מערכת גבישית

מערכת גבישית היא מחלקה של חבורות סימטריה תלת-ממדיות, המאפיינת את מידת הסימטריה של סריגים. את המערכות הגבישיות חוקרים במסגרת הגאומטריה האוקלידית ותורת החבורות, אך השימוש העיקרי בהן הוא בקריסטלוגרפיה, לצורך המיון של גבישים.

מבוא

ישנן שבע מערכות גבישיות.

230 חבורות הסימטריה המרחביות שייכות לשבע המערכות הגבישיות על-פי החלוקה הבאה:

המערכת הגבישית הטריקלינית - המקרים שאינם שייכים לאף מערכת אחרת, ואין להם אף סימטריה, פרט להעתקות והיפוך, 2 חבורות.
המערכת הגבישית המונוקלינית - מחצית הסיבוב או שיקוף, 13 חבורות.
המערכת הגבישית האורתורומבית - שלוש פעולות של מחצית הסיבוב בצירים שונים, או מחצית סיבוב ושני שיקופים, 59 חבורות.
המערכת הגבישית הטטרגונלית - רבע סיבוב, 68 חבורות.
המערכת הגבישית הטריגונלית (נקראת גם המערכת הרומבוהדרלית) - שליש סיבוב, 25 חבורות.
המערכת הגבישית ההקסגונלית - שישית סיבוב, 27 חבורות.
המערכת הגבישית הקובייתית (נקראת גם איזומטרית) - ארבע פעולות של שליש סיבוב, 36 חבורות.

הטבלה הבאה מתארת בקצרה את המערכות השונות.

מערכת גבישית	מספר החבורות הנקודתיות	מספר סריגי בראבה	מספר החבורות המרחביות
טריקליני	2	1	2
מונוקלינית	3	2	13
אורתורומבית	3	4	59
טטרגונלית	7	2	68
טריגונלית	5	1	25
הקסוגנלית	7	1	27
קובייתי	5	3	36
סה"כ	32	14	230

בתוך המערכת הגבישית יש שתי דרכים למיין את חבורות הסימטריה המרחביות-

לפי החלק הליניארי של הסימטריות, כלומר, לפי החבורה הנקודתית; כל אחת מ-32 החבורות מתאימה לאחת מ-7 המערכות;
לפי סימטריות ההזזה של הסריג, כלומר לפי סריג בראבה; כל אחד מ-14 סריגי בראבה שייך לאחת משבע המערכות.

73 החבורות המרחביות הסימורפיות הן, ברובן, צירופים, בתוך כל מערכת גבישית, של החבורה הנקודתית עם כל אחד מסריגי בראה המתאימים. יש 2, 6, 12, 14, 5, 7 ו-15 אפשרויות, וביחד 61.

חבורות סימטריה נקודתיות

חבורת סימטריות של סריג כוללת את כל האיזומטריות האפיניות שלו, ובכלל זה הזזות, סיבובים ושיקופים, ושילובים של אלה. כל סימטריה אפשר לכתוב בצורה $\ x\mapsto Ax+v$ , כאשר $\,v$ הוא וקטור של הסריג, ו- $\,A$ היא מטריצה אורתוגונלית. בכל חבורה מרחבית, המייצב של נקודת סריג הוא חבורת סימטריות נקודתית. חבורת הסימטריות הנקודתיות של גביש קובעת כמה תכונות פיזיקליות שלו, לרבות תכונת השבירה הכפולה וקיומו של אפקט פוקלס.

סקירה של חבורות נקודתיות לפי מערכת גבישית

מערכת גבישית	חבורה נקודתית / מערכת גבישית	סימון שונפלייס	סימון הרמן-מוגן	אורביפולד	טיפוס
טריקליני	טריקליני-pedial	C₁	$1\$	11	אננטיומורפי polar
טריקליני	טריקלינית-pinacoidal	C_i	${\bar {1}}$	1x	centrosymmetric
מונוקליני	monoclinic-sphenoidal	C₂	$2\$	22	אננטיומורפי polar
	monoclinic-domatic	C_s	$m\$	1*	polar
	monoclinic-prismatic	C_2h	$2/m\$	2*	centrosymmetric
אורתורומבי	orthorhombic-sphenoidal	D₂	$222\$	222	אננטיומורפי
	orthorhombic-pyramidal	C_2v	$mm2\$	*22	polar
	orthorhombic-bipyramidal	D_2h	$mmm\$	*222	centrosymmetric
טטרגונלי	tetragonal-pyramidal	C₄	$4\$	44	אננטיומורפי polar
	tetragonal-disphenoidal	S₄	${\bar {4}}$	2x
	tetragonal-dipyramidal	C_4h	$4/m\$	4*	centrosymmetric
	tetragonal-trapezoidal	D₄	$422\$	422	אננטיומורפי
	ditetragonal-pyramidal	C_4v	$4mm\$	*44	polar
	tetragonal-scalenoidal	D_2d	${\bar {4}}2m\$ or ${\bar {4}}m2$	2*2
	ditetragonal-dipyramidal	D_4h	$4/mmm\$	*422	centrosymmetric
טריגונלי (רומבוהדרלי)	trigonal-pyramidal	C₃	$3\!$	33	אננטיומורפי polar
	rhombohedral	S₆ (C_3i)	${\bar {3}}$	3x	centrosymmetric
	trigonal-trapezoidal	D₃	$32\$ or $321\$ or $312\$	322	אננטיומורפי
	ditrigonal-pyramidal	C_3v	$3m\$ or $3m1\$ or $31m\$	*33	polar
	ditrigonal-scalahedral	D_3d	${\bar {3}}m\$ or ${\bar {3}}m1$ or ${\bar {3}}1m$	2*3	centrosymmetric
הקסגונלי	hexagonal-pyramidal	C₆	$6\$	66	אננטיומורפי polar
	trigonal-dipyramidal	C_3h	${\bar {6}}$	3*
	hexagonal-dipyramidal	C_6h	$6/m\$	6*	centrosymmetric
	hexagonal-trapezoidal	D₆	$622\$	622	אננטיומורפי
	dihexagonal-pyramidal	C_6v	$6mm\$	*66	polar
	ditrigonal-dipyramidal	D_3h	${\bar {6}}m2$ or ${\bar {6}}2m$	*322
	dihexagonal-dipyramidal	D_6h	$6/mmm\$	*622	centrosymmetric
קובייתי	tetartohedral	T	$23\$	332	אננטיומורפי
	diploidal	T_h	$m{\bar {3}}\$	3*2	centrosymmetric
	gyroidal	O	$432\$	432	אננטיומורפי
	tetrahedral	T_d	${\bar {4}}3m$	*332
	hexoctahedral	O_h	$m{\bar {3}}m$	*432	centrosymmetric

המבנה הגבישי של מולקולה ביולוגית (כמו זה של הפרוטאין) יכול להתאים ל-11 החבורות הנקודתיות האננטיומורפיות, מכיוון שמולקולות אלה הן תמיד כיווניות. למאגדי הפרוטאין עשויה להיות סימטריה נוספת, משום שהם אינם מרצפים את המרחב, ולכן לא חלות עליהן המגבלות שסריגים חייבים לקיים. לדוגמה, לפרוטאין הקשירה Rad52 (של האדם) יש סימטריה סיבובית מסדר 11; עם זאת, כשפרוטאינים אלה יוצרים מבנה גבישי, הם חוזרים להיות מוגבלים ברמת הסימטריה שלהם.

מיון של סריגים

שבע המערכות הגבישיות	14 סריגי בראבה
טריקליני
מונוקליני	פשוט	ממורכז בסיס
מונוקליני
אורתורומבי	פשוט	ממורכז בסיס	ממוכז גוף	ממורכז פאה
אורתורומבי
טטרגונלי	פשוט	ממורכז גוף
טטרגונלי
טריגונלי (רומבוהדרלי)
הקסגונלי
קובייתי	פשוט	ממורכז גוף	ממורכז פאה
קובייתי

כל חומר גבישי (למעט גבישים למחצה) חייב להתאים לאחת מן המערכות האלה.

לשם נוחות, מציירים סריג בראבה כתא-יחידה, הגדול פי 1,2,3 או 4 מן התא פרימיטיבי. התחום היסודי עשוי להיות קטן עוד יותר, עד פי 48, בהתאם לסימטריה של הסריג.

ראו גם

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מערכת גבישית בוויקישיתוף

סקירה בנושא 32 החבורות הנקודתיות (באנגלית)
סימטריה, באתר Mineral galleries (באנגלית)
all cubic crystal classes, forms and stereographic projections (יישומון Java)