , כוח הכבידה $F$ נמצא ביחס הפוך לריבוע המרחק בין הגופים $r^{2}$ כאשר $m_{1},m_{2}$ הם מסות הגופים. כיוון שהמרחק $r$ נמדד בין שתי נקודות, יש בעיה בהגדרת המרחק בין גופים שאינם נקודתיים. על מנת לפתור זאת, יש לדעת באילו נקודות במרחב יש לרכז את מסתו של כל גוף כך שתכונות המערכת לא ישתנו. נקודות אלו הן מרכזי המסות, ועל פיהן ניתן לחשב את המרחק בין הגופים.

מקומו של מרכז המסה הוא פונקציה של המקום והמסה של כל הגופים המרכיבים את המערכת.

בתורת היחסות הפרטית מוחלף מושג זה במרכז האנרגיה שהוא מושג בעל משמעות דומה.

הגדרה מתמטית

מרכז המסה של אוסף בדיד של מסות נקודתיות $\ m_{i}$ הממוקמות בנקודות ${\vec {r}}_{i}$ מוגדר על ידי:

{\vec {R}}_{c.m.}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}

כאשר

\ M=\sum _{i}m_{i}

היא המסה הכוללת של המערכת.

מרכז המסה של גוף רציף בעל צפיפות מסה $\rho ({\vec {r}})$ מוגדר על ידי:

{\vec {R}}_{c.m.}={\frac {1}{M}}\int {\vec {r}}\;dm={\frac {1}{M}}\int \rho ({\vec {r}})\,{\vec {r}}\ dV

כאשר האינטגרל הוא על נפח הגוף.

בכל מקרה מיקום מרכז המסה הוא ממוצע משוקלל של מיקום המסות המרכיבות את המערכת/הגוף.

דוגמאות

מרכז מסה של מערכת המורכבת משתי מסות $m_{1},m_{2}$ הנמצאות במרחק x זו מזו, נמצא על הקו המחבר בין שתי המסות, במרחק ${\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}x$ מהמסה $m_{1}$ ובמרחק ${\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}x$ מהמסה $m_{2}$ .

כאשר שתי המסות אינן שוות מרכז המסה קרוב יותר למסה הגדולה יותר ואילו עבור מסות שוות הוא נמצא בדיוק באמצע בין שתי המסות.

מרכז המסה של גוף יכול להיות מחוץ לגוף עצמו, לדוגמה מרכז המסה של שולחן יכול להיות מתחת לשולחן.
עבור גופים פשוטים בעלי צפיפות אחידה, מרכז המסה מתלכד עם המרכז הגאומטרי של הגוף, לדוגמה:
- דיסקה (עיגול) - מרכז העיגול.
- כדור - מרכז הכדור.
- משולש - מפגש התיכונים.

שימושים

מכניקה

נוח להשתמש במערכת צירים שראשיתה ממוקמת במרכז המסה ונעה יחד איתו. זאת כיוון שמרכז המסה של מערכת נע בהשפעת כוחות חיצוניים בלבד, כלומר רק כוחות שמופעלים על המערכת מבחוץ משפיעים על תנועתו. כמו כן ניתן לפרק את האנרגיה הקינטית של מערכת לאנרגיה הקינטית של החלקים המרכיבים אותה יחסית למרכז המסה ועוד האנרגיה הקינטית של גוף נקודתי בעל המסה הכוללת של המערכת שנמצא במרכז המסה. במקרים בהם לא פועלים כוחות חיצוניים או פועל כח הגרביטציה בלבד, תנועת מרכז המסה פשוטה לחישוב. כך ניתן לדוגמה לפרק תנועה מורכבת של גוף צפיד לתנועה של מרכז המסה שלו וסיבוב של הגוף סביב מרכז המסה.

אסטרונומיה

שני גופים (כוכב ולווין) מסתובבים סביב מרכז המסה שלהם.

במערכת המורכבת משני גופים הנמשכים זה לזה על ידי כח הגרביטציה (כגון כוכב ולוויין), כל אחד מן הגופים נע במסלול אליפטי סביב מרכז המסה המשותף שלהם. כך למשל כדור הארץ נע במסלול אליפטי סביב מרכז המסה של כדור הארץ והשמש (ולא סביב השמש עצמה).

תעופה

מיקום מרכז הכובד של מטוס משפיע על יציבות המטוס.

הטייס, המחזיק באחריות לבטיחות הטיסה, אחראי גם על ביצוע מתאים של פיזור הנוסעים והמטען בצורה שתאפשר למרכז הכובד להישאר בתוך טווח התנועה המותר שלו, על פי ספרות יצרן המטוס. לעיתים, הנושא באחריות זו הוא פקח העמסה.

נקודה נייטרלית - היא הנקודה הגאומטרית האחורית ביותר בה יכול להימצא מרכז הכובד של מטוס יציב סטטית. כלומר בהופעת הפרעה, המטוס ישאף לחזור למצב המקורי - למצב של איזון מחודש. מסומנת כ- $Xn$ .
נקודת מגבלה קדמית - היא הנקודה הגאומטרית הקדמית ביותר בה יכול להימצא מרכז הכובד של מטוס בטיסה ישרה ואופקית בעילוי מקסימלי. מסומנת כ- $Xn_{1}$ . תהליכים כמו סיבוב (רוטציה) במהלך המראה או תמרון מזיזים את המגבלה הקדמית לאחור.