מרחק

ערך זה עוסק במושג מרחק באופן כללי. אם התכוונתם למושג בתורת הגרפים, ראו מרחק (תורת הגרפים).

מרחק הוא מדד מספרי להפרש בין שני אובייקטים במרחב.

גאומטריה

המרחק בין שני מספרים מוגדר כערך המוחלט של הפרשם.

בישר, המרחק בין שני מספרים ממשיים הוא הערך המוחלט של הפרשם.

במרחב התלת-ממדי המרחק בין שתי נקודות הנתונות בקואורדינאטות קרטזיות: $(x_{1},y_{1},z_{1})$ ו- $(x_{2},y_{2},z_{2})$ הוא:

{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}

שני המקרים הם מקרים פרטיים של הגדרת המרחק בין שתי נקודות במרחב אוקלידי $n$ -ממדי שהיא $\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|$ , כאשר $\|\cdot \|$ הנורמה האוקלידית.

מרחק כאורך

במרחב התלת-ממדי (ובכל מרחב אוקלידי) המרחק בין שתי נקודות הוא אורך הקטע המחבר ביניהן. במילים אחרות, המרחק הוא אורך המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות. קשר זה מצדיק את הגדרת האורך בגאומטריה האוקלידית. הנוסחה מתקבלת ממשפט פיתגורס.

במהלך השנים התפתחו בארצות שונות יחידות מידה לאורך שונות.

הכללה

ערך מורחב – מטריקה

במתמטיקה ישנו עניין בהגדרת מרחק בין נקודות גם במרחבים נוספים מלבד המרחב האוקלידי. כך למשל בתורת האינפורמציה מקובל להגדיר את ה"מרחק" בין שתי מילים באורך זהה כמספר האותיות שיש לשנות במילה אחת כדי לקבל את המילה השנייה (ראו מרחק המינג).

לצורך זה הוגדר המונח מטריקה כהכללה למרחק האוקלידי. מטריקה היא פונקציה שמתאימה לכל שתי נקודות במרחב מספר אי-שלילי שנקרא "מרחק" ומקיים שלושה תנאים:

המרחק בין שתי נקודות הוא $0$ אם ורק אם הן זהות.
המרחק מ- $A$ ל- $B$ שווה למרחק מ- $B$ ל- $A$ (סימטריה).
המרחק הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות (אי-שוויון המשולש).

מרחב שבו מוגדרת מטריקה נקרא מרחב מטרי והוא דוגמה מרכזית למרחב טופולוגי.

גם את הקשר בין מרחק לאורך ניתן להכליל. מרחב נורמי הוא מרחב וקטורי שבו מוגדרת נורמה $\|\cdot \|$ (פונקציה שמתאימה לכל וקטור את אורכו). בכל מרחב נורמי אפשר להגדיר מטריקה כך שהמרחק בין שני וקטורים $\mathbf {x}$ ו- $\mathbf {y}$ הוא $\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|$ . כלומר המרחק בין שני וקטורים הוא אורך ההפרש שלהם.