Altura (magnitude)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Altura.

A altura é unha magnitude física que expresa a distancia medida en vertical que presenta un obxecto en repouso ou movemento respecto dun plano de referencia. O cálculo da altura é necesario para analizar tanto as caídas libres como os tiros parabólicos.

Altura máxima nun tiro parabólico

A altura máxima nun tiro parabólico pode calcularse partindo da ecuación da velocidade do tiro parabólico na súa compoñente vertical.

Datos previos

Para os cálculos nun tiro parabólico destas características, tómase coma vector de posición inicial o da posición de tiro, e polo tanto:

$r_{0x}=0\,$ (1) e $r_{0y}=0\,$ (2)

Ademais, a descomposición do vector da velocidade inicial permite saber que:

$v_{0y}=v_{0}\,\sin \alpha$ (3) e $v_{0x}=v_{0}\,\cos \alpha$ (4)

forzas verticais e non horizontais.

Cálculo

Dado que, partindo dunha velocidade inicial ascendente, é o punto máis alto e onde comeza a descender, cando chega á altura máxima o obxecto ten velocidade nula e polo tanto pódese calcular despexando o tempo que tarda en chegar a ese punto:

$v_{y}=v_{0y}+a\,t=v_{0y}-g\,t=0\Rightarrow g\,t=v_{0y}\Rightarrow t={\frac {v_{0y}}{g}}={\frac {v_{0}\,\sin \alpha }{g}}$

facendo un último paso en función da ecuación (3).

Este é o tempo que se tarda en acadar a altura máxima, e polo tanto pódese substituír na ecuación da posición vertical da partícula. Neste caso para a posición vertical, como xa se dixo (1), colócase o centro do sistema de coordenadas coincidindo co punto de lanzamento inicial, e polo tanto $r_{0y}=0\,$ :

$r_{y}=r_{0y}+v_{0y}\,t+{\frac {1}{2}}\,a\,t^{2}=0+v_{0y}\,{\frac {v_{0y}}{g}}-{\frac {g}{2}}\,\left({\frac {v_{0y}}{g}}\right)^{2}=$

$={\frac {v_{0y}^{2}}{g}}-{\frac {g}{2}}\,{\frac {v_{0y}^{2}}{g^{2}}}={\frac {2\,v_{0y}^{2}}{2\,g}}-{\frac {v_{0y}^{2}}{2g}}={\frac {2\,v_{0y}^{2}-v_{0y}^{2}}{2\,g}}={\frac {v_{0y}^{2}}{2\,g}}={\frac {v_{0}^{2}\,\sin ^{2}\alpha }{2\,g}}$

Para a posición horizontal tamén se fai unha simple substitución do valor do tempo na ecuación do vector horizontal, sabendo que a posición inicial e a aceleración nesa dirección son nulas:

$r_{x}=r_{0x}+v_{0x}\,t+{\frac {1}{2}}\,a\,t^{2}=0+v_{0x}\,t+0=v_{0x}\,{\frac {v_{0y}}{g}}$

e substituíndo a descomposición das compoñentes das velocidades en función das ecuacións (3) e (4):

$v_{0x}\,{\frac {v_{0y}}{g}}=v_{0}\,\cos \alpha \,{\frac {v_{0}\,\sin \alpha }{g}}={\frac {v_{0}^{2}\,\sin \alpha \,\cos \alpha }{g}}={\frac {v_{0}^{2}\,2\,\sin \alpha \,\cos \alpha }{2\,g}}={\frac {v_{0}^{2}\,\sin 2\alpha }{2\,g}}$

que, como se pode comprobar comparando cos resutados do alcance, é a metade da distancia horizontal que se acada no máximo desprazamento horizontal.

Véxase tamén

Outros artigos