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\chapter{Formulaci&oacute;n Covariante de la Electrodin&aacute;mica}

\section{Conservaci&oacute;n de la carga el&eacute;ctrica y ecuaci&oacute;n de continuidad}\label{ccer}

En el vac&iacute;o (es decir, en ausencia de un medio material) las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse ($c^2=1/\varepsilon_0\mu_0$) como:
\begin{equation}\label{inrho}
\vec{\nabla}\cdot \vec{E} = \mu_0 c^2\rho ,
\end{equation}
\begin{equation}\label{inj}
\vec{\nabla}\times \vec{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} +\mu_0\vec{J} ,
\end{equation}
\begin{equation}\label{db0}
\vec{\nabla}\cdot \vec{B} =0 ,
\end{equation}
\begin{equation}\label{de+}
\vec{\nabla}\times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} .
\end{equation}
Estas ecuaciones se complementan con la expresi&oacute;n para la fuerza de Lorentz que, para una carga (puntual) $q$ movi&eacute;ndose con velocidad $\vec{v}$, asume la forma
\begin{equation}
\vec{F} = q \left( \vec{E} + \vec{v}\times \vec{B}\right) .
\end{equation}
Las ecuaciones de Maxwell implican la ley de conservaci&oacute;n de la carga el&eacute;ctrica. Usando (\ref{inj}) y (\ref{inrho}) podemos escribir:
\begin{eqnarray}
\vec{\nabla}\cdot (\vec{\nabla}\times \vec{B}) &=& \frac{1}{c^2} \vec{\nabla}\cdot\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \mu_0 \vec{\nabla}\cdot \vec{J}\\
 &=& \frac{1}{c^2} \frac{\partial (\vec{\nabla}\cdot \vec{E})}{\partial t} +
\mu_0 \vec{\nabla}\cdot \vec{J}\\
&=&\mu_0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mu_0
\vec{\nabla}\cdot \vec{J} ,
\end{eqnarray}
de modo que obtenemos la \textit{ecuaci&oacute;n de continuidad} \eqref{eccont}.
%que expresa la conservaci&oacute;n de la carga el&eacute;ctrica ($\int_V \rho dV=\rm cte$
%si $\vec{J}=\vec{0}$ en la superficie $\partial V$).

Deseamos asegurar que la teor&iacute;a electromagn&eacute;tica sea compatible con los
principios de la teor&iacute;a de RE y, en particular, con el Principio de Relatividad. Para esto estudiemos c&oacute;mo deben cambiar los campos bajo cambios de SRI, de modo que se asegure que las ecuaciones de Maxwell sean v&aacute;lidas \textit{con la misma forma} en todo SRI. Esto puede ser realizado si logramos escribir las ecuaciones de Maxwell en t&eacute;rminos de 4-vectores y/o 4-tensores.

Por simplicidad, comenzaremos por la ecuaci&oacute;n de continuidad (\ref{eccont}). Para asegurar que la ley de conservaci&oacute;n de la carga el&eacute;ctrica sea v&aacute;lida en todo SRI la
ecuaci&oacute;n (\ref{eccont}) debe ser covariante bajo TL's.  Dado que
$c^{-1}\partial_t$ y $\vec{\nabla}$ son las componentes de
$\partial_\mu=(c^{-1}\partial_t, \vec\nabla)$, que transforma
como un 4-vector (operador) covariante bajo TL's, podemos escribir
(\ref{eccont}) como
\begin{equation}
\partial_\mu J^\mu=\frac{\partial(c \rho)}{\partial x^0} + \partial_i J^i =0
,\label{dj0}
\end{equation}
donde hemos denotado $J^0:=c \rho $, 
%$J^1:=J_{x}$, $J^2:=J_{y}$, $J^3:=J_{z}$,
de modo que $J^\mu :=(c \rho,J^i)=(c \rho,\vec{J})$.

La invariancia de forma de la ecuaci&oacute;n de continuidad estar&aacute; asegurada si el conjunto de 4 cantidades $J^\mu$ \textit{transforma como un vector contravariante bajo TL's}. Llamamos al 4-vector $J^\mu$ la \textit{4-densidad de corriente} o simplemente la \textit{4-corriente}. En efecto, si en un SRI $K'$ tenemos que $x'^\mu=\Lambda^\mu_{\ \nu}x^\nu$ entonces $J'^\mu=\Lambda^\mu_{\ \nu}J^\nu$ adem&aacute;s de $\partial'_\mu=(\Lambda^{-1})^\nu_{\  \mu}\partial_\nu$, de modo que $\partial'_\mu J'^\mu=\partial_\mu J^\mu$ (en otras palabras ``la 4-divergencia de la 4-corriente es un escalar") y por consiguiente $\partial'_\mu J'^\mu=0$.

El asumir que las componentes de la 4-corriente (la densidad y las componentes de la densidad de corriente) forman un 4-vector bajo TL's es consistente con la conocida expresi&oacute;n $\vec{J}=\rho\vec{v}$, que es v&aacute;lida para la densidad de corriente de una
distribuci&oacute;n con densidad de carga $\rho$ movi&eacute;ndose con velocidad $\vec{v}$.
En efecto, si en un SRI $K_0$, com&oacute;vil con (un punto dado de) la distribuci&oacute;n de carga, tenemos que $\vec{v}_0=\vec{0}$ y la densidad de carga es $\rho_0$ entonces, \textit{asumiendo} que $\vec{J}^\mu$ es un 4-vector tendremos, usando el boost (\ref{bg1})-(\ref{bg2}), que en otro SRI en el que las cargas se mueven con velocidad $\vec\beta c$ las componente de la 4-corriente ser&aacute;n
\begin{equation}
\vec{J}=\gamma\vec\beta J^0=\gamma\vec\beta c \rho_0, \qquad  c\rho=\gamma J^0=\gamma c
\rho_0,
\end{equation}
de modo que $\vec{J}=\rho\vec{v}$. Note que el cambio en la densidad de
carga (carga por unidad de volumen), $\rho=\gamma\rho_0$ es consistente con la contracci&oacute;n de longitudes (y por tanto, de volumen) en la direcci&oacute;n de movimiento.

Puede verificarse que si $J^\mu$ es un 4-vector
contravariante, entonces \textit{la carga total en un volumen} $V$, $Q=\int_V (J^0/c)dV$ \textit{es un escalar bajo TL's}. Alternativamente, podemos justificar el car&aacute;cter
vectorial de la \textit{4-densidad de corriente} $J^\mu$ exigiendo (inspirado en la informaci&oacute;n experimental disponible) que la carga el&eacute;ctrica sea un escalar.

Note adem&aacute;s que para el caso de una distribuci&oacute;n de carga con densidad $\rho$ y 4-velocidad $u^\mu$ podemos escribir la 4-densidad de corriente $J^\mu$ como
\begin{equation}
\boxed{J^\mu=\rho_0 u^\mu,}
\end{equation}
donde $\rho_0:={\rho}/{\gamma}$ es un \textit{escalar} que describe la \textit{densidad de carga en el SRI com&oacute;vil con la distribuci&oacute;n}: la \textit{densidad propia de carga}.


\section{Ecuaciones de Maxwell inhomog&eacute;neas}

Sabiendo que $J^\mu$ es un 4-vector, podemos analizar las propiedades de transformaci&oacute;n de los campos el&eacute;ctrico y magn&eacute;tico de modo que las ecuaciones de Maxwell inhomogeneas preserven su forma bajo TL's. Podemos escribir (\ref{inrho}) y (\ref{inj})  m&aacute;s expl&iacute;citamente como:
\begin{eqnarray}
\frac{1}{c}\frac{\partial E^x}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial E^y}{\partial y} + \frac{1}{c}\frac{\partial E^z}{\partial z} &=& \mu_0\, J^0 , \\
\frac{\partial B^z}{\partial y} - \frac{\partial B^y}{\partial z} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E^x}{\partial t} &=& \mu_0\,  J^1 , \\
\frac{\partial B^x}{\partial z} - \frac{\partial B^z}{\partial x} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E^y}{\partial t} &=& \mu_0\,  J^2 , \\
\frac{\partial B^y}{\partial x} - \frac{\partial B^x}{\partial y} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E^z}{\partial t} &=& \mu_0\,  J^3 .
\end{eqnarray}
Reescribimos estas ecuaciones en la forma siguiente,
\begin{eqnarray}
0 + \partial_1 F^{10} + \partial_2 F^{20} + \partial_3 F^{30} &=& \mu_0\,
J^0 ,\\
\partial_0 F^{01} + 0+ \partial_2 F^{21} + \partial_3 F^{31} &=& \mu_0\,
J^1 ,\\
\partial_0 F^{02} + \partial_1 F^{12} +0+ \partial_3 F^{32} &=& \mu_0\,
J^2 ,\\
\partial_0 F^{03} + \partial_1 F^{13} + \partial_2 F^{23} +0&=& \mu_0\,
J^3,
\end{eqnarray}
o, en forma compacta,
\begin{eqnarray}
\partial_\mu  F^{\mu \nu} = \mu_0\, J^\nu  , \label{coninhom}
\end{eqnarray}
con
\begin{eqnarray}
F^{\mu \nu}:=
\left(
\begin{array}{cccc}
0&-E^x/c&-E^y/c&-E^z/c\\
E^x/c&0&-B^z&B^y\\
E^y/c&B^z&0&-B^x\\
E^z/c&-B^y&B^x&0
\end{array}
\right) . \label{Fupup}
\end{eqnarray}
Es claro de (\ref{coninhom}) que la invariancia de forma de las ecuaciones inhomog&eacute;neas de Maxwell queda asegurada si las 6 cantidades independientes correspondientes a los campos el&eacute;ctrico y magn&eacute;tico \textit{forman un tensor antisim&eacute;trico} $F^{\mu \nu}=-F^{\nu\mu}$, llamado \textit{tensor de electromagn&eacute;tico} (o \textit{tensor de Faraday}).

En notaci&oacute;n indicial 3-dimensional, tenemos
\begin{equation}
F^{0i}   =-\frac{1}{c}E^i, \qquad F^{ij}   =-\varepsilon^{ijk}B^{k}, \qquad i,j,k=1,2,3,
\end{equation}
donde $E^i$ y $B^i$ son las tres componentes de $\vec{E}$ y $\vec{B}$, respectivamente.

Concluimos entonces que:
\begin{quotation}
\textit{Las ecuaciones de Maxwell inhomog&eacute;neas, sin modificaci&oacute;n alguna, son covariantes bajo TL's si el campo el&eacute;ctrico y magn&eacute;tico son componentes del
tensor antisim&eacute;trico $F^{\mu \nu}$.}
\end{quotation}

\section{Ecuaciones de Maxwell homog&eacute;neas}

Puede verificarse f&aacute;cilmente que las ecuaciones homog&eacute;neas (\ref{db0}) y (\ref{de+}) pueden escribirse como
\begin{equation}
\partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}+\partial_\lambda
F_{\mu\nu}=0,
\end{equation}
o, equivalentemente,
\begin{equation}
\partial_{[\mu}F_{\nu\lambda]}=0,
\end{equation}
o bien,
\begin{equation}
\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}\,\partial_{\nu}F_{\lambda\rho}=0,
\end{equation}
donde $F_{\mu\nu}$ es el tensor completamente covariante (tipo $(^0_2)$)
correspondiente a $F_{\mu\nu}$, es decir,
$F_{\mu\nu}:=\eta_{\mu\lambda}\eta_{\nu\rho}F^{\lambda\rho}$. La matriz asociada
a este tensor es de la forma
\begin{equation}
F_{\mu\nu}=\left(
\begin{array}
[c]{cccc}
0 & E^x/c & E^y/c & E^z/c\\
-E^x/c & 0 & -B^z & B^y\\
-E^y/c & B^z & 0 & -B^x\\
-E^z/c & -B^y & B^x & 0
\end{array}
\right). \label{Fdndn}
\end{equation}
Resulta &uacute;til considerar adem&aacute;s el tensor tipo $(^1_1)$ correspondiente, tal que
\begin{equation}
F^\mu_{\ \ \nu}=\left(
\begin{array}
[c]{cccc}
0 & E^x/c & E^y/c & E^z/c\\
E^x/c & 0 & B^z & -B^y\\
E^y/c & -B^z & 0 & B^x\\
E^z/c & B^y & -B^x & 0
\end{array}
\right). \label{Fupdn}
\end{equation}
En resumen, tenemos que las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse como
\begin{equation}
\boxed{\partial_\mu  F^{\mu \nu} = \mu_0\, J^\nu,} \label{emihF}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{\partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}+\partial_\lambda
F_{\mu\nu}=0.} \label{homcov}
\end{equation}

\subsection{Ecuacion de Maxwell homogenea y tensor dual*}
La ecuaci&oacute;n de Maxwell homog&eacute;nea puede ser escrita, alternativamente, como
\begin{equation}
\boxed{\partial_\mu {\cal F}^{\mu\nu}=0,}
\end{equation}
donde hemos definido el \textit{tensor electromagn&eacute;tico dual}
\begin{equation}
{\cal F}^{\mu\nu}:=\frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\lambda\rho}F_{\lambda\rho} .
\end{equation}
En efecto, sabemos que (\ref{homcov}) es equivalente a
\begin{equation}
\partial_{\lambda}F_{\mu\nu}+\partial_{\nu}F_{\lambda\mu}+\partial_\mu 
F_{\nu\lambda}  =0.
\end{equation}
Multiplicamos esta ecuaci&oacute;n por $-(1/6)\varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}$
y encontramos que
\begin{eqnarray}
0&=&-\frac{1}{6}\varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}\left(  \partial_{\lambda}%
F_{\mu\nu}+\partial_{\nu}F_{\lambda\mu}+\partial_\mu F_{\nu\lambda}\right)\\
&=&-\frac{1}{6}\left(  \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}\partial_{\lambda}%
F_{\mu\nu}+\varepsilon^{\kappa\nu\lambda\mu}\partial_{\nu}F_{\lambda\mu
}-\varepsilon^{\kappa\mu\lambda\nu}\partial_\mu F_{\nu\lambda}\right) \\
&=&-\frac{1}{6}\left(  \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}\partial_{\lambda}%
F_{\mu\nu}+\varepsilon^{\kappa\nu\lambda\mu}\partial_{\nu}F_{\lambda\mu
}+\varepsilon^{\kappa\mu\nu\lambda}\partial_\mu F_{\nu\lambda}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}\partial_{\lambda}F_{\mu\nu} \\
&=&\frac{1}{2}\varepsilon^{\lambda\kappa\mu\nu}\partial_{\lambda}F_{\mu\nu} \\
&=&\partial_{\lambda}{\cal F}^{\lambda\kappa}  .
\end{eqnarray}
La representaci&oacute;n matricial de ${\cal F}^{\mu\nu}$ es
\begin{equation}
{\cal F}^{\mu\nu}=\left(
\begin{array}
[c]{cccc}
0 & -B^x & -B^y & -B^z\\
B^x & 0 & E^z/c & -E^y/c\\
B^y & -E^z/c & 0 & E^x/c\\
B^z & E^y/c & -E^x/c & 0
\end{array}
\right). \label{Fdualupup}
\end{equation}

\section{Transformaci&oacute;n de Campos Electromagn&eacute;ticos}
Como vimos anteriormente, el Principio de Relatividad aplicado a las ecuaciones de Maxwell queda asegurado asumiendo que los campos el&eacute;ctrico y magn&eacute;tico forman parte de un tensor antisim&eacute;trico de segundo orden, el tensor electromagn&eacute;tico $F$. Esta condici&oacute;n determina la forma en
que el campo electromagn&eacute;tico debe cambiar de un SRI a otro. Si $F^{\mu\nu}$
son las componentes del campo electromagn&eacute;tico respecto a un SRI $K$ entonces,
respecto a otro SRI $K'$ relacionado con $K$ por medio de una TL $\Lambda$
($x'^\mu=\Lambda^\mu_{\  \nu}x^\nu$), tendremos que
\begin{equation}
F'^{\mu\nu}=\Lambda^\mu_{\ \lambda}\Lambda^\nu_{\ \rho}F^{\lambda\rho}.
\label{FLLF}
\end{equation}

A continuaci&oacute;n estudiaremos m&aacute;s expl&iacute;citamente c&oacute;mo esta ley de transformaci&oacute;n de $F$ determina
la forma en que los campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ cambian de un SRI a otro.

\subsection{Caso de un boost simple}
En el caso m&aacute;s simple de un boost en el eje $x$, ver (\ref{boost1}), tenemos
que
\begin{equation}
\Lambda^\mu_{\ \nu}=\left( \begin{array}{cccc}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right) ,
\end{equation}
donde $c\beta$ es la velocidad de $K'$ respecto a $K$. Usando la identificaci&oacute;n
(\ref{Fupup}), encontramos que (\ref{FLLF}) es equivalente a
\begin{eqnarray}
E'^x &=& E^x ,\\
E'^y &=& \gamma ( E^y - \beta cB^z ) ,\\
E'^z &=& \gamma ( E^z + \beta cB^y ) ,\\
B'^x &=& B^x ,\\
B'^y &=& \gamma (B^y + \frac{\beta}{c} E^z) ,\\
B'^z &=& \gamma (B^z - \frac{\beta}{c} E^y).
\end{eqnarray}
Notamos una importante caracter&iacute;stica de esta ley transformaci&oacute;n: \textbf{los campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ cambian s&oacute;lo en sus componentes perpendiculares a la direcci&oacute;n de movimiento relativo entre $K$ y $K'$ (es decir, al eje $x$ en nuestro ejemplo), mientras que las componentes a lo largo de $\beta$ permanecen inalteradas}. 
Puede haberse esperado este comportamiento, por ejemplo,
analizando el caso del campo magn&eacute;tico generado por una l&iacute;nea de corriente
recta e infinita, desde el punto de vista de dos SRI's con movimiento relativo a lo largo de la l&iacute;nea de corriente. Puede tambi&eacute;n verificarse este comportamiento en el caso de ondas electromagn&eacute;ticas planas, considerando un boost en la direcci&oacute;n de propagaci&oacute;n.

\subsection{Caso de un boost general}
En este caso la matriz de Lorentz correspondiente es aquella dada en
(\ref{boostgen}). Usando nuevamente (\ref{Fupup}) y (\ref{FLLF}) encontramos, luego de algo de &aacute;lgebra:
\begin{equation}
\boxed{\vec{E}'=\gamma \vec{E}+\gamma \left(c\vec{\beta}\times
\vec{B}\right) -\frac{(\gamma -1)}{\beta^2}\left( \vec{\beta}\cdot
\vec{E}\right) \vec{\beta} ,} \label{TLE}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{\vec{B}'=\gamma \vec{B}-\frac{\gamma}{c} \left(\vec{\beta}\times
\vec{E}\right) -\frac{(\gamma -1)}{\beta^2}\left( \vec{\beta}\cdot
\vec{B}\right) \vec{\beta}.} \label{TLB}
\end{equation}
Estas transformaciones son \textit{distintas} de aquellas correspondientes a las componentes espaciales de un 4-vector, y presentan las mismas propiedades
discutidas en el caso del boost simple. Por ejemplo,
$\vec{\beta}\cdot\vec{E}'=\vec{\beta}\cdot\vec{E}$ y
$\vec{\beta}\cdot\vec{B}'=\vec{\beta}\cdot\vec{B}$, de modo que s&oacute;lo las
componentes perpendiculares a $\vec{\beta}$ son modificadas.

Puede verificarse que estas expresiones son consistentes con nuestro conocimiento previo de los campos generados por distribuciones de carga en movimiento.

\subsubsection{Ejemplo 1}
Considere una l&iacute;nea recta infinita con densidad lineal de carga $\lambda$ movi&eacute;ndose con velocidad $v$ a lo largo de su eje, que elegiremos como eje $x$. En este caso, la configuraci&oacute;n de cargas y corrientes es est&aacute;tica, de modo que los campos producidos son independientes del tiempo. Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell se reducen a las usuales ecuaciones de la electro- y magnetoest&aacute;tica. Esto implica que los campos est&aacute;n dados por
\begin{equation}
 \vec{E}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\frac{\hat{r}}{r}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left( \frac{y\hat{y}+z\hat{z}}{y^2+z^2}\right) , \qquad \vec{B}=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\lambda v}{r}\hat\theta=\frac{\mu_0\lambda v}{2\pi}\left( \frac{y\hat{z}-z\hat{y}}{y^2+z^2}\right) . \label{clci1}
\end{equation}
\begin{center}
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[height=3.5cm]{fig/fig-boost-campos-01.pdf}}
\caption{Una l&iacute;nea de carga movi&eacute;ndose con velocidad $v$ a lo largo de su eje.} \label{fig:bc01}
\end{figure}
\end{center}
En particular, en el SRI $K'$ com&oacute;vil con las cargas $v'=0$ y la l&iacute;nea de carga tiene una densidad lineal $\lambda'$, entonces
\begin{equation}
 \vec{E}'=\frac{\lambda'}{2\pi\varepsilon_0}\left( \frac{y'\hat{y}+z'\hat{z}}{y'^2+z'^2}\right) , \qquad \vec{B}'=\vec{0}.
\end{equation}
En el SRI com&oacute;vil $K'$ s&oacute;lo existe campo el&eacute;ctrico, que es normal a la direcci&oacute;n de la l&iacute;nea. Aplicamos ahora la transformaci&oacute;n de campos dada por (\ref{TLE}) y (\ref{TLE}). De acuerdo a esto, en el SRI donde la distribuci&oacute;n lineal de carga se mueve con velocidad $\vec{v}=v\hat{x}$, tendremos
\begin{equation}
 \vec{E}=\gamma\vec{E}'=\frac{\gamma\lambda'}{2\pi\varepsilon_0}\left( \frac{y\hat{y}+z\hat{z}}{y^2+z^2}\right) , \qquad \vec{B}= \frac{\gamma}{c^2}\vec{v}\times\vec{E}'=\frac{\gamma\lambda'}{2\pi\varepsilon_0c^2}\left( \frac{y\hat{z}-z\hat{y}}{y^2+z^2}\right). \label{clci2}
\end{equation}
Aqu&iacute; hemos usado el hecho que bajo un boost a lo largo del eje $x$, $y'=y$ y $z'=z$. Vemos que (\ref{clci2}) coincide con (\ref{clci1}) luego de identificar $\lambda=\gamma\lambda'$, que es la relaci&oacute;n esperada entre las densidades lineales de carga, debido a la contracci&oacute;n relativista de longitudes a lo largo de la direcci&oacute;n de movimiento. Note que de las expresiones anteriores podemos escribir  $\vec{B}=\vec{v}\times\vec{E}/c^2$.

\subsubsection{Ejemplo 2}
Un ejemplo complementario lo suministra el caso de un magneto que genera, en su SRI com&oacute;vil $K'$, un campo un campo magn&eacute;tico como el ilustrado en la figura. Aqu&iacute; entonces $\vec{E}'=\vec{0}$ y $\vec{B}'\neq\vec{0}$. En un SRI donde el magneto se mueve con velocidad $v$ a lo largo del eje $x$ com&uacute;n existir&aacute;, como consecuencia de la ley de Faraday, un campo el&eacute;ctrico inducido perpendicular a la direcci&oacute;n de movimiento. Las expresiones encontradas para la transformaci&oacute;n de los campos bajo un boost implican, en este caso,
\begin{equation}
 \vec{E}=-\gamma\left(\vec{v}\times\vec{B}'\right), \qquad
\vec{B}=\gamma \vec{B}'-\frac{(\gamma -1)}{v^2}\left( \vec{v}\cdot
\vec{B}'\right) \vec{v}.
\end{equation}
Verificamos, en particular, que el campo el&eacute;ctrico en este nuevo SRI es normal a la direcci&oacute;n de movimiento del magneto.

Adicionalmente, considere el caso en que se ubica una carga $q$ a una cierta distancia del magneto, con velocidad inicial nula respecto de &eacute;l. Entonces, en el SRI com&oacute;vil la carga tendr&aacute; velocidad inicial nula y la fuerza total sobre ella ser&aacute; tambi&eacute;n cero, ya que no existe campo el&eacute;ctrico en dicho SRI. En el SRI en el que el magneto se mueve con velocidad $\vec{v}$ la carga tendr&aacute; una velocidad inicial igual a la del magneto ($\vec{v}$). De esta forma, la carga $q$ ``sentir&aacute;'&uacute;n campo el&eacute;ctrico y uno magn&eacute;tico. No obstante, la fuerza total sobre ella es tambi&eacute;n nula:
\begin{eqnarray}
\vec{F}&=&q\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right) \\
&=&q\left(-\gamma\,\vec{v}\times\vec{B}'+ \vec{v}\times\left[\gamma \vec{B}'-\frac{(\gamma -1)}{v^2}\left( \vec{v}\cdot
\vec{B}'\right) \vec{v}\right]\right)\\
&=&q\left(-\gamma\, \vec{v}\times\vec{B}'+\gamma\,\vec{v}\times\vec{B}'+0\right)\\
&=&\vec{0}.
\end{eqnarray}
Verificamos en este ejemplo que la descripci&oacute;n de la interacci&oacute;n entre el magneto y la carga es diferente en los dos SRI's discutidos, en un SRI s&oacute;lo hay presente un campo magn&eacute;tico. En el otro, debido a la ley de Faraday, se induce adem&aacute;s un campo el&eacute;ctrico. Ambas descripciones, sin embargo, conciden en su predicci&oacute;n final: la carga no alterar&aacute; su estado de movimiento ya que la fuerza sobre ella es nula.


\subsubsection{Ejemplo 3: Campo generado por una carga movi&eacute;ndose con velocidad constante}\label{secEjEBvc}
Aqu&iacute; aplicaremos la ley de transformaci&oacute;n del campo electromagn&eacute;tico bajo
TL's para encontrar el campo producido por una carga movi&eacute;ndose con velocidad constante respecto a un SRI $K$. Para ello, encontraremos primero los campos en el SRI $K'$ que es com&oacute;vil con la carga y luego transformaremos estos campos al SRI $K$ usando la TL apropiada.

Elegimos los ejes de modo que la carga se mueva a lo largo del eje $x$ ($x'$ respecto a $K'$). En el SRI $K'$, un evento $P$, donde queremos determinar el campo electromagn&eacute;tico, tiene coordenadas $x'^\mu(P)=(ct',\vec{x}')$. Bajo estas condiciones, el campo electromagn&eacute;tico, que en $K'$ corresponde simplemente a un campo el&eacute;ctrost&aacute;tico coulombiano, adopta la forma:
\begin{equation}
\vec{E}'(P)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{x}'}{r'^3}, \qquad \vec{B}' =\vec{0}. \label{EBp}
\end{equation}
Aplicando la ley de transformaci&oacute;n (\ref{TLE}) y (\ref{TLB}) (en realidad, la
\textit{inversa} de estas transformaciones, que equivalen a reemplazar
$\vec{\beta}$ por $-\vec{\beta}$) obtenemos que en $K$
\begin{equation}
\vec{E}=\gamma \vec{E}'-\frac{(\gamma -1)}{\beta^2}\left( \vec{\beta}\cdot
\vec{E}'\right) \vec{\beta} , \qquad
\vec{B}=\frac{\gamma}{c} \left(\vec{\beta}\times\vec{E}'\right).
\end{equation}
Usando (\ref{EBp}) podemos escribir los campos en funci&oacute;n de las coordenadas
$\vec{x}'$:
\begin{equation}
\vec{E}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma \vec{x}'-\frac{(\gamma -1)}{\beta^2}(\vec{\beta}\cdot
\vec{x}')\vec{\beta}}{r'^3}  , \qquad
\vec{B}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 c}\gamma \left(\vec{\beta}\times\frac{\vec{x}'}{r'^3}\right),
\end{equation}
Finalmente, usando la expresi&oacute;n de $\vec{x}'$ en funci&oacute;n de $\vec{x}$ y $t$
correspondiente, es decir, aquella dada en (\ref{bg1}), llegamos a
\begin{align}
\vec{E}(x) &= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma\left( \vec{x}-\vec{\beta}ct\right)}
{\left[\vec{x}^2+\gamma^2\left(\vec{\beta}\cdot\vec{x}-ct\right)^2-c^2t^2\right]^{3/2}} , \\
\vec{B}(x) &= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0c}\frac{\gamma\left( \vec{\beta}\times\vec{x}\right) }
{\left[\vec{x}^2+\gamma^2\left(\vec{\beta}\cdot\vec{x}-ct\right)^2-c^2t^2\right]^{3/2}}.
\end{align}
Aqu&iacute; hemos usado $\gamma \vec{x}'-(\gamma -1)(\vec{\beta}\cdot\vec{x}')\vec{\beta}/\beta^2=\gamma\left( \vec{x}-\vec{\beta}ct\right) $ y
$r'^2=\vec{x}'^2=\vec{x}^2+\gamma^2\left(\vec{\beta}\cdot\vec{x}-ct\right)^2-c^2t^2$, que se deducen directamente de (\ref{bg1}).

Si adem&aacute;s consideramos $\vec{\beta}=({v}/{c},0,0)$, donde $v$ es
la rapidez de la part&iacute;cula, entonces
\begin{eqnarray}
\vec{E}(x)&=&\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma (\vec{x}-\vec{x}t)}{\left[\gamma^2 (x-vt)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}} ,
\label{Evx}\\
\vec{B}(x)&=&\frac{q}{4\pi\varepsilon_0c^2}\frac{\gamma v \left(z\hat{y}-y\hat{z}\right)}{\left[\gamma^2 (x-vt)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}}, \label{Bvx}
\end{eqnarray}
ya que $ x^2+\gamma^2(\beta x)^2=\gamma^2x^2$.

Este resultado coincide con aquel en el cap&iacute;tulo \ref{caprad}, obtenido resolviendo directamente las ecuaciones de Maxwell para una part&iacute;cula en movimiento rectil&iacute;neo, ver \eqref{EBqvconst}.

%
% Las superficies de igual intensidad de campo no son esferas, sino elipsoides
% de revoluci&oacute;n en funci&oacute;n de $\theta$, ya que:
% \begin{equation}
% \left(  b^2+\gamma^2v^2t^2\right)  ^{3/2}=\left(
% r^2\operatorname{sen}^2\theta+\gamma^2r^2\cos^2\theta\right)^{3/2},
% \end{equation}
% y adem&aacute;s
% \begin{align}
% r^2\operatorname{sen}^2\theta+\gamma^2r^2\cos^2\theta &
% =r^2\left(  \operatorname{sen}^2\theta+\gamma^2\cos^2\theta\right) \\
% & =r^2\left(  \operatorname{sen}^2\theta+\gamma^2\left(
% 1-\operatorname{sen}^2\theta\right)  \right) \\
% & =r^2\left(  \operatorname{sen}^2\theta+\gamma^2-\gamma^2%
% \operatorname{sen}^2\theta\right) \\
% & =r^2\left(  \gamma^2+\left(  1-\gamma^2\right)  \operatorname{sen}%
%^2\theta\right) \\
% & =r^2\left(  \gamma^2-\gamma^2\beta^2\operatorname{sen}^2%
% \theta\right) \\
% & =r^2\gamma^2\left(  1-\beta^2\operatorname{sen}^2\theta\right) ,
% \end{align}
% de modo que
% \begin{equation}
% \left(  b^2+\gamma^2v^2t^2\right)  ^{3/2}=r^3\gamma^3\left(
% 1-\beta^2\operatorname{sen}^2\theta\right)  ^{3/2} .
% \end{equation}
% Reemplazando esto, obtenemos
% \begin{align}
% E_1  & =-\frac{q\gamma r\cos\theta}{r^3\gamma^3\left(  1-\beta
%^2\operatorname{sen}^2\theta\right)  ^{3/2}}=-\frac{qr\cos\theta}%
% {r^3\gamma^2\left(  1-\beta^2\operatorname{sen}^2\theta\right)
% ^{3/2}} ,\\
% E_2  & =\frac{q\gamma r\operatorname{sen}\theta}{r^3\gamma^3\left(
% 1-\beta^2\operatorname{sen}^2\theta\right)  ^{3/2}}=\frac
% {qr\operatorname{sen}\theta}{r^3\gamma^2\left(  1-\beta^2%
% \operatorname{sen}^2\theta\right)  ^{3/2}}.
% \end{align}
% Ahora bien, el vector que conecta la carga y el punto $P$ tiene componentes
% \begin{equation}
% r^1   =-r\cos\theta, \qquad r^2   =r\operatorname{sen}\theta
% \end{equation}
% y, por lo tanto,
% \begin{equation}
% E^i=\frac{qr^i}{r^3\gamma^2\left(  1-\beta^2\operatorname{sen}%
%^2\theta\right)  ^{3/2}}.
% \end{equation}
% Note que aunque el campo es radial, no es is&oacute;tropico. A lo largo
% de la direcci&oacute;n de movimiento, cuando $\theta=0$ &oacute; $\pi$, el campo es
% menor que cuando es $\pi/2$ &oacute; $-\pi/2$.


\subsection{Invariantes electromagn&eacute;ticos}

Si bien hemos visto que bajo un cambio de SRI (las componentes de) los campos
el&eacute;ctrico y magn&eacute;tico cambian su valor, existen ciertas combinaciones de ellos que permanecen inalterados, es decir, con el mismo valor, bajo una TL. Estas cantidades escalares \textit{pueden ser construidas a partir del tensor electromagn&eacute;tico} y los otros tensores disponibles, que en nuestro caso son la m&eacute;trica $\eta$ y el s&iacute;mbolo de Levi-Civita (o, equivalentemente, el tensor dual $\cal F$).

Considere entonces los siguientes escalares\footnote{En rigor $I_2$, tal como lo definimos aqu&iacute; es un \textit{pseudoescalar}. En este curso no haremos
distinci&oacute;n entre escalares y pseudoescalares.}:
\begin{align}
I_1 & :=\frac{1}{2}\eta^{\mu\lambda}\eta^{\nu\rho}F_{\mu\nu}F_{\lambda\rho}=\frac{1}{2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\\
I_2 & :=\frac{1}{4}\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}F_{\mu\nu}F_{\lambda\rho}
= \frac{1}{2}F_{\mu\nu}{\cal F}^{\mu\nu}.
\end{align}
Usando (\ref{Fdndn}), (\ref{Fupup}) y (\ref{Fdualupup}) podemos reescribir los invariantes $I_1$ y $I_2$ en funci&oacute;n de $\vec{E}$ y $\vec{B}$:
\begin{equation}
I_1=\vec{B}^2-\frac{1}{c^2}\vec{E}^2, \qquad I_2  =-\frac{2}{c}\vec{E}\cdot\vec{B}.
\end{equation}

El hecho que $I_1$ e $I_2$ permanezcan invariantes bajo TL's puede usarse para
obtener diversos resultados, tales como:
\begin{itemize}
\item Si en un SRI $\vec{E}^2<c^2\vec{B}^2$, entonces \textit{no es posible
encontrar un SRI en el que} $\vec{B}=\vec{0}$.
\item Si en un SRI $c^2\vec{B}^2<\vec{E}^2$, entonces \textit{no es posible
encontrar un SRI en el que} $\vec{E}=\vec{0}$.
\item Si en un SRI $\vec{E}$ es perpendicular a $\vec{B}$, entonces $\vec{E}$
ser&aacute; perpendicular a $\vec{B}$ \textit{en todo SRI}.
\item Si en un SRI $\vec{E}\cdot\vec{B}\neq 0$, entonces \textit{no es posible encontrar un SRI en el que} $\vec{E}=\vec{0}$ o $\vec{B}=\vec{0}$.
\end{itemize}
Note que las afirmaciones anteriores son v&aacute;lidas para los valores de $\vec{E}$
y $\vec{B}$ \textit{en un evento} dado. En general, si ninguno de los criterios anteriores lo impide, es posible encontrar un SRI que cumpla con alg&uacute;na condici&oacute;n requerida. Por ejemplo, si en un SRI $\vec{E}^2<c^2\vec{B}^2$ y $\vec{E}\cdot\vec{B}=0$, entonces es posible encontrar un SRI en el que $\vec{E}=\vec{0}$.


\section{Potenciales y transformaciones de gauge}

El potencial escalar $\phi$ y el potencial vectorial $\vec{A}$ (en cojunto ``los potenciales electromagn&eacute;ticos'') son campos definidos de forma tal que los campos el&eacute;ctrico y magn&eacute;tico satisfagan autom&aacute;ticamente las ecuaciones de Maxwell homog&eacute;neas: 
\begin{equation}\label{defphi}
\vec{E} =  - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec{\nabla}\phi ,
\end{equation}
\begin{equation}\label{BrotA}
\vec{B}=\vec{\nabla}\times \vec{A}.
\end{equation}
Los potenciales no son funciones definidas un&iacute;vocamente dada una configuraci&oacute;n de campo electromag&eacute;tico. Esto se manifiesta en la invariancia de los campos $\vec{E}$ y $\vec{B}$ bajo una transformaci&oacute;n de gauge:
\begin{equation}
\phi' =\phi +\frac{\partial \chi}{\partial t}, \qquad
{\vec{A}}' = \vec{A} - \vec{\nabla}{\chi},
\end{equation}
donde $\chi=\chi(\vec{x},t)$ es una funci&oacute;n \textit{arbitraria} del espaciotiempo

En la formulaci&oacute;n relativista, los potenciales electromagn&eacute;ticos son componentes de un  \textit{4-potencial electromagn&eacute;tico} (o, simplemente 4-potencial), definido por
\begin{equation}
A^\mu =(\phi/c,\vec{A}), \qquad A_\mu =(\phi/c,-\vec{A}). \label{identA}
\end{equation}
En t&eacute;rminos de este 4-potencial, las expresiones (\ref{defphi}) y (\ref{BrotA}) se condensan en
\begin{equation}
\boxed{F_{\mu \nu}=\partial_\mu A_{\nu}-\partial_{\nu}A_\mu.} \label{fda}
\end{equation}

Ya que $F_{\mu\nu}$ es un tensor tipo $(0,2)$, para que la relaci&oacute;n (\ref{fda})
se v&aacute;lida en todo SRI es necesario que $A_\mu$ constituya un vector
\textit{covariante} bajo TL's.

Una transformaci&oacute;n de gauge adopta entonces la forma
\begin{equation}
\boxed{A_\mu' = A_\mu  + \partial_\mu  \chi .}
\end{equation}
Bajo esta transformaci&oacute;n, el tensor electromagn&eacute;tico $F_{\mu \nu}$ permanece
invariante. En efecto,
\begin{eqnarray}
F_{\mu\nu}'&=&\partial_\mu A_{\nu}'-\partial_{\nu}A_\mu '  \\
&=&\partial_\mu (A_{\nu}+\partial_{\nu}
\chi)-\partial_{\nu}(A_\mu +\partial_\mu  \chi)\\
&=&\partial_\mu A_{\nu}-\partial_{\nu}A_\mu  \\
&=&F_{\mu \nu}.
\end{eqnarray}

\subsection{Gauge de Lorenz}
Es directo escribir la condici&oacute;n de Lorenz en forma covariante. Usando
(\ref{identA}) obtenemos que
\begin{equation}
\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0,
\end{equation}
es equivalente a
\begin{equation}
\partial_\mu A^\mu=0. \label{gLA}
\end{equation}
Ya que el 4-potencial es un vector bajo TL's, vemos que la condici&oacute;n que define el gauge de Lorenz es una ecuaci&oacute;n covariante (en particular, es una \textit{ecuaci&oacute;n escalar}). Esto asegura que si el gauge de Lorenz se satisface en un SRI $K$ con los potenciales $\phi$ y $\vec{A}$ correspondientes, entonces ser&aacute; tambi&eacute;n satisfecho en todo SRI $K'$, con los potenciales $\phi'$ y $\vec{A}'$ transformados. Esta propiedad hace que el gauge de Lorenz sea ampliamente usado en el contexto de la teor&iacute;a de relatividad especial, puesto que permite trabajar con los potenciales electromagn&eacute;ticos, simplificar muchas ecuaciones al imponer el gauge de Lorenz, pero de forma tal que los resultados sean v&aacute;lidos en cualquier SRI. Esta &uacute;til propiedad no es v&aacute;lida, por ejemplo, usando el gauge de Coulomb.

Si el 4-potencial satisface el gauge de Lorenz, la ecuaci&oacute;n diferencial que &eacute;ste debe satisfacer se reduce a la \textit{ecuaci&oacute;n de onda inhomogenea}
\begin{equation}
\boxed{\square A^\mu=\mu_0 J^\mu .} \label{caj}
\end{equation}

En efecto, escribiendo las ecuaciones de Maxwell inhomogeneas (\ref{emihF}) en t&eacute;rminos del 4-potencial, encontramos que
\begin{align}
\mu_0 J^\nu &=\partial_\mu F^{\mu\nu}  \\
&=\partial_\mu \left(  \partial^\mu A^\nu -\partial^\nu A^\mu \right)  \\
&= \partial_\mu \partial^\mu A^\nu -\partial_\mu \partial^\nu A^\mu   \\
&= \square A^\nu -\partial^\nu (\partial_\mu A^\mu)   ,
\end{align}
que se reduce a (\ref{caj}) cuando $A_\mu$ satisface (\ref{gLA}).

\section{Forma covariante de la Fuerza de Lorentz}
Sabemos que en mec&aacute;nica no-relativista la fuerza de Lorentz, que describe c&oacute;mo el campo electromagn&eacute;tico act&uacute;a sobre cargas de prueba, es de la forma
\begin{equation}
\frac{d\vec{p}}{dt}=q\left(  \vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right).
\label{dpdt}
\end{equation}
Sabemos que en RE el mom&eacute;ntum est&aacute; contenido en el 4-mom&eacute;ntum, junto con la
energ&iacute;a de la part&iacute;cula. Por tanto, la ecuaci&oacute;n anterior debe ser
complementada con la ecuaci&oacute;n que expresa la variaci&oacute;n de la energ&iacute;a de la
part&iacute;cula en funci&oacute;n del tiempo. Es conocido en mec&aacute;nica no-relativista que
la potencia (trabajo por unidad de tiempo) realizada por el campo
electromagn&eacute;tico sobre una carga es $q\,\vec{v}\cdot\vec{E}$, de modo que
\begin{equation}
\frac{dE}{dt}=q\,\vec{v}\cdot\vec{E}. \label{dEdt}
\end{equation}
Tomando en cuenta que energ&iacute;a y mom&eacute;ntum forman el vector de 4-mom&eacute;ntum $p^\mu=({E}/{c},\vec{p})$ en RE, vemos que los lados
izquierdos de (\ref{dpdt}) y (\ref{dEdt}) corresponden a las componentes de
${dp^\mu}/{dt}$, mientras que los lados derechos son \textit{lineales en los campos y en la velocidad} (excepto $q\vec{E}$).

Consideremos entonces una expresi&oacute;n tensorial, lineal en el tensor
electromagn&eacute;tico y en la 4-velocidad, a saber: $F^\mu{}_{\nu}u^\nu$. Las
componentes temporales y espaciales de este 4-vector son
\begin{eqnarray}
F^0{}_{\nu}u^\nu &=&F^0{}_{i}u^i=\frac{\gamma}{c}\vec{E}\cdot\vec{v} ,\\
F^i{}_{\nu}u^\nu &=&F^i{}_{0}u^0+F^i{}_{j}u^j=\gamma \left(
E^i+\epsilon^{ijk}B^j v^k\right) .
\end{eqnarray}
Con esto, podemos escribir  (\ref{dpdt}) y (\ref{dEdt}), sin modificaci&oacute;n
alguna, como
\begin{equation}
\frac{dp^\mu }{dt}=\frac{q}{\gamma}F^\mu _{\ \ \nu}u^\nu ,
\end{equation}
o, en \textit{t&eacute;rminos del tiempo propio de la part&iacute;cula} ($dt=\gamma d\tau$),
finalmente como
\begin{equation}
\boxed{\frac{dp^\mu }{d\tau}=qF^\mu _{\ \ \nu}u^\nu .} \label{LorRel}
\end{equation}
En resumen, es posible escribir la ecuaci&oacute;n de fuerza de Lorentz en forma
covariante (lo que asegura su validez en todo SRI), \textit{sin necesidad de
modificarla expl&iacute;citamente}. Note, sin embargo que, debido a que la energ&iacute;a y el mom&eacute;ntum relativista tienen expresiones distintas a aquellas usadas en mec&aacute;nica no-relativista (y por tanto, asumen valores distintos para la mismas masas y velocidades), las \textit{trayectorias} \textit{predichas}\footnote{o `modeladas', o `descritas' \dots} \textit{por (\ref{LorRel}) ser&aacute;n distintas} a aquellas determinadas en la mec&aacute;nica no-relativista (para una carga y campos dados).

\subsection{Ejemplo}
Considere el caso de una part&iacute;cula de carga $q$ en una regi&oacute;n del espacio(tiempo) donde s&oacute;lo existe un campo el&eacute;ctrico uniforme. Orientaremos los ejes espaciales de modo que el campo el&eacute;ctrico s&oacute;lo tenga componente a lo largo del eje $x$ positivo, es decir, $\vec{E}=(E,0,0)$ y adem&aacute;s $\vec{B}=\vec{0}$. Con esto, el movimiento de la part&iacute;cula ser&aacute; unidimensional. Asumiremos adem&aacute;s las condiciones iniciales $\vec{x}(0)=\vec{0}$ y $\vec{v}(0)=\vec{0}$, y nos proponemos
encontrar la trayectoria que describe esta part&iacute;cula de acuerdo a las
ecuaciones de movimiento no-relativistas y relativistas.

\subsubsection{Modelo no-relativista:}

En este caso, la ecuaci&oacute;n de movimiento que determina la trayectoria de la
part&iacute;cula es
\begin{equation}
m\frac{d^2x}{dt^2}=qE,
\end{equation}
cuya soluci&oacute;n es
\begin{equation}
x(t)=\frac{qE}{2m}t^2, \qquad v(t)=\frac{qE}{m}t.
\end{equation}
Esta soluci&oacute;n, tal como se espera en el contexto de la mec&aacute;nica
no-relativista, permite en principio que la velocidad de la part&iacute;cula aumente
indefinidamente.

\subsubsection{Modelo relativista:}

De acuerdo a (\ref{LorRel}), y recordando la definici&oacute;n del 4-mom&eacute;ntum (\ref{def4mom}), tenemos que en este caso las ecuaciones de movimiento relativistas adoptan la forma
\begin{eqnarray}
\frac{du^0}{d\tau}&=& \frac{qE}{mc} u^1, \label{mre1} \\
\frac{du^1}{d\tau}&=&\frac{qE}{mc} u^0.\label{mre2}
\end{eqnarray}
Derivando (\ref{mre1}) y reeemplazando en (\ref{mre1}) obtenemos
\begin{equation}
 \frac{d^2u^0}{d\tau^2}=\left( \frac{qE}{mc}\right)^2 u^0,
\end{equation}
cuya soluci&oacute;n es de la forma
\begin{equation}
u^0(\tau)=A\sinh\left( \frac{qE}{mc}\tau\right)+B\cosh\left(
\frac{qE}{mc}\tau\right). \label{mrsu0}
\end{equation}
Reemplazando esta soluci&oacute;n en (\ref{mre1}) encontramos adem&aacute;s que
\begin{equation}
u^1(\tau)=A\cosh\left( \frac{qE}{mc}\tau\right)+B\sinh\left(
\frac{qE}{mc}\tau\right). \label{mrsu1}
\end{equation}
Integrando (\ref{mrsu0}) y (\ref{mrsu1}) encontramos la soluci&oacute;n para las coordenadas en t&eacute;rminos del tiempo propio,
\begin{eqnarray}
x^0(\tau)&=&\left(\frac{mc}{qE}\right)\left[A\cosh\left( \frac{qE}{mc}\tau\right)+B\sinh\left(
\frac{qE}{mc}\tau\right)+\alpha\right] ,\\
x^1(\tau)&=&\left(\frac{mc}{qE}\right)\left[A\sinh\left( \frac{qE}{mc}\tau\right)+B\cosh\left(
\frac{qE}{mc}\tau\right)+\alpha'\right] .
\end{eqnarray}
Debemos a&uacute;n determinar las constantes $A$, $B$, $\alpha$ y $\alpha'$. Para esto, imponemos las condiciones iniciales $x^0(0)=0$, $x^1(0)=0$ y $\vec{v}_0=\vec{0}$, que en nuestro caso es equivalente a $u^1(0)=0$. Estas condiciones requieren que $\alpha=-A$ y $\alpha'=-B$ y adem&aacute;s $A=0$. Con esto, la soluci&oacute;n se reduce a
\begin{eqnarray}
x^0(\tau)&=&\left(\frac{mc}{qE}\right)B\sinh\left(\frac{qE}{mc}\tau\right) ,\\
x^1(\tau)&=&\left(\frac{mc}{qE}\right)B\left[\cosh\left(
\frac{qE}{mc}\tau\right)-1\right] .
\end{eqnarray}
Podemos determinar la constante $B$ de la condici&oacute;n $u^\mu
u_\mu=(u^0)^2-(u^1)^2=c^2$. As&iacute; obtenemos $B=c$, de modo que la
soluci&oacute;n de las ecuaciones de movimiento relativistas para nuestro ejemplo es:
\begin{eqnarray}
ct(\tau)&=&\frac{mc^2}{qE}\sinh\left( \frac{qE}{mc}\tau\right), \label{cttau}\\
x(\tau)&=&\frac{mc^2}{qE}\left[ \cosh\left( \frac{qE}{mc}\tau\right)-1\right] .
\end{eqnarray}

Finalmente, podemos expresar la posici&oacute;n $x$ en funci&oacute;n del tiempo $t$,
despejando $\tau$ en funci&oacute;n de $t$ de (\ref{cttau}). As&iacute; obtenemos:
\begin{equation}
x(t) = \frac{mc^2}{qE} \left[ \sqrt{1 + \frac{q^2 E^2 t^2}{m^2c^2}} - 1 \right].
\label{xtsol}
\end{equation}
La correspondiente velocidad es entonces
\begin{equation}
v(t) = \frac{qE}{m}\frac{t}{\sqrt{1 + \frac{q^2 E^2 t^2}{m^2c^2}}}.
\end{equation}
Verificamos que para tiempos ``peque&ntilde;os'', $t\ll {mc}/{qE}$, la soluci&oacute;n se
reduce a aquella encontrada en el contexto no-relativista. Sin embargo, la
soluci&oacute;n (\ref{xtsol}) difiere de la no-relativista para tiempos grandes
comparados con ${mc}/{qE}$, en los que la carga alcanza velocidades
relativistas ($v={c}/{\sqrt{2}}\approx 0,7c$ para $t={mc}/{qE}$). Como esperamos, la soluci&oacute;n relativista asegura que la velocidad de la part&iacute;cula es siempre subluminal.

\begin{center}
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[height=7cm]{fig/fig-trayectoria-1D-rel-norel.pdf}}
\caption{Comparaci&oacute;n entre velocidades seg&uacute;n ecuaci&oacute;n de Lorentz relativista y no-relativista.}
\label{fig:relnorel}
\end{figure}
\end{center}


\subsubsection{F&oacute;rmula de Larmor relativista*}


Consideraremos nuevamente la expresi&oacute;n para la potencia radiada por una carga acelerada, pero ahora en el caso en que su velocidad no es despreciable comparada con la velocidad de la luz. El m&eacute;todo directo para calcular la
potencia total radiada es rehacer el c&aacute;lculo de la secci&oacute;n \ref{sec:Larmor-norel}, pero usando el campo $\vec{E}_{(2)}$ general dado en (\ref{Egen}). Una forma alternativa es generalizar el resultado no-relativista teniendo en cuenta que \textit{la potencia es un escalar bajo TL's}. Esta propiedad de $P$ puede ser inferida considerando que la energ&iacute;a irradiada en un intervalo de tiempo $dt$ es $dE=P(t)dt$, y el hecho que tanto la energ&iacute;a ($dE$) y el tiempo ($dt$) transforman bajo TL's como las componentes temporales de un 4-vector (4-mom&eacute;ntum y 4-posici&oacute;n, respectivamente). Usando ahora el hecho que $P$ es un invariante bajo TL's, podemos buscar una generalizaci&oacute;n de \eqref{R-larmor} que incluya la 4-aceleraci&oacute;n $\mathsf{a}^\mu$ en lugar de la aceleraci&oacute;n $\vec{a}$, que se reduzca en el l&iacute;mite no-relativista a \eqref{R-larmor} y que sea un escalar. La expresi&oacute;n apropiada que cumple estos requisitos es:
\begin{equation}
\boxed{P=-\frac{q^2\mu}{6\pi c}\,\mathsf{a}^\mu\mathsf{a}_\mu.}\label{R-larmor-rel}
\end{equation}
Usando (\ref{4a2}) podemos escribir la potencia en el caso
relativista en t&eacute;rminos de la velocidad y aceleraci&oacute;n de la carga:
\begin{equation}
\boxed{P=\frac{q^2\mu}{6\pi c}\,\gamma^6\left[ \vec{a}^2-\left(\vec{\beta}\times\vec{a}\right)^2\right] .}\label{R-larmor2}
\end{equation}
Note que, tanto en el caso relativista como no-relativista, si las cargas son
aceleradas por una misma fuerza (por ejemplo por un campo el&eacute;ctrico externo)
entonces las cargas de menor masa irradiar&aacute;n m&aacute;s energ&iacute;a que las m&aacute;s
masivas, ya que su aceleraci&oacute;n ser&aacute; mayor. Por ejemplo, en un plasma con
electrones y protones acelerados por un campo el&eacute;ctrico externo, la potencia
radiada por los electrones ser&aacute; aproximadamente $(1836)^2\approx 3\times
10^{6}$ veces mayor que aquella radiada por los protones, ya que $m_p\approx
1836\,m_e$.

En general, podemos escribir
\begin{equation}
\mathsf{a}^\mu\mathsf{a}_\mu=\frac{1}{m^2}\frac{dp^\mu}{d\tau}\frac{dp_\mu}{
d\tau}=\frac{1}{m^2c^2}\left( \frac{dE}{d\tau}\right)^2-\frac{1}{m^2}\left(
\frac{d\vec{p}}{d\tau}\right)^2.
\end{equation}
Por otro lado, derivando la relaci&oacute;n $E^2=\vec{p}^2c^2+m^2c^4$, obtenemos
\begin{equation}
\frac{dE}{d\tau}=c^2\frac{p}{E}\frac{dp}{d\tau}=v\frac{dp}{d\tau},
\label{dEdtau}
\end{equation}
donde $p$ es el m&oacute;dulo del mom&eacute;ntum $\vec{p}$. Usando (\ref{dEdtau}) podemos
reescribir (\ref{R-larmor-rel}) como
\begin{equation}
P=-\frac{q^2\mu}{6\pi m^2c}\left[ \beta^2\left(
\frac{dp}{d\tau}\right)^2-\left( \frac{d\vec{p}}{d\tau}\right)^2\right] .
\label{4a2-2}
\end{equation}

\subsubsection{Ejemplo: Aceleradores lineales}
Consideramos ahora el caso particular de un movimiento unidimensional. En este
caso $\vec{p}=p\hat{p}$ donde $\hat{p}$ es constante, de modo que
${d\vec{p}}/{d\tau}=({dp}/{d\tau})\hat{p}$ y entonces
\begin{eqnarray}
\beta^2\left(\frac{dp}{d\tau}\right)^2-\left( \frac{dp}{d\tau}\right)^2
&=&\left( \beta^2-1\right) \left(  \frac{dp}{d\tau}\right)^2\\
&=&-\frac{1}{\gamma^2} \left(  \frac{dp}{d\tau}\right)^2\\
&=&-\left(\frac{dp}{dt}\right)^2.
\end{eqnarray}
Aqu&iacute; usamos el hecho que $dt=\gamma d\tau$. Con esto podemos escribir la f&oacute;rmula de Larmor relativista (\ref{4a2-2}) para el caso de movimiento unidimensional como:
\begin{equation}
\boxed{P_{1d}=\frac{q^2\mu}{6\pi m^2c}\left(  \frac{dp}{dt}\right)^2.}
\end{equation}
Alternativamente, introduciendo la \textit{tasa de cambio de la energ&iacute;a de la
carga por unidad de longitud recorrida}
\begin{equation}
 \frac{dE}{dl}=\frac{\frac{dE}{dt}}{\frac{dl}{dt}}=\frac{1}{v}\frac{dE}{dt}
= \frac{dp}{dt},
\end{equation}
encontramos
\begin{equation}
\boxed{P_{1d}=\frac{q^2\mu}{6\pi m^2c}\left(  \frac{dE}{dl}\right)^2.}
\end{equation}
Se acostumbra definir la fracci&oacute;n de potencia radiada respecto a la energ&iacute;a
suministrada a la part&iacute;cula por unidad de tiempo:
\begin{equation}
\eta:=\frac{\left( \text{Potencia radiada}\right) }{\text{(Potencia entregada a la carga)}}=\frac{P}{\frac{dE}{dt}}.
\end{equation}
Usando los resultados anteriores encontramos que
\begin{equation}
\eta=\frac{q^2\mu}{6\pi m^2c}\frac{1}{v}\frac{dE}{dl}.
\end{equation}
En el caso ultra-relativista $v\approx c$ (como en los aceleradores de
part&iacute;culas), tenemos que
\begin{equation}
\eta\approx\frac{q^2\mu}{6\pi m^2c^2}\frac{dE}{dl}.
\end{equation}
En el caso de los aceleradores lineales se est&aacute; interesado en minimizar las
``p&eacute;rdidas'' de energ&iacute;a por radiaci&oacute;n, es decir, se requiere que $\eta\ll 1$.
Esto ocurre si las cargas son aceleradas ``lentamente'' de modo que
\begin{equation}
\frac{dE}{dl}\ll \frac{6\pi m^2c^2}{q^2\mu}.
\end{equation}
Para electrones encontramos que ${6\pi m^2c^2}/{q^2\mu}\approx 2\times 10^4\, 
[MeV/m]$. Esta condici&oacute;n es satisfecha, por ejemplo, en un acelerador lineal como
el SLAC\footnote{\url{http://www.slac.stanford.edu}.}, donde se consigue
${dE}/{dl}\approx 50\, [MeV/m]$.

\section{Formalismo Lagrangeano*}
\subsection{La acci&oacute;n para una part&iacute;cula.}
Nos basaremos en el \emph{principio de m&iacute;nima acci&oacute;n}, o
principio de Hamilton. El principio de m&iacute;nima acci&oacute;n
establece que un sistema mec&aacute;nico es tal que al ir desde una
configuraci&oacute;n en el instante $t_1$ hasta otra configuraci&oacute;n en el instante
$t_2$, la \textit{acci&oacute;n} $S$,
\begin{equation}
S=\int L\left[  q^i(t),\dot{q}^i(t)  ,t\right]  dt, \label{Sdt}
\end{equation}
\textit{adopta un valor extremo}.

La acci&oacute;n tiene unidades $\left[  S\right]  = \text{[Energ&iacute;a][Tiempo]=[Mom&eacute;ntum][Distancia]}=[\hbar]=ML^2T^{-1}$.

Al considerarse variaciones peque&ntilde;as de las coordenadas y
velocidades, la condici&oacute;n de extremo de $S$, $\delta S=0$, implica las
ecuaciones de movimiento de \textit{Euler-Lagrange}:
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left(  \frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\right)
-\frac{\partial L}{\partial q^i}=0.\label{L-euler}
\end{equation}

Requerimos que $S$ sea un escalar bajo TL's. Esto asegura que las ecuaciones de
movimiento ser&aacute;n covariantes bajo TL's, respetando as&iacute; el principio de
relatividad. Usando $dt=\gamma d\tau$, encontramos que $S$ ser&aacute; escalar si
$L':=L\gamma$ es escalar, de modo que
\begin{equation}
S=\int L' d\tau.
\end{equation}
Por lo tanto, necesitamos encontrar un escalar $L'=L'(x^\mu,u^\mu)$. Esperamos
adem&aacute;s que $L'$ no dependa expl&iacute;citamente de las coordenadas $x^\mu$,
respetando as&iacute; la invariancia bajo translaciones asumida en RE. El escalar $m u^\mu u_\mu$  es an&aacute;logo a $m\vec{v}^2$  que, salvo factores
num&eacute;ricos, es el lagrangeano no-relativista de una part&iacute;cula libre de masa $m$. Sin embargo, en RE $m u^\mu u_\mu\equiv mc^2$, es decir, una constante. Esto podr&iacute;a sugerir considerar $L'$ proporcional a la constante $mc^2$. Definamos entonces,
\begin{equation}
L'=\alpha mc^2,
\end{equation}
donde hemos introducido la constante adimensional $\alpha$, y veamos si la acci&oacute;n resultante conduce a las ecuaciones de movimiento correctas para una part&iacute;cula libre.

En este caso, tenemos
\begin{equation}
S=\alpha mc^2\int  d\tau=\alpha mc^2\int \frac{1}{\gamma}dt=\alpha mc^2\int
\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,dt=\int L dt, \label{lagrellibre0}
\end{equation}
con $L=\alpha mc^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$.
Para velocidades no-relativistas $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=1-\frac{v^2}{2c^2}+O(\frac{v^4}{c^4})$  de modo que
\begin{equation}
L=\alpha mc^2-\frac{\alpha}{2}mv^2+O(\frac{v^4}{c^4}). \label{cL1}
\end{equation}
El primer t&eacute;rmino en el lado derecho de (\ref{cL1}) es irrelevante para nuestros fines puesto que no aporta a las ecuaciones de movimiento (es una derivada total). El segundo t&eacute;rmino ser&aacute; igual al lagrangiano no-relativista de una part&iacute;cula libre si elegimos $\alpha=-1$. Con esta elecci&oacute;n aseguramos que en el l&iacute;mite no-relativista las ecuaciones de movimiento ser&aacute;n las apropiadas. Para velocidades arbitrarias, nuestro candidato a Lagrangiano para una part&iacute;cula relativista es
\begin{equation}
L=-mc^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},\label{lagrellibre}
\end{equation}
y la acci&oacute;n correspondiente,
\begin{equation}
\boxed{S=- mc^2\int  d\tau=\int L\, dt.}
\end{equation}

Considerando las variables de configuraci&oacute;n como $q^i=x^i(t)$, el lagrangiano (\ref{lagrellibre}) s&oacute;lo depende de las velocidades $\dot{q}^i=\dot{x}^i(t)$, por lo que los momenta can&oacute;nicos\footnote{El primero en introducir este mom&eacute;ntum relativista fue Max Planck en 1906, usando el formalismo hamiltoniano, ver \cite{Planck06}.}
\begin{equation}
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i}=\frac{mv^i}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=p^i,
\end{equation}
son conservados. En efecto, las ecuaciones de movimiento son en este caso
\begin{equation}
\frac{d\ }{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i}-\frac{\partial L}{\partial x^i}=\frac{d p^i}{dt} =0,
\end{equation}
que es la ecuaci&oacute;n de movimiento correcta para una part&iacute;cula relativista
libre.

\subsubsection{Derivaci&oacute;n covariante*}

Podemos adem&aacute;s encontrar la ecuaci&oacute;n de movimiento en una forma expl&iacute;citamente
covariante bajo TL's. Para esto introducimos un par&aacute;metro admisible $\lambda$
sobre la trayectoria de la part&iacute;cula, y consideraremos como variables de
configuraci&oacute;n a $x^\mu(\lambda)$. En este caso, podemos escribir $S$ como
\begin{equation}
S=-mc^2\int  d\tau=-mc\int  ds=-mc\int  \frac{ds}{d\lambda}d\lambda=-mc\int
\sqrt{\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}}\,
d\lambda=:\int  \tilde{L}\,d\lambda,
\end{equation}
con
\begin{equation}
\tilde{L}:=-mc\sqrt{\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}}
. \label{Ltilde}
\end{equation}
De esta forma, describimos el sistema por un principio variacional an&aacute;logo a
(\ref{Sdt}), donde $\tilde{L}$ reemplaza a $L$ y $\lambda$ a $t$. Debido a esto,
las ecuaciones de Euler-Lagrange en este caso son de la forma
\begin{equation}
\frac{d}{d\lambda}\left(  \frac{\partial
\tilde{L}}{\partial\left(\frac{dx^\mu}{d\lambda}\right) }\right)-\frac{\partial
\tilde{L}}{\partial x^\mu}=0.
\end{equation}
Usando (\ref{Ltilde}) encontramos que
\begin{equation}
 \frac{\partial \tilde{L}}{\partial\left(\frac{dx^\mu}{d\lambda}\right)
}=-\frac{mc}{\sqrt{\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}}}
\,\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\nu}{d\lambda}.
\end{equation}
Adem&aacute;s, como
\begin{equation}
\sqrt{\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}}=\frac{ds}{
d\lambda}=c\frac{d\tau}{d\lambda},
\end{equation}
podemos escribir
\begin{equation}
 \frac{\partial \tilde{L}}{\partial\left(\frac{dx^\mu}{d\lambda}\right)
}=-m\,\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\nu}{d\lambda}\frac{d\lambda}{d\tau}=-m\,\eta_{
\mu\nu}\frac{dx^\nu}{d\tau}=-m\,\eta_{\mu\nu}u^\mu=-\eta_{\mu\nu}p^\mu=-p_\mu.
\end{equation}
Por otro lado, ${\partial \tilde{L}}/{\partial x^\mu}=0$, de modo que las
ecuaciones de movimiento son
\begin{equation}
\frac{d}{d\lambda}p_\mu=0,
\end{equation}
o, equivalentemente
\begin{equation}
\frac{dp^\mu}{d\tau}  =0.
\end{equation}

\subsection{Part&iacute;cula en un campo electromagn&eacute;tico externo}

Ahora buscaremos la acci&oacute;n que describe la din&aacute;mica de una part&iacute;cula cargada
que se mueve en un campo electromagn&eacute;tico externo dado. Para esto, recordamos
que en el l&iacute;mite no-relativista, una carga $q$ en un potencial electrost&aacute;tico
$\phi$ tiene una energ&iacute;a potencial de interacci&oacute;n $V=q\phi$. Como el
lagrangeano no-relativista es $T-V$, entonces la acci&oacute;n de interacci&oacute;n $S_\text{int, no-rel}$ es de la forma
\begin{equation}
S_\text{int, no-rel}= -q\int \phi\, dt. \label{L-rela02}
\end{equation}
Consideramos ahora las posibles generalizaciones de (\ref{L-rela02}) al caso
relativista. Nuevamente, requerimos que la acci&oacute;n que describe la interacci&oacute;n
de la carga con el campo $S_{\rm int}$ (que se suma a la acci&oacute;n libre
(\ref{lagrellibre})) debe ser un escalar bajo TL's y reducirse a
(\ref{L-rela02}) para velocidades peque&ntilde;as respecto a la de la luz.

Una acci&oacute;n que cumple con estos requisitos es
\begin{equation}
\boxed{S_{\rm int}=-q\int_{\tau_1}^{\tau_2}A_\mu u^\mu d\tau.}
\label{Sint}
\end{equation}
En efecto, escribiendo (\ref{Sint}) en t&eacute;rminos de las componentes espaciales y
temporales, encontramos que
\begin{equation}
S_{\rm int}=-q\int\left(  \phi u^0+A_i u^i\right)
d\tau=-q\int \left(\frac{1}{c}\phi \gamma c-\vec{A}\cdot\vec{v}\gamma \right)
\frac{1}{\gamma}dt =\int \left(-q\phi+q\vec{A}\cdot\vec{v}\right) dt ,
\label{L-rela03b}
\end{equation}
que coincide con (\ref{L-rela02}) en el caso no-relativista (y/o
electrost&aacute;tico).

Consideramos ahora la acci&oacute;n completa para una part&iacute;cula de carga $q$, masa
$m$ en un campo electromagn&eacute;tico:
\begin{equation}
\boxed{S=-\int \left(mc^2+ qA_\mu u^\mu \right) d\tau.}
\end{equation}
Derivaremos las ecuaciones de movimiento en forma covariante usando nuevamente
el par&aacute;metro $\lambda$ para parametrizar la trayectoria $x^\mu(\lambda)$ de la
part&iacute;cula en el espaciotiempo. En este caso $S=\int \tilde{L}d\lambda$ con
\begin{equation}
\tilde{L}:=-mc\sqrt{\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}}-qA_\mu \frac{dx^\mu}{d\lambda}. \label{Ltilde2}
\end{equation}
Extendiendo el caso antes visto, tenemos que
\begin{equation}
 \frac{\partial\tilde{L}}{\partial\left(\frac{dx^\mu}{d\lambda}\right)}=-p_\mu-qA_\mu.
\end{equation}
Adem&aacute;s,
\begin{equation}
\frac{\partial \tilde{L}}{\partial x^\mu}=q\left( \partial_\mu
A_\nu\right)  \frac{dx^\nu}{d\lambda}.
\end{equation}
Con esto, las ecuaciones de movimiento son
\begin{equation}
\frac{d}{d\lambda}\left( -p_\mu -qA_\mu\right) -q\left(
\partial_\mu A_\nu\right)=0. \label{casicasi}
\end{equation}
Considerando que ${dA_\mu}/{d\lambda}=\left( \partial_\nu A_\mu \right)
({dx^\nu}/{d\lambda})$, podemos expresar (\ref{casicasi}) como
\begin{equation}
\frac{dp_\mu}{d\lambda} =q\left( \partial_\mu A_\nu-\partial_\nu
A_\mu\right)\frac{dx^\nu}{d\lambda}.
\end{equation}
Retornando a la parametrizaci&oacute;n en t&eacute;rminos del tiempo propio, encontramos que
la ecuaci&oacute;n de movimiento es
\begin{equation}
\frac{dp_\mu}{d\tau} =q\left( \partial_\mu A_\nu-\partial_\nu
A_\mu\right)u^\nu,
\end{equation}
que es exactamente la ecuaci&oacute;n de movimiento determinada por la fuerza de
Lorentz (\ref{LorRel}), ver ecuaci&oacute;n (\ref{fda}).


\subsection{Formalismo Lagrangeano para sistemas continuos (campos)}
Resumiremos aqu&iacute; los aspectos b&aacute;sicos del formalismo lagrangeano para sistemas
con un continuo de grados de libertad (campos).

 Consideremos una \textit{densidad lagrangeana} que depende de $N$ campos $\phi^A$,
$A=1,\dots ,N$ y sus derivadas $\partial_\mu \phi^A$ y eventualmente de alg&uacute;n
campo {\em externo} $\Phi$. En este caso el lagrangeano del sistema es la
integral de volumen de la densidad lagrangeana:
\begin{equation}
L=\int_V {\cal L}(\phi^A,\partial_\mu\phi^A,\Phi)\, dV ,\label{lag4d}
\end{equation}
de modo que la acci&oacute;n es de la forma
\begin{equation}
\boxed{S=\int L\, dt= \int {\cal L}(\phi^A,\partial_\mu\phi^A,\Phi)\, dt dV=
\frac{1}{c}\int {\cal L}\,d^4x.}
\end{equation}
 Las correspondientes ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange respecto a variaciones del campo $\phi^A$, obtenidas del principio variacional $\delta S=0$, son:
\begin{equation}
\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi ^{A}}-\partial _{\mu }\left(
\frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu }\phi^{A})}\right)=0.
\label{eccont2}
\end{equation}
En general, estas ecuaciones ser&aacute;n de segundo orden en las derivadas de los
campos $\phi^A$. A partir de $\cal L$ definimos la \textit{densidad de momento
can&oacute;nico}:
\begin{equation}
\pi_A(x,t)  := \frac{\partial{\cal L}}{\partial\dot{\phi}^A},
\label{DensidadMomentoCanonicoConjugado}
\end{equation}
 y una \textit{densidad Hamiltoniana} (suma sobre $A$):
 \begin{equation}
{\cal H}(x,t) := \pi_A(x,t) \dot{\phi}^A(x,t)-{\cal L}(x,t) ,
\label{DensidadHamiltoniana}
\end{equation}
tal que $H=\int {\cal H}dV$ es interpretado como el hamiltoniano del sistema.


\subsection{Densidad lagrangeana para el campo electromagn&eacute;tico}
Queremos ahora aplicar el formalismo lagrangeano para campos al caso particular
del campo electromagn&eacute;tico. Para ello, necesitamos encontrar una densidad
lagrangeana cuyas ecuaciones de campo sean (equivalentes a) las ecuaciones de
Maxwell. Debido a que las ecuaciones de Maxwell son de primer orden en
$F_{\mu\nu}$ no es posible encontrar una densidad ${\cal
L}(F_{\mu\nu},\partial_\lambda F_{\mu\nu})$ que suministre las ecuaciones de
Maxwell como ecuaciones de Euler-Lagrange. Por esto, para aplicar el formalismo
lagrangeano al campo electromagn&eacute;tico es necesario considerar otros campos como
los campos din&aacute;micos. Una soluci&oacute;n es considerar a los potenciales $A_\mu$
como variables de configuraci&oacute;n, y encontrar a partir de ellos un apropiado
${\cal L}(A_\mu,\partial_\nu A_\mu)$ cuyas ecuaciones de Euler-Lagrange sean las
ecuaciones (\ref{coninhom}), con el tensor electromagn&eacute;tico dado en
t&eacute;rminos de los potenciales de acuerdo a (\ref{fda}). Requerimos
adem&aacute;s que $\cal L$ sea un escalar bajo TL's para asegurar la
covariancia de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Por &uacute;ltimo, la estructura
general de las ecuaciones de campo (\ref{L-euler}) y la linealidad en los campos
de las ecuaciones de Maxwell sugieren considerar una densidad lagrangiana
cuadr&aacute;tica en las derivadas de los potenciales.

Una densidad lagrangeana que cumple con todos estos requisitos es:
% En unidades Gaussianas
%\begin{equation}
%{\cal L}(A_\mu,\partial_\nu A_\mu) =-\frac{1}{16\pi}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{c}J^{\lambda
%}A_{\lambda} .\label{lagF}
%\end{equation}
\begin{equation}
{\cal L}(A_\mu,\partial_\nu A_\mu) =-\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-J^\mu A_\mu .\label{lagF}
\end{equation}
Note que, para los prop&oacute;sitos aqu&iacute; discutidos, la 4-corriente $J^\mu$ se asume
conocida y corresponde por tanto a campos \textit{externos}, tales como el campo
$\Phi$ en el formalismo general. Podemos verificar que el principio variacional
basado en (\ref{lagF}) suministra las ecuaciones de Maxwell como ecuaciones de
movimiento. En nuestro caso, las ecuaciones generales (\ref{L-euler}) adoptan la
forma
\begin{equation}
\frac{\partial{\cal L}}{\partial A_{\nu}}-\partial_\mu\left(  \frac
{\partial{\cal L}}{\partial\partial_\mu A_{\nu}}\right) =0. \label{EUF}
\end{equation}
Las derivadas involucradas se determinan a partir de (\ref{lagF}):
% En Gaussianas
%\begin{align}
%\frac{\partial{\cal L}}{\partial\partial_\mu A_{\nu}}  & =-\frac{1}{4\pi
%}F^{\mu\nu}, \label{dLdda}\\
%\frac{\partial{\cal L}}{\partial A_{\nu}}  & =-\frac{1}{c}J^\nu .
%\end{align}
\begin{align}
\frac{\partial{\cal L}}{\partial\partial_\mu A_{\nu}}  & =-\frac{1}{\mu_0}F^{\mu\nu}, \label{dLdda}\\
\frac{\partial{\cal L}}{\partial A_{\nu}}  & =-J^\nu .
\end{align}
de modo que (\ref{EUF}) se reduce a
%En Gaussianas
%\begin{equation}
%-\frac{1}{c}J^\nu +\frac{1}{4\pi}\partial_\mu F^{\mu\nu}=0,
%\end{equation}
\begin{equation}
-J^\nu +\frac{1}{\mu_0}\partial_\mu F^{\mu\nu}=0,
\end{equation}
que es equivalente a las ecuaciones de Maxwell inhomogeneas \eqref{coninhom}.


\subsection{Tensor de Energ&iacute;a-Mom&eacute;ntum del campo electromagn&eacute;tico}

Tal como se discute en las secciones \ref{sec:energia} y \ref{sec:momentum}, el campo electromagn&eacute;tico posee energ&iacute;a y momentum lineal\footnote{Tambi&eacute;n momentum angular, que no discutiremos en detalle aqu&iacute;.}. Adem&aacute;s, como tanto la energ&iacute;a y el momentum est&aacute;n distribuidos en el espacio y pueden ``fluir'' de una regi&oacute;n a otra, es necesario describir su distribuci&oacute;n y flujo usando ($1+3$) \textit{densidades}  y ($3+9$) \textit{densidades de flujo}, de energ&iacute;a y momentum lineal, respectivamente. &eacute;sta es una caracter&iacute;stica general de cualquier sistema que posea energ&iacute;a y momentum distribuidos en el espacio(-tiempo), requiriendo en total 16 cantidades para describir completamente sus propiedades. Por otro lado, en RE la energ&iacute;a y el momentum lineal de un cuerpo forman un 4-vector bajo TL's y sus valores cambian (se ``mezclan'', linealmente) de un SRI a otro. Adem&aacute;s, tal como en el caso de la carga el&eacute;ctrica (un escalar bajo TL's), ver secci&oacute;n \ref{ccer}, sus densidades forman el 4-vector densidad de corriente, es natural esperar que cada una de las 4 cantidades que describen el campo electromagn&eacute;tico (las componentes de su 4-momentum) se requieran 4 densidades, an&aacute;logas a la 4-densidad de corriente. En resumen, se requieren en general 16 cantidades para describir completamente el 4-momentum del campo (sus densidades y flujos). En RE estas 16 cantidades son componentes de un tensor de rango 2 (y por tanto con $4\times 4=16$ componentes independientes), llamado \textit{tensor energ&iacute;a-momentum}. El hecho que estas cantidades sean componentes de un tensor bajo TL's aseguran que sus valores integrados en el espacio (4-momentum) transformen como 4-vectores. 

En el caso del campo electromagn&eacute;tico, el tensor de energ&iacute;a-momentum puede considerarse como dado por
\begin{equation}
\boxed{T_\text{em}^{\mu\nu}:=\frac{1}{\mu_0}\left(  F^{\mu\lambda}F_\lambda^{\ \nu}+\frac{1}{4}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}\eta^{\mu\nu} \right),}  \label{temsimSI}
\end{equation}
Verificamos que este tensor es sim&eacute;trico, es decir, 
\begin{equation}
T_\text{em}^{\mu\nu}=T_\text{em}^{\nu\mu}.
\end{equation}


Escribiendo las componentes del tensor sim&eacute;trico $\Theta^{\mu\nu}$ en t&eacute;rminos
de las componentes de $\vec{E}$ y $\vec{B}$, encontramos que:
%En Gaussianas
%\begin{align}
%\Theta_0{}^0  & =\frac{1}{4\pi}\left(  F^{0\lambda}F_{\lambda0}+\frac
%{1}{2}\left(  \vec{B}^2-\vec{E}^2\right)  \delta_0^0\right) \\
%& =\frac{1}{4\pi}\left(  F^{0i}F_{i0}+\frac{1}{2}\left(
%\vec{B}^2-\vec{E}^2\right)
%\right) \\
%& =\frac{1}{4\pi}\left(  \vec{E}^2+\frac{1}{2}\left(  \vec{B}^2-\vec{E}^2\right)
% \right) \\
%& =\frac{1}{8\pi}\left(  \vec{E}^2+\vec{B}^2\right),
%\end{align}%
%\begin{align}
%\Theta_0{}^i  & =\frac{1}{4\pi}\left(  F^{i\lambda}F_{\lambda0}+\frac
%{1}{2}\left(  \vec{B}^2-\vec{E}^2\right)  \delta_0^i\right) \\
%& =\frac{1}{4\pi}F^{ij}F_{j0}\\
%& =\frac{1}{4\pi}(-\varepsilon^{ijk}B^k)  (-E^j) \\
%& =\frac{1}{4\pi}\left(\vec{E}\times\vec{B}\right)^i,
%\end{align}%
%\begin{align}
%\Theta_j{}^i  & =\frac{1}{4\pi}\left(  F^{i\lambda}F_{\lambda j}+\frac
%{1}{2}\left( \vec{B}^2-\vec{E}^2\right)  \delta_j^i\right) \\
%& =\frac{1}{4\pi}\left(  F^{i0}F_{0j}+F^{ik}F_{kj}+\frac{1}{2}\left(
%\vec{B}^2-\vec{E}^2\right)  \delta_j^i\right) \\
%& =\frac{1}{4\pi}\left(  E^i E^j +\left(-\varepsilon^{ikl}B^l\right)  \left(
%-\varepsilon_{kjm}B^m \right)  +\frac{1}{2}\left(
%\vec{B}^2-\vec{E}^2\right)\delta_j^i\right) \\
%& =\frac{1}{4\pi}\left(  E^i E^j
%-\left(\delta_j^i\delta_{m}^{l}-\delta_{m}^i\delta_j^{l}\right)  B^l B^m
%+\frac{1}{2}\left(  \vec{B}^2-\vec{E}^2\right)\delta_j^i\right) \\
%& =\frac{1}{4\pi}\left(  E^i E^j+B^i B^j -\delta_j^i\vec{B}^2+\frac{1}{2}\left(
%\vec{B}^2-\vec{E}^2\right)  \delta_j^i\right) \\
%& =\frac{1}{4\pi}\left(  E^i E^j +B^i B^j -\frac{1}{2}\left(
%\vec{E}^2+\vec{B}^2\right)\delta_j^i\right).
%\end{align}
\begin{align}
T_\text{em}^{00}  & =\frac{1}{\mu_0}\left[F^{0\lambda}F_\lambda^{\ 0}+\frac
{1}{2}\left(\vec{B}^2-\frac{1}{c^2}\vec{E}^2\right) \eta^{00}\right) \\
& =\frac{1}{4\pi}\left(  F^{0i}F_i^{\ 0}+\frac{1}{2}\left(
\vec{B}^2-\vec{E}^2\right)\right] \\
& =\frac{1}{\mu_0}\left[\frac{1}{c^2}\vec{E}^2+\frac{1}{2}\left( \vec{B}^2-\frac{1}{c^2}\vec{E}^2\right)\right] \\
& =\frac{1}{2\mu_0}\left(\frac{1}{c^2}\vec{E}^2+\vec{B}^2\right),
\end{align}%
\begin{align}
T_\text{em}^{i0}  & =\frac{1}{\mu_0}\left[ F^{i\lambda}F_\lambda^{\ 0}+\frac
{1}{2}\left(  \vec{B}^2-\frac{1}{c^2}\vec{E}^2\right)  \eta^{i0}\right] \\
& =\frac{1}{\mu_0}F^{ij}F_j^{\ 0}\\
& =\frac{1}{\mu_0}(-\varepsilon^{ijk}B^k)  (-\frac{1}{c}E^j) \\
& =\frac{1}{\mu_0c}\left(\vec{E}\times\vec{B}\right)^i,
\end{align}%
\begin{align}
T_\text{em}^{ij}  & =\frac{1}{\mu_0}\left[  F^{i\lambda}F_\lambda^{\ j}+\frac
{1}{2}\left( \vec{B}^2-\frac{1}{c^2}\vec{E}^2\right) \eta^{ij}\right] \\
& =\frac{1}{\mu_0}\left[F^{i0}F_0^{\ j}+F^{ik}F_k^{\ j}-\frac{1}{2}\left(
\vec{B}^2-\frac{1}{c^2}\vec{E}^2\right) \delta^{ij}\right] \\
& =\frac{1}{\mu_0}\left[-\frac{1}{c^2}E^i E^j -\left(-\varepsilon^{ikl}B^l\right)  \left(
-\varepsilon^{kjm}B^m \right) -\frac{1}{2}\left(
\vec{B}^2-\frac{1}{c^2}\vec{E}^2\right)\delta^{ij}\right] \\
& =\frac{1}{\mu_0}\left(-\frac{1}{c^2}E^i E^j
+\left(\delta^{ij}\delta^{lm}-\delta^{im}\delta^{lj}\right)B^l B^m
-\frac{1}{2}\left(\vec{B}^2-\frac{1}{c^2}\vec{E}^2\right)\delta^{ij}\right] \\
& =\frac{1}{\mu_0}\left[-\frac{1}{c^2}E^i E^j - B^i B^j +\delta^{ij}\vec{B}^2-\frac{1}{2}\left(\vec{B}^2-\frac{1}{c^2}\vec{E}^2\right)\delta^{ij}\right] \\
& =\frac{1}{\mu_0}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c^2}\vec{E}^2 +\vec{B}^2\right)\delta^{ij}-\frac{1}{c^2}E^i E^j -B^i B^j\right].
\end{align}
En resumen, podemos indentificar
% Gaussianas
%\begin{eqnarray}
%u&:=&\Theta_0{}^0=\frac{1}{8\pi}\left( \vec{E}^2+\vec{B}^2\right),\\
%S^i&:=&c\Theta_0{}^i=\frac{c}{4\pi}\left(\vec{E}\times\vec{B}\right)^i=c^2\pi^i,\\
%T_j{}^i&:=&\Theta_j{}^i=\frac{1}{4\pi}\left(  E^i E^j +B^i B^j
%-\frac{1}{2}\left(  \vec{E}^2+\vec{B}^2\right)\delta_j^i\right),
%\end{eqnarray}
\begin{align}
u &:= \Theta^{00}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_0\vec{E}^2+\frac{1}{\mu_0}\vec{B}^2\right),\label{uTheta}\\
S^i &:= c\Theta^{0i}=\frac{1}{\mu_0}\left(\vec{E}\times\vec{B}\right)^i=c^2\pi^i, \label{STheta}\\
T^{ij} &:= \Theta^{ij}= \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0\vec{E}^2+\frac{1}{\mu_0}\vec{B}^2\right)\delta^{ij}-\varepsilon_0 E^i E^j -\frac{1}{\mu_0}B^i B^j , \label{TTheta}
\end{align}
como la \textit{densidad de energ&iacute;a} $u$, la \textit{densidad de flujo de
energ&iacute;a} $\vec{S}$ (vector de Poynting), \textit{densidad de mom&eacute;ntum}
$\vec{\pi}$ y el \textit{tensor de tensiones} $T^{ij}$ del campo
electromagn&eacute;tico, respectivamente, ya discutidos en las secciones \ref{sec:energia} y \ref{sec:momentum}. En otras palabras, hemos verificado que estas densidades y sus respectivos flujos son componentes de un tensor de rango 2 bajo TL's.

% \begin{equation}
% \Theta^\mu_{\ \nu}
% = \left( \text{\small\begin{tabular}{c | c}
%   Densidad & Flujo de Energ&iacute;a \\
%   de energ&iacute;a & \\ \hline
%   Flujo de & \\
%   Energ&iacute;a   & ``tensiones'' \\
%          &
% \end{tabular}}\right).
% \end{equation}

Podemos verificar adem&aacute;s que las leyes de balance de la energ&iacute;a y el momentum del campo pueden escribirse en forma covariante como
\begin{equation}
\boxed{\partial_\nu \Theta^{\mu\nu}+ F^\mu{}_\nu J^\nu=0.}
\label{clem}
\end{equation}
En efecto, para $\mu=0$ esta relaci&oacute;n se reduce a
\begin{equation}
\partial_\nu \Theta^{0\nu}+F^0{}_\nu J^\nu=0
\end{equation}
que, luego de identificar las componentes de $\Theta$ de acuerdo a \eqref{uTheta}-\eqref{TTheta}, es equivalente a \eqref{econtEem}, es decir,
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial
t}+\vec{\nabla}\cdot\vec{S}+\vec{E}\cdot\vec{J}  =0.
\end{equation}
%\begin{equation}
%\frac{\partial}{\partial t}\int_V u\,dV+\oint_{\partial V}
%\vec{S}\cdot d\vec{S}+\int_V \vec{E}\cdot\vec{J}\,dV =0 .\label{clen}
%\end{equation}

An&aacute;logamente, las componentes espaciales de (\ref{clem}) suministran
\begin{equation}\label{lcm2}
\frac{\partial \pi^i}{\partial t}+f^i  +\partial_jT^{ij}=0,
\end{equation}
donde $f^i$ son las componentes de la \textit{densidad de fuerza} sobre las cargas:
%Gaussianas
%\begin{equation}
%\vec{f} :=\rho \vec{E}  +\frac{1}{c}\vec{J}\times \vec{B}.
%\end{equation}
\begin{equation}
\vec{f} :=\rho \vec{E}  +\vec{J}\times \vec{B}.
\end{equation}
Note que la relaci&oacute;n \eqref{lcm2} es id&eacute;ntica a \eqref{lcm}, salvo el cambio de notaci&oacute;n respecto a la posici&oacute;n de los &iacute;ndices espaciales.
% Finalmente, integrando sobre un volumen $V$, obtenemos:
% \begin{equation}
% \frac{\partial}{\partial t}\left(
% P_{\text{campo}}^i+P_{\text{mec&aacute;nico}}^i\right)  +\oint_{\partial V}
% T^{ij}\,dS^j=0,
%  \end{equation}
% que representa la conservaci&oacute;n del mom&eacute;ntum lineal total del campo y las
% cargas.


% Finalmente, integrando sobre un volumen $V$, obtenemos:
% \begin{equation}
% \frac{\partial}{\partial t}\left(
% P_{\text{campo}}^i+P_{\text{mec&aacute;nico}}^i\right)  +\oint_{\partial V}
% T^{ij}\,dS^j=0,
%  \end{equation}
% que representa la conservaci&oacute;n del mom&eacute;ntum lineal total del campo y las
% cargas.

\subsubsection{4-Corriente para una carga puntual*}
Para una carga puntual con l&iacute;nea de mundo $z^\mu(\tau)=(z^0,\vec{z})$ la
densidad de carga es de la forma
\begin{equation}
\rho(x^\mu)=q\delta^{(3)}\left(\vec{x}-\vec{z}\right) ,
\end{equation}
donde $\delta^{(3)}\left(\vec{x}-\vec{z}\right)$ es una delta de Dirac
tridimensional\footnote{es decir, que satisface $\int_V
f(\vec{x})\delta^{(3)}\left(\vec{x}-\vec{z}\right)=f(\vec{z})$, donde $f$ es una
funci&oacute;n arbitraria (en el caso en que el punto $\vec{z}$ est&aacute; contenido en
$V$).}. La densidad de corriente es, por otro lado, dada por
\begin{equation}
\vec{J}=\rho\vec{v}=q\delta^{(3)}\left(\vec{x}-\vec{z}\right)\vec{v}
\end{equation}
Escribiremos la densidad de corriente en t&eacute;rminos de cantidades covariantes
bajo TL's. Para esto introduciremos una delta de Dirac 4-dimensional y la
4-velocidad de la part&iacute;cula.

Para esto usaremos la identidad
\begin{equation}
\boxed{\delta^{(3)}\left(\vec{x}-\vec{z}(t)\right)=\int u^0(\tau)
\delta^{(4)}\left(x-z(\tau)\right)\, d\tau ,} \label{idDirac}
\end{equation}
donde $\delta^{(4)}\left(x-z(\tau)\right)$ es la delta de Dirac
cuadridimensional, que satisface
$\int_{\Omega_4}f(x^\mu)\delta^{(4)}(x-a)\,d^4x=f(a^\mu)$. En efecto, tenemos
que
\begin{eqnarray}
\int u^0(\tau)\delta^{(4)}\left(x-z(\tau)\right)\, d\tau &=&\int
u^0(\tau)\delta(x^0-z^0(\tau))\delta^{(3)}\left(\vec{x}-\vec{z}(\tau)\right)\,
d\tau\\
&=& \int u^0(\tau)\frac{1}{|\frac{dz^0}{d\tau}(\tau)|}\delta(\tau-\tau_0)
\delta^{(3)} \left(\vec {x} -\vec {z } (\tau)\right)\,d\tau \\
&=& \int \delta(\tau-\tau_0) \delta^{(3)} \left(\vec {x} -\vec {z }
(\tau)\right)\,d\tau,
\end{eqnarray}
donde $\tau_0$ satisface $x^0=ct=z^0(\tau_0)$, para un $t$ dado. Esta relaci&oacute;n
permite escribir $\tau_0=\tau_0(t)$ y, por lo tanto,
\begin{eqnarray}
\int u^0(\tau)\delta^{(4)}\left(x-z(\tau)\right)\, d\tau &=&
\delta^{(3)}\left(\vec {x} -\vec {z } (\tau_0)\right) \\
&=&\delta^{(3)}\left(\vec {x} -\vec {z}(\tau_0(t))\right)\\
&=&\delta^{(3)}\left(\vec {x} -\vec {z}(t)\right).
\end{eqnarray}
Usando (\ref{idDirac}) podemos entonces escribir:
\begin{eqnarray}
\vec{J}&=&\rho\vec{v}\\
&=&q\delta^{(3)}\left(\vec{x}-\vec{z}\right)\vec{v} \\
&=& q\int u^0\vec{v}\,\delta^{(4)}\left(x-z(\tau)\right)\,d\tau\\
&=& qc\int\vec{u}\,\delta^{(4)}\left(x-z(\tau)\right)\, d\tau .
\end{eqnarray}
An&aacute;logamente, expresamos la densidad de carga como:
\begin{eqnarray}
\rho&=&q\delta^{(3)}\left(\vec{x}-\vec{z}\right) \\
&=& q\int d\tau\, u^0\,\delta^{(4)}\left(x-z(\tau)\right).
\end{eqnarray}
En resumen, podemos escribir la 4-densidad de corriente como
\begin{equation}
\boxed{J^\mu(x)=qc\int d\tau\,
u^\mu\,\delta^{(4)}\left(x-z(\tau)\right).} \label{Jcov}
\end{equation}

\subsubsection{Conservaci&oacute;n de la energ&iacute;a y el mom&eacute;ntum para el sistema
campo-carga*}

En el caso de que el sistema de cargas conste de una carga puntual de carga $q$,
la 4-corriente es de la forma (\ref{Jcov}). En este caso, integrando la ley de
conservaci&oacute;n (\ref{clem}) en un volumen $V$, obtenemos
\begin{eqnarray}
0&=&\int_V \left[ \partial_\nu \Theta^{\mu\nu}+\frac{1}{c} F^\mu_{\
\nu}J^\nu\right]  dV \\
&=&\int_V \left[\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \Theta^{\mu
0}+\partial_i \Theta^{\mu i}+\frac{1}{c} F^\mu_{\ \nu}J^\nu\right]  dV \\
&=&\int_V \left[\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \Theta^{\mu
0}+\partial_i \Theta^{\mu i}+q\int d\tau\,  F^\mu_{\
\nu}u^\nu\,\delta^{(4)}\left(x^\mu-z^\mu(\tau)\right)\right]  dV \\
&=&\int_V \left[\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \Theta^{\mu
0}+\partial_i \Theta^{\mu i}+c\int d\tau\,
\frac{dp^\mu}{d\tau}\,\delta^{(4)}\left(x^\mu-z^\mu(\tau)\right)\right]  dV \\
&=&\int_V \left[\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \Theta^{\mu
0}+\partial_i \Theta^{\mu i}+c\int dt\,
\frac{dp^\mu}{dt}\,\delta^{(4)}\left(x^\mu-z^\mu(\tau)\right)\right]  dV
\\
&=&\frac{d}{dt}\frac{1}{c}\int_V  \Theta^{\mu 0}\,dV+\oint_{\partial V}\Theta^{\mu
i}dS_i+\int \frac{dp^\mu}{dt}\,\delta^{(4)}\left(x^\mu-z^\mu(\tau)\right)  d^4x
\\
&=&\frac{dP^\mu_{\rm campo}}{dt}+\oint_{\partial V}\Theta^{\mu
i}dS_i+\frac{dp^\mu_{\rm carga}}{dt}.
\end{eqnarray}
Integrando sobre todo el espacio y asumiendo que los campos se anulan
suficientemente r&aacute;pido de modo que la integral de superficie se anule,
encotramos que el 4-mom&eacute;ntum total del campo y la carga es conservado
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left( P^\mu_{\rm campo}+p^\mu_{\rm carga}\right) =0.
\end{equation}

\subsubsection{Tensor energ&iacute;a-mom&eacute;ntum para una carga puntual*}
Existe una asimetr&iacute;a en la descripci&oacute;n de la energ&iacute;a y el mom&eacute;ntum del
sistema campo-carga. Mientras la carga es descrita en t&eacute;rminos de su 4-mom&eacute;ntum
$p^\mu_{\rm carga}$, el contenido de energ&iacute;a-mom&eacute;ntum del campo
electromagn&eacute;tico es descrito por su tensor de energ&iacute;a-mom&eacute;ntum
$\Theta^{\mu\nu}$. Esto es debido al car&aacute;cter puntual de la carga considerada.

Es posible definir un tensor energ&iacute;a-mom&eacute;ntum para la carga puntual de manera
an&aacute;loga a como definimos la 4-corriente (\ref{Jcov}). Buscamos un tensor de
energ&iacute;a-mom&eacute;ntum $T_{\rm carga}^{\mu\nu}$ tal que el 4-mom&eacute;ntum de la carga
est&eacute; dado por
\begin{equation}
p^\mu_{\rm carga}=\frac{1}{c}\int_V T_{\rm carga}^{\mu 0}\,dV,
\end{equation}
donde $V$ es un volumen que contiene a la carga.
\begin{equation}
T_{\rm carga}^{\mu\nu}(x)=mc\int d\tau \delta^4(x-z(\tau)) u^\mu(\tau)
u^\nu(\tau).
\end{equation}
En efecto:
\begin{eqnarray}
T_{\rm carga}^{\mu 0}&=&mc\int d\tau \delta^4(x-z(\tau)) u^\mu u^0 \\
&=&mc\int d\tau \delta^4(x-z(\tau)) u^\mu \frac{dx^0}{d\tau} \\
&=&mc\int dx^0 \delta^4(x-z(t)) u^\mu  \\
&=&mc\,\delta^3(\vec{x}-\vec{z}(t))\, u^\mu \\
&=&mc u^\mu \, \delta^3(\vec{x}-\vec{z}(t)),
\end{eqnarray}
de modo que
\begin{equation}
\frac{1}{c}\int_V T_{\rm carga}^{\mu 0}\,dV=m u^\mu.
\end{equation}
En t&eacute;rminos de este tensor, encontramos que
\begin{eqnarray}
\partial_\nu T_{\rm carga}^{\mu\nu}&=&mc\int d\tau \left[ \partial_\nu
\delta^4(x-z(\tau))\right]  u^\mu(\tau) u^\nu(\tau) \\
&=&-mc\int d\tau \left[ \frac{\partial}{\partial z^\nu}
\delta^4(x-z(\tau))\right]  u^\mu(\tau)u^\nu(\tau) \\
&=&-mc\int d\tau \frac{dz^\nu}{d\tau}\left[ \frac{\partial}{\partial z^\nu}
\delta^4(x-z(\tau))\right]  u^\mu(\tau)\\
&=&-mc\int d\tau \left[\frac{d}{d\tau}\delta^4(x-z(\tau))\right]  u^\mu(\tau)\\
&=&-mc\int d\tau  \frac{d}{d\tau}\left[\delta^4(x-z(\tau))
u^\mu(\tau)\right]+mc\int d\tau  \delta^4(x-z(\tau)) \frac{du^\mu}{d\tau}\\
&=&-mc\left[\delta^4(x-z(\tau)) u^\mu(\tau)\right]^{+\infty}_{-\infty}+c\int
d\tau  \delta^4(x-z(\tau)) \frac{dp^\mu}{d\tau}\\
&=&0+q\int d\tau  \delta^4(x-z(\tau))F^\mu_{\ \nu}(z(\tau))u^\nu(\tau)\\
&=&q\int d\tau  \delta^4(x-z(\tau))F^\mu_{\ \nu}(x)u^\nu(\tau)\\
&=&qF^\mu_{\ \nu}(x)\int d\tau  \delta^4(x-z(\tau))u^\nu(\tau)\\
&=&\frac{1}{c}F^\mu_{\ \nu}J^\nu.
\end{eqnarray}
Con este resultado podemos expresar la conservaci&oacute;n (\ref{clem}) del 4-mom&eacute;ntum
total del sistema campo + carga como
\begin{equation}
\boxed{\partial_\nu \left( \Theta^{\mu\nu}+T_{\rm carga}^{\mu\nu}\right) =0.}
\label{clem2}
\end{equation}