cap-RG-Fundamentos.tex

\chapter{La teor&iacute;a de Einstein de la gravitaci&oacute;n}\label{capTEG}

\section{Gravitaci&oacute;n como curvatura del espaciotiempo\label{PE}}

Como hemos visto, el PEF supone que en regiones (suficientemente) peque&ntilde;as del espaciotiempo, y en un sistema de referencia en caida libre, los efectos de la gravitaci&oacute;n desaparecen y son por lo tanto v&aacute;lidas las leyes no-gravitacionales conocidas. En particular es en coordenadas adaptadas a estos SR's en los que la teor&iacute;a de Relatividad Especial, con su m&eacute;trica de Minkowski, es recobrada. En otro sistema de coordenadas (adaptado a otros SR's no localmente inerciales) la presencia de un campo gravitacional se manifestar&aacute; en el hecho que la m&eacute;trica ya no ser&aacute; constante (independiente de las coordenadas) en la regi&oacute;n considerada\footnote{Lo mismo ocurre, en un sistema de coordenadas arbitrario, no necesariamente adaptado a alg&uacute;n sistema de referencia particular.}. Por esto, en la teor&iacute;a de Einstein \textit{se asume} que un campo gravitacional general puede ser descrito por un \textit{espaciotiempo cuadridimensional curvo} (tensor de curvatura no nulo, m&eacute;trica no constante), \textit{geometrizando} de esta forma la interacci&oacute;n gravitacional. Adem&aacute;s, el PEF es implementado identificando las coordenadas adaptadas a un SRLI como las coordenadas geod&eacute;sicas en torno a un punto (evento) dado.

Adem&aacute;s en RG es necesario considerar que las ecuaciones que describen alg&uacute;n sistema f&iacute;sico son covariantes bajo TGC's\footnote{Esta condici&oacute;n es usualmente llamada ``principio general de covariancia''.} (es decir, v&aacute;lidas con la misma forma en cualquier sistema de coordenadas), y tales que se reducen a las ecuaciones v&aacute;lidas en la teor&iacute;a de RE en sistemas de coordenadas geod&eacute;sicas (asociados a SRLI's). Como consecuencia, la ecuaci&oacute;n de movimiento de un cuerpo de prueba macrosc&oacute;pico es dada en general por (\ref{tsrni}), es decir, adopta la forma de la ecuaci&oacute;n de la geod&eacute;sica (o autoparalelas).

Al comparar (\ref{ag}) con (\ref{tsrni}) vemos que la conexi&oacute;n $\Gamma$ juega en RG el papel de generalizaci&oacute;n relativista del campo gravitacional $\vec{g}$. Ya que en una geometr&iacute;a riemanniana $\Gamma$ depende de las derivadas de las componentes de la m&eacute;trica $g$, encontramos que las componentes de $g$ juegan un papel an&aacute;logo al potencial gravitacional. En RE, sin embargo, la curvatura asociada a $\Gamma$ es nula. Geom&eacute;tricamente, el espaciotiempo es plano en RE y se pueden encontrar SC's (asociados a SRI's globales) en los que las componentes de la m&eacute;trica sean constantes y diagonales ($g\stackrel{*}{=}\eta$), la conexi&oacute;n es nula ($\Gamma\stackrel{*}{=}0$), y las soluciones de la ecuaci&oacute;n de la geod&eacute;sica se reducen a l&iacute;neas rectas en el espaciotiempo, es decir, a l&iacute;neas de mundo describiendo movimientos rectil&iacute;neos uniformes. 
%El hecho que en presencia de gravitaci&oacute;n no existen SRI's \textit{globales}, sino 
%que s&oacute;lo SRLI's, es consistentemente descrito en RG considerando que la 
%\textit{curvatura es no nula}.

N&oacute;tese que aqu&iacute; se ha supuesto, siguiendo la construcci&oacute;n de
Einstein, que la identificaci&oacute;n de la conexi&oacute;n con los s&iacute;mbolos de Christoffel ($\Gamma %
=\{\ \}(g)$) se mantiene inalterada al pasar del caso de un campo
trivial (RE) a uno general (RG). Con esta identificaci&oacute;n el &uacute;nico campo
independiente es la m&eacute;trica.


Resumiendo, la teor&iacute;a de Einstein de la gravitaci&oacute;n se basa en la idea de
\textit{geometrizar} la interacci&oacute;n gravitacional, es decir, describirla
asociando al espaciotiempo una geometr&iacute;a (pseudo-riemanniana) \textit{curva}. En este caso, un campo gravitacional no nulo es caracterizado por una curvatura del espaciotiempo distinta de cero y los cuerpos (de prueba) siguen curvas geod&eacute;sicas del espaciotiempo. En un campo gravitacional general no es posible encontrar un SC tal que la m&eacute;trica sea constante y la conexi&oacute;n se anule en todo evento. S&iacute; es posible encontrar SC's geod&eacute;sicos asociados a SRLI's que tienen la propiedad que la m&eacute;trica adopta su valor minkowskiano y la conexi&oacute;n se anula \textit{en un evento dado}.  En el caso de part&iacute;culas masivas, las geod&eacute;sicas que &eacute;stas describen son tipo tiempo ($ds^2>0$ a lo largo de la curva), y para se&ntilde;ales luminosas (fotones) la curva geod&eacute;sica es \textit{nula} ($ds^2=0$ a lo largo de ella).


\section{M&eacute;trica, trayectorias, tiempo propio y coordenadas}

En RG se supone que la m&eacute;trica $g_{\mu\nu}$ del espaciotiempo, a&uacute;n siendo curva, es siempre
\textit{lorentziana}. Esto significa que el elemento de l&iacute;nea
\begin{equation}\label{dsymet}
 ds^2=g_{\mu\nu}(x)\,dx^\mu dx^\nu
\end{equation}
no es definido positivo, es decir, puede asumir, en un mismo evento $P$ dado del espaciotiempo (con coordenadas $x^\mu$), valores positivos, negativos o ser cero,
dependiendo de los valores de $dx^\mu$. Esto es m&aacute;s evidente en coordenadas
geod&eacute;sicas $\bar{x}^\mu$ definidas en torno al punto $P$, puesto que en ese caso
\begin{equation}
 ds^2\stackrel{*}{=}(d\bar{x}^0)^2-(d\bar{x}^1)^2-(d\bar{x}^2)^2-(d\bar{x}^3)^2.
\end{equation}
En este sentido, un espaciotiempo curvo es siempre
\textit{\underline{localmente} un espacio de Minkowski}. En particular, eventos
en la vecindad de $P$ (es decir, eventos $Q$, con coordenadas $x^\mu+dx^\mu$)
pueden clasificarse de acuerdo a si su separaci&oacute;n ($dx^\mu$) es tipo tiempo,
espacio o tipo luz: El vector que une $P$ y $Q$, con coordenadas $dx^\mu$ es
tipo tiempo si $ds^2>0$, tipo espacio si $ds^2<0$, y tipo luz si $ds^2=0$. En
otras palabras, en RG es posible definir, \textit{en la vecindad de cada evento}, un cono de luz (infinitesimal) que describe la \textit{estructura causal local} del espaciotiempo.

Como extensi&oacute;n natural de lo que ocurre en RE, en RG se supone que los cuerpos  (masivos), movi&eacute;ndose en un campo gravitacional dado, describen
l&iacute;neas de mundo tipo tiempo (es decir, en los que los vectores
tangentes en cada punto de la trayectoria son tipo tiempo), y que los rayos de luz
siguen curvas tipo luz. Por &uacute;ltimo, en el caso de l&iacute;neas tipo tiempo se
contin&uacute;a interpretando al intervalo en t&eacute;rminos del \textit{tiempo propio}:
$ds=c\,d\tau$. M&aacute;s espec&iacute;ficamente, si $x^\mu(\lambda)$ es la l&iacute;nea de mundo
de un cuerpo masivo, entonces
\begin{equation}\marginnote{Tiempo Propio en RG}
\boxed{ d\tau=\frac{1}{c}\sqrt{g_{\mu\nu}(x)\,dx^\mu
dx^\nu}}
\end{equation}
se intepreta como el \textit{tiempo que un reloj com&oacute;vil con el cuerpo registra
entre los eventos con coordenadas $x^\mu$ y $x^\mu+dx^\mu$}. Como, en general,
las componentes de la m&eacute;trica variar&aacute;n punto a punto, vemos que en un
espaciotiempo curvo se espera que los tiempos propios registrados por relojes
dependan tanto de ${dx^\mu}$ ($\sim$ velocidades) como de la
posici&oacute;n ($x$) en el espaciotiempo. Esto tendr&aacute; como consecuencia la
predicci&oacute;n, adem&aacute;s de dilataciones del tiempo usuales ($\sim$ velocidades, e.d. Doppler) de dilataciones (y/o contracciones) del tiempo de origen gravitacional, debido a
la inhomogeneidad de la m&eacute;trica del espaciotiempo en presencia de un campo gravitacional
no-trivial.

\subsection{Sobre coordenadas tipo espacio, tipo tiempo y tipo luz}

Se dice que una \textit{coordenada es tipo tiempo} si las curvas coordenadas asociadas (es decir, las curvas determinadas por variaciones de la coordenada en cuesti&oacute;n, dejando las otras coordenadas constantes) son tipo tiempo. Equivalentemente, $x^\mu$ (con un $\mu$ fijo) es una coordenada temporal si al variar esta coordenada (y dejando las otras constantes) $dx^\mu$ es tal que $ds^2>0$. De manera an&aacute;loga una \textit{coordenada es tipo luz} o \textit{tipo espacio} si sus l&iacute;neas coordenadas son tipo luz ($ds^2=0$) o tipo espacio ($ds^2<0$), respectivamente. Note que, ya que esta clasificaci&oacute;n de coordenadas depende del valor del intervalo, y por lo tanto de la m&eacute;trica, una coordenada puede ser tipo tiempo en una regi&oacute;n del espaciotiempo, pero tipo espacio o tipo luz en otra regi&oacute;n, o viceversa. Note adem&aacute;s que no es necesario que todo SC consista de una coordenada temporal y tres espaciales. Es posible y &uacute;til en algunas ocasiones usar, por ejemplo, una o m&aacute;s coordenadas tipo luz.

Por ejemplo, en la soluci&oacute;n (\ref{schiso}) $t$ es una coordenada temporal, mientras que $\rho, \theta$ y $\varphi$ son coordenadas espaciales en todo evento del espaciotiempo. Por otro lado, en la m&eacute;trica (\ref{Sch})  (suponiendo que ella es v&aacute;lida para todo valor de $r$) $t$ es una coordenada temporal y $r$ es una coordenada espacial s&oacute;lo en los eventos con $r>2m$, mientras que $\theta$ y $\varphi$ son siempre espaciales.


\section{L&iacute;mite Newtoniano}

En la teor&iacute;a de Einstein los cuerpos, libres de fuerzas no-gravitacionales, siguen geod&eacute;sicas del espaciotiempo.
Por otro lado, sabemos que la teor&iacute;a gravitacional de Newton describe con
gran precisi&oacute;n las trayectorias de cuerpos (macrosc&oacute;picos) en campos
gravitacionales como los encontrados en el sistema solar. En estas
circunstancias, los cuerpos se mueven a velocidades no-relativistas y el campo gravitacional puede considerarse como aproximadamente estacionario. Por lo
anterior, requerimos que la ecuaci&oacute;n de la geod&eacute;sica se reduzca a la
ecuaci&oacute;n de movimiento newtoniana en el l&iacute;mite no-relativista y de campos
gravitacionales d&eacute;biles y estacionario.

En RG, un campo gravitacional d&eacute;bil se describe por un espacio ``ligeramente
curvado''. En este caso, es posible considerar que la m&eacute;trica puede escribirse
como una ``perturbaci&oacute;n'' de la m&eacute;trica de Minkowski:
\begin{equation}\marginnote{Campo grav. d&eacute;bil}
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \qquad \left\vert h_{\mu\nu}\right\vert\ll
1 . \label{geh}
\end{equation}
Note que (\ref{geh}) est&aacute; escrita en coordenadas ``cuasi-cartesianas'',
$x^\mu:=(ct,\vec{x})$, en las que $\eta_{\mu\nu}=diag(1,-1,-1,-1)$.

Suponiendo que los cuerpos se mueven \textit{muy
lentamente}, es decir $|dx^i/dt| \ll c$, $i=1,2,3$, podemos aproximar $d\tau\approx dt$, y entonces $dx^0/d\tau\approx c$, $dx^i/d\tau\approx\,dx^i/dt$. Como esta aproximaci&oacute;n es correcta a orden 0 en $v^i/c$, es llamada ``l&iacute;mite est&aacute;tico''. Con esto la ecuaci&oacute;n de la geod&eacute;sica se reduce a
\begin{equation}
\frac{d^2x^\mu }{d\tau^2}+\Gamma_{\ 00}^\mu\frac{dx^0}{d\tau}\frac{dx^0%
}{d\tau}\approx 0,
\end{equation}
es decir, a
\begin{equation}
\frac{d^2x^\mu }{d\tau^2}+\Gamma_{\ 00}^\mu c^2\approx 0 . \label{egapp}
\end{equation}

Si adem&aacute;s consideramos que el campo gravitacional es \textit{estacionario}, en el
sentido que\footnote{Esto significa que suponemos que existe un \textit{vector de Killing tipo tiempo}, que en las coordenadas usadas asume la forma $\xi^\mu=(1,0,0,0)$.} $\partial_t h_{\mu\nu}=0$, entonces
\begin{eqnarray}
 \Gamma_{\ 00}^\mu &=&-\frac{1}2g^{\mu\nu}\partial_\nu g_{00} \\
&=&-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}
\partial_\nu\left( \eta_{00}+h_{00}\right) \\
&\approx&-\frac{1}2\eta^{\mu\nu}\partial_\nu h_{00}. \label{G00}
\end{eqnarray}
Reemplazando (\ref{G00}) en (\ref{egapp}) encontramos
\begin{eqnarray}
\frac{d^2x^\mu }{d\tau^2}&\approx& -\Gamma_{\ 00}^\mu c^2\\
&\approx& \frac{c^2}2\eta^{\mu\nu}\partial_\nu h_{00} .
\end{eqnarray}
Para la componente $\mu=0$, obtenemos
\begin{eqnarray}
\frac{d^2x^0}{d\tau^2}&\approx& \frac{c^2}2\eta^{0\nu}\partial_\nu h_{00}\\
&\approx& \frac{c^2}{2}\eta^{00}\partial_0 h_{00}\\
&\approx& \frac{c}{2}\partial_t h_{00}.
\end{eqnarray}
Ya que $dx^0/d\tau\approx c$ y $\partial_t h_{00}=0$, esta ecuaci&oacute;n es consistente,
pero no suministra informaci&oacute;n adicional en esta aproximaci&oacute;n. Las ecuaciones
restantes, con $\mu=i=1,2,3$, son
\begin{eqnarray}
\frac{d^2x^i}{d\tau^2}&\approx&\frac{c^2}{2}\eta^{i\nu}\partial_\nu h_{00} \\
&\approx&-\frac{c^2}{2}\partial_i h_{00},
\end{eqnarray}
o, en notaci&oacute;n vectorial,
\begin{equation}
 \frac{d^2\vec{x}}{dt^2}\approx -\frac{c^2}{2}\vec{\nabla}h_{00}.
\end{equation}
Esta ecuaci&oacute;n deber&iacute;a entonces coincidir, dentro de la aproximaci&oacute;n considerada,
con la ecuaci&oacute;n newtoniana que determina el movimiento del cuerpo de prueba, es decir, con (\ref{enmp}). De aqu&iacute;, podemos
identificar la componente $00$ de la perturbaci&oacute;n $h_{\mu\nu}$ como\footnote{Aqu&iacute; se ha considerado que tanto $h_{00}$ como $\phi$ se anulan muy lejos de la fuente del campo.}
\begin{equation}
h_{00}\stackrel{!}{=}\frac{2}{c^2}\phi, \label{h00phi}
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
\boxed{g_{00}\approx 1+\frac{2\phi}{c^2}.} \label{g00phi}
\end{equation}
Note que el an&aacute;lisis realizado entrega informaci&oacute;n, dadas las aproximaciones consideradas, s&oacute;lo de una componente de la m&eacute;trica, la componente $g_{00}$ en coordenadas cuasi-cartesianas. Las otras componentes son tambi&eacute;n no triviales, como puede comprobarse estudiando las ecuaciones linealizadas de Einstein. 
%Ver secci&oacute;n \ref{sec:CDNR}.

La consistencia de la relaci&oacute;n \eqref{g00phi} con la aproximaci&oacute;n (\ref{geh}) requiere que $|{\phi}/{c^2}|\ll 1$. Ya que el potencial (newtoniano) generado por una masa $M$ a una distancia $r$ es $|\phi|\approx {GM}/{r}$, entonces esta condici&oacute;n implica que ${GM}/{c^2r}\ll 1$. Como referencia, en la cercan&iacute;a de nuestro Sol tenemos que ${GM}/{c^2r}\approx {GM_\odot}{/c^2R_\odot}\sim 10^{-6}$.


\subsection{Redshift gravitacional en el l&iacute;mite newtoniano}\label{zg1}

Como un primer ejemplo, considere el caso en que el campo gravitacional es d&eacute;bil, de modo que podamos usar la aproximaci&oacute;n newtoniana (\ref{g00phi}). Consideraremos adem&aacute;s una fuente de radiaci&oacute;n en reposo en el punto con coordenadas (cuasi-cartesianas) $x^i_{\rm e}$ y un receptor en reposo en el punto con coordenadas $x^i_{\rm r}$. En otras palabras, las l&iacute;neas de mundo del emisor y receptor son de la forma $x^\mu_{\rm e}=(ct_{\rm e}(\tau_{\rm e}),x^i_{\rm e})$ y $x^\mu_{\rm r}=(ct_{\rm r}(\tau_{\rm r}),x^i_{\rm r})$. Los respectivos tiempos propios del emisor y receptor son entonces:
\begin{equation}
 d\tau_{\rm e}=\frac{1}{c}\sqrt{g_{00}(x_{\rm e})\,c^2\,dt^2_{\rm e}}\approx \sqrt{1+\frac{2\phi(x_{\rm e})}{c^2}}\,dt_{\rm e}\approx \left(1+\frac{\phi(x_{\rm e})}{c^2}\right)\,dt_{\rm e},
\end{equation}
\begin{equation}
 d\tau_{\rm r}=\frac{1}{c}\sqrt{g_{00}(x_{\rm r})\,c^2\,dt^2_{\rm r}}\approx \sqrt{1+\frac{2\phi(x_{\rm r})}{c^2}}\,dt_{\rm r}\approx \left(1+\frac{\phi(x_{\rm r})}{c^2}\right)\,dt_{\rm r}.
\end{equation}
Considere ahora la emisi&oacute;n de se&ntilde;ales luminosas desde el emisor hasta el receptor. Estas se&ntilde;ales se mueven a lo largo de curvas geod&eacute;sicas nulas desde $x^i_{\rm e}$ hasta $x^i_{\rm r}$. Si el campo gravitacional es estacionario, entonces puede verificarse f&aacute;cilmente que la diferencia de coordenadas temporales entre la emisi&oacute;n de dos pulsos, $ \Delta t_{\rm e}$, es igual a la diferencia de coordenadas temporales entre la recepci&oacute;n de &eacute;stos, $ \Delta t_{\rm r}$, es decir, $ \Delta t_{\rm r}= \Delta t_{\rm e}$. Un ejemplo expl&iacute;cito en el que se puede verificar esta propiedad ser&aacute; estudiado en la secci&oacute;n \ref{sec:redshift}. Con esto, podemos escribir
\begin{equation}
 \Delta\tau_{\rm e}\approx \left(1+\frac{\phi(x_{\rm e})}{c^2}\right)\, \Delta t_{\rm e},
\end{equation}
\begin{equation}
 \Delta\tau_{\rm r}\approx \left(1+\frac{\phi(x_{\rm r})}{c^2}\right)\, \Delta t_{\rm r},
\end{equation}
y entonces
\begin{equation}\label{zapp1}
\frac{\Delta\tau_{\rm r}}{\Delta\tau_{\rm e}} \approx \frac{1+\frac{\phi(x_{\rm r})}{c^2}}{1+\frac{\phi(x_{\rm e})}{c^2}}\approx \left(1+\frac{\phi(x_{\rm r})}{c^2}\right)\left(1-\frac{\phi(x_{\rm e})}{c^2}\right)\approx 1+\frac{\phi(x_{\rm r})}{c^2}-\frac{\phi(x_{\rm e})}{c^2},
\end{equation}
es decir,
\begin{equation}\label{zapp2}
\frac{\Delta\tau_{\rm r}}{\Delta\tau_{\rm e}} \approx 1+\frac{\Delta \phi}{c^2}.
\end{equation}
Este resultado muestra que \textit{un intervalo de tiempo respecto a un emisor es percibido con una duraci&oacute;n mayor por un receptor, en el caso que el receptor se encuentre en una regi&oacute;n con potencial gravitacional (newtoniano) mayor}. Es decir, $\Delta\tau_{\rm r}>\Delta\tau_{\rm e}$ si $\phi(x_{\rm r})>\phi(x_{\rm e})$ o, equivalentemente, $\Delta\phi>0$. Esto ocurre, por ejemplo, para se&ntilde;ales \textit{alej&aacute;ndose} de una masa que genera campo gravitacional\footnote{Recuerde que el potencial newtoniano (con la elecci&oacute;n de que se anule en el infinito) es \textit{negativo}.}. Como caso particular, los intervalos de tiempo pueden ser los correspondientes a un periodo de la radiaci&oacute;n emitida desde el emisor. En ese caso, $\Delta \tau_{\rm e}=1/\nu_{\rm e}$, donde $\nu_{\rm e}$ es la frecuencia de la radiaci&oacute;n emitida. Similarmente, $\Delta \tau_{\rm r}=1/\nu_{\rm r}$. Entonces,
%Usando adem&aacute;s $\lambda=c/\nu$, podemos expresar el efecto de la dilataci&oacute;n temporal en t&eacute;rminos del cambio de longitud de onda de la radiaci&oacute;n,
%\begin{equation}
%\frac{\lambda_{\rm r}}{\lambda_{\rm e}} \approx 1+\frac{\Delta \phi}{c^2},
%\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\nu_{\rm e}}{\nu_{\rm r}} \approx 1+\frac{\Delta \phi}{c^2},
\end{equation}
o, en t&eacute;rminos del \textit{redshift} $z:=(\nu_{\rm e}-\nu_{\rm r})/\nu_{\rm r}$, simplemente
\begin{equation}\marginnote{Redshift grav. campo d&eacute;bil}
\boxed{z \approx \frac{\Delta \phi}{c^2}.}\label{znorel}
\end{equation}

Este efecto fue derivado por primera vez por Einstein en 1907 \cite{Einstein07} a partir del Principio de Equivalencia y luego discutido en mayor detalle en \cite{Einstein11}, y fue confirmado experimentalmente (usando el efecto M\"ossbauer\footnote{Ver, por ejemplo, \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_M\%C3\%B6\%C3\%9Fbauer}.}) por primera vez por Pound y Rebka en 1960 \cite{PR60} con un redshift $z\sim 10^{-15}$ encontr&aacute;ndose que $(\Delta\nu)_{\rm exp}/(\Delta\nu)_{\rm teo}=1.05\pm 0.10$ y luego en 1964/1965 \cite{PS64,PS65} con emisores situados sobre la Tierra y receptores a aproximadamente 22.86 m de altura (correspondiendo a $z\approx -4.9\times 10^{-15}$) encontrando $(\Delta\nu)_{\rm exp}/(\Delta\nu)_{\rm teo}=0.9990\pm 0.0076$. Posteriormente, Snider \cite{Snider72} verific&oacute; la presencia del efecto  en el caso de la luz emitida desde el Sol ($z\sim 10^{-6}$). Actualmente, es necesario tomar en cuenta el redshift gravitacional que afecta a los sat&eacute;lites que conforman el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) para hacer posible su correcto funcionamiento. El actual ``record'' de la medici&oacute;n del efecto de redshift gravitacional producto de la diferencia de altura \textit{m&aacute;s peque&ntilde;a} ha sido reportado por C. W. Chou et al. \cite{Chou2010}, quienes han logrado verificar la predicci&oacute;n \eqref{znorel} con diferencias de altura de $h\approx 33$ cm !, gracias al uso de relojes &oacute;pticos ($z\sim 10^{-17}$).

\section{Ecuaciones de campo de Einstein}
Las ecuaciones de Einstein, es decir, las
ecuaciones de campo para el ``potencial gravitacional'' en la teor&iacute;a de
Einstein (e.d., la m&eacute;trica) fueron presentadas (sin constante cosmol&oacute;gica) en Noviembre de 1915 \cite{Einstein16} y son:
\begin{equation}\marginnote{Ecuaci&oacute;n de Einstein s/cte. cosmol&oacute;gica}
\boxed{R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.}
\label{EE1}
\end{equation}

Discutiremos ahora algunas \textit{motivaciones} para considerar estas ecuaciones como
modelo que determina c&oacute;mo el espaciotiempo se curva en
presencia de una distribuci&oacute;n de materia. Los argumentos que discutiremos
hacen que estas ecuaciones parezcan ``razonables'' dentro del marco general en
el que descansa la teor&iacute;a. No debe olvidarse, sin embargo, que en definitiva la
teor&iacute;a asume como \textit{postulado} la validez de estas ecuaciones de campo.
Si son o no &eacute;stas las ecuaciones correctas para describir la interacci&oacute;n gravitacional
s&oacute;lo puede decidirse \textit{a posteriori}, comparando las predicciones de la
teor&iacute;a as&iacute; construida, con las observaciones.

En el l&iacute;mite newtoniano, el campo gravitacional est&aacute; determinado por la
ecuaci&oacute;n de Poisson (\ref{Poisson}). En la teor&iacute;a de Einstein, por otro lado,
tenemos la relaci&oacute;n (\ref{h00phi}) en el mismo l&iacute;mite. Como la ecuaci&oacute;n de
Poisson es de segundo orden en la derivadas del potencial, entonces es natural
(y simple) suponer que las ecuaciones de campo para la geometr&iacute;a del
espaciotiempo sean ecuaciones diferenciales de segundo orden en las derivadas de
la m&eacute;trica. Espec&iacute;ficamente, en el l&iacute;mite no relativista las ecuaciones de campo deben reducirse a
\begin{equation}
 \nabla^2g_{00}\approx\frac{8\pi G}{c^2}\rho . \label{ecg00}
\end{equation}

Por otro lado, las ecuaciones buscadas deben ser covariantes bajo TGC's (puesto
que en un espacio curvo general, no hay coordenadas preferidas o ``m&aacute;s
simples'', de modo que es necesario poder escribirlas en coordenadas
arbitrarias. M&aacute;s a&uacute;n en este caso la m&eacute;trica es \textit{la inc&oacute;gnita}, es decir, desconocida a priori). Las &uacute;nicas combinaciones de segundas derivadas de la m&eacute;trica
que forman tensores son aquellas contenidas en el tensor de curvatura de
Riemann y sus tensores derivados (Ricci y escalar de curvatura). De esta forma,
esperamos que el lado izquierdo de (\ref{ecg00}) sea generalizado a alguna
combinaci&oacute;n adecuada de componentes del $R^\mu_{\ \nu\lambda\rho}$ y/o sus contracciones.
Adem&aacute;s, el ``lado derecho'' de la ecuaci&oacute;n requerida debe ser la
generalizaci&oacute;n covariante y relativista de la densidad de masa de la
distribuci&oacute;n que genera el campo. En RE la descripci&oacute;n completa y covariante (bajo TL's en ese caso) de la distribuci&oacute;n de energ&iacute;a-momentum de una distribuci&oacute;n es dada por el tensor de
energ&iacute;a-momentum $T_{\mu\nu}$. Naturalmente, en RG se supone que la fuente del campo gravitacional es el tensor de energ&iacute;a-momentum, y se considera que &eacute;ste es un tensor bajo TGC's, que se reduce a la expresi&oacute;n v&aacute;lida en RE en ausencia de gravitaci&oacute;n. Por esto, en el l&iacute;mite newtoniano, tenemos que $T_{00}\approx \rho c^2$. Con esto, podemos escribir la ecuaci&oacute;n de campo no-relativista como
\begin{equation}
 \nabla^2g_{00}\approx\frac{8\pi G}{c^4}T_{00} . \label{ecg00T}
\end{equation}
Todo lo anterior motiva a considerar una ecuaci&oacute;n de campo, relativista y
generalmente covariante para el campo gravitacional, de la forma
\begin{equation}
A_{\mu\nu}(g)=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} , \label{ecgmnT}
\end{equation}
donde $A_{\mu\nu}(g)$ es un tensor de tipo $(^0_2)$ \textit{sim&eacute;trico} construido a partir de la curvatura y sus contracciones. Las ecuaciones de Einstein son precisamente de esta forma.

Note que las ecuaciones de campo (\ref{EE1}) pueden escribirse, equivalentemente, como
\begin{equation}\label{EE3}
 R_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\left[ T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right],
\end{equation}
donde $T:=T^\mu_{\ \mu}=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$ es la traza del tensor de
energ&iacute;a-momentum de la materia. En esta forma, es simple verificar (h&aacute;galo!) que la ecuaci&oacute;n de campo se reduce a (\ref{Poisson}) en el l&iacute;mite newtoniano.

En el vac&iacute;o, es decir, en una regi&oacute;n libre de materia, las ecuaciones de
campo se reducen a la condici&oacute;n que el tensor de Ricci sea nulo:
\begin{equation}
 R_{\mu\nu}=0. \label{EEV}
\end{equation}

Note que las ecuaciones de campo en el vac&iacute;o (\ref{EEV}) admiten como
soluci&oacute;n un espaciotiempo de Minkowski, es decir, plano con
$g_{\mu\nu}\stackrel{*}{=}\eta_{\mu\nu}$ (en coordenadas pseudo-cartesianas). Sin embargo, existen soluciones no triviales (curvas) de (\ref{EEV}). &eacute;stas describen el campo
gravitacional \textit{fuera} de una distribuci&oacute;n de materia, incluyendo la posibilidad
de presencia de \textit{ondas gravitacionales}\footnote{Esto es an&aacute;logo al
caso electromagn&eacute;tico, donde las ondas electromagn&eacute;ticas son soluciones
no-triviales de las ecuaciones de Maxwell en el vac&iacute;o.}. En todo caso, se
supone que la m&eacute;trica es siempre \textit{Lorentziana}, es decir, que (en cada
punto, usando coordenadas geod&eacute;sicas) puede diagonalizarse a su forma est&aacute;ndar
de Minkowski.

Otra propiedad particular de las ecuaciones de Einstein, y que entrega argumentos a su favor, es que, debido a la identidad (\ref{dcG0}), el tensor de energ&iacute;a-momentum de la materia satisface
\begin{equation}
 \nabla_\mu T^{\mu\nu}= 0. \label{dcT0}
\end{equation}
Esta consecuencia de las ecuaciones de campo es la generalizaci&oacute;n a un campo
gravitacional no nulo de la ley de conservaci&oacute;n de la energ&iacute;a y el momentum
de un sistema. En efecto, en las coordenadas geod&eacute;sicas asociadas a un SRLI,  (\ref{dcT0}) se reduce a $\partial_\mu T^{\mu\nu}\stackrel{*}{=}0$, es decir, a la ley v&aacute;lida en RE para la conservaci&oacute;n de la energ&iacute;a y el momentum de un sistema aislado. Lo mismo ocurre, globalmente, en un espacio plano en coordenadas (pseudo-)cartesianas. Adicionalmente, es posible verificar que, en el caso que el tensor de energ&iacute;a-momentum $T^{\mu\nu}$ sea el de un fluido perfecto con presi&oacute;n despreciable (polvo), la identidad (\ref{dcT0}) se reduce, en el l&iacute;mite correspondiente, a la conocida ecuaci&oacute;n newtoniana de movimiento para un fluido en presencia de un campo gravitacional\footnote{Es decir, a $\partial(\rho\vec{v})/\partial t+\vec\nabla p=-\rho\vec\nabla\phi$.}. Finalmente, (\ref{dcT0}) implica que las part&iacute;culas que conforman el polvo se mueven siguiendo geod&eacute;sicas. Ver secci&oacute;n \ref{sec:FLG} para los detalles. Esta &uacute;ltima es una caracter&iacute;stica muy particular de la teor&iacute;a de Einstein de la gravitaci&oacute;n: las ecuaciones que rigen la din&aacute;mica del campo gravitacional determinan adem&aacute;s las ecuaciones de movimiento de los cuerpos sometidos a ese campo.

Una propiedad que diferencia sustancialmente a las ecuaciones de Einstein de
la ecuaci&oacute;n de Poisson de la teor&iacute;a newtoniana es que (\ref{EE1}) es un
sistema de (10) ecuaciones \textit{no-lineales} (para 10 inc&oacute;gnitas).
Usualmente, se interpreta esta nolinealidad de la teor&iacute;a de Einstein diciendo
que en ella \textit{toda la energ&iacute;a de un sistema} contribuye al campo
gravitacional generado, \textit{incluyendo la energ&iacute;a del propio campo
gravitacional}. Esta nolinealidad da origen a tipos de fen&oacute;menos completamente
nuevos respecto a la teor&iacute;a newtoniana, que se manifiestan, sin embargo,
cuando el campo gravitacional es muy intenso (r&eacute;gimen no-lineal). Note, sin embargo, que es necesario ser muy cuidadoso al hablar de ``la energ&iacute;a (y momentum) del campo gravitacional'', ya que la teor&iacute;a de RG no suministra una definici&oacute;n \textit{covariante} para estos conceptos. En otras palabras, la teor&iacute;a de RG no entrega una forma de definir un \textit{tensor de energ&iacute;a-momentum para el campo gravitacional} $T^{\mu\nu}_{\rm G}$ tal que ``la energ&iacute;a y el momentum total'' se conserven: $\partial_\mu(T^{\mu\nu}+T^{\mu\nu}_{\rm G})=0$. En RG por otro lado, la relaci&oacute;n  (\ref{dcT0}) suministra una ley de ``balance'' (o de ``no-conservaci&oacute;n'') para el tensor de energ&iacute;a-momentum de la materia, debido a la interacci&oacute;n gravitacional.

Es posible (y as&iacute; se ha hecho) considerar modificaciones de las ecuaciones de campo (\ref{EE1}). En particular, el mismo Einstein en 1917 \cite{Einstein17}, al aplicar su teor&iacute;a a escala cosmol&oacute;gica, consider&oacute; agregar un t&eacute;rmino adicional al lado izquierdo de (\ref{EE1}) que \textit{no altera la propiedad} (\ref{dcT0}). En efecto,
\begin{equation}\marginnote{Ecuaci&oacute;n de Einstein c/cte. cosmol&oacute;gica}
\boxed{R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R-\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi
G}{c^4}T_{\mu\nu}}
\label{EE2}
\end{equation}
tambi&eacute;n implica (\ref{dcT0}) ya que la derivada covariante de la m&eacute;trica es
id&eacute;nticamente nula. Aqu&iacute; $\Lambda$ es una constante, con dimensiones
$[\Lambda]=L^{-2}$ llamada \textit{constante cosmol&oacute;gica}, que no afecta las
predicciones a escalas del sistema solar si su valor es suficientemente peque&ntilde;o, pero tiene consecuencias importantes sobre la configuraci&oacute;n y din&aacute;mica del espaciotiempo a grandes escalas (comparadas con $|\Lambda|^{-1/2}$). En general, excepto cuando apliquemos la teor&iacute;a de Einstein a la cosmolog&iacute;a, trabajaremos con la ecuaci&oacute;n de campo sin constante cosmol&oacute;gica.

\subsection{Fluido perfecto sin presi&oacute;n y geod&eacute;sicas*}\label{sec:FLG}

En el caso que el tensor de materia describa un fluido perfecto sin presi&oacute;n
(polvo) de densidad (propia) $\rho$ y 4-velocidad
$u^\mu:={dx^\mu}/{d\tau}$, tenemos que
\begin{equation}
 T^{\mu\nu}=\rho\,u^\mu u^\nu,
\end{equation}
y, por lo tanto, la identidad (\ref{dcT0}) implica que
\begin{eqnarray}
 0&=&\nabla_\mu(\rho\,u^\mu u^\nu) \\
&=& \nabla_\mu(\rho\,u^\mu) u^\nu+ \rho\,u^\mu(\nabla_\mu u^\nu). \label{dcT2}
\end{eqnarray}
Contrayendo (\ref{dcT2}) con $u_\nu$, y usando $u_\mu u^\mu\equiv c^2$,
encontramos que
\begin{eqnarray}
 0&=&\nabla_\mu(\rho\,u^\mu) c^2+ \rho\,u^\mu(\nabla_\mu u^\nu)u_\nu,
\label{dcT3}
\end{eqnarray}
pero
\begin{eqnarray}
(\nabla_\mu u^\nu)u_\nu&=&\frac{1}{2}\nabla_\mu(u^\nu u_\nu)\\
&=&\frac{1}{2}\nabla_\mu(c^2) \\
&\equiv& 0,
\end{eqnarray}
de modo que (\ref{dcT3}) implica
\begin{equation}
 \nabla_\mu(\rho\,u^\mu)=0. \label{dcJ2}
\end{equation}
Esta relaci&oacute;n\footnote{... que puede escribirse equivalentemente como $\partial_\mu(\sqrt{|g|}\rho\,u^\mu)=0$.} es la generalizaci&oacute;n (covariante) de la ley de conservaci&oacute;n de
la 4-corriente asociada a las part&iacute;culas que conforman el fluido sin presi&oacute;n
al caso en que el campo gravitacional es no nulo. Finalmente, sustituyendo
(\ref{dcJ2}) en (\ref{dcT2}) encontramos que
\begin{equation}
 u^\mu(\nabla_\mu u^\nu)=0,
\end{equation}
que no es m&aacute;s que la expresi&oacute;n abreviada para la ecuaci&oacute;n de la geod&eacute;sica.


\section{La soluci&oacute;n de Schwarzschild}\label{solucion_sch}

Una soluci&oacute;n de particular importancia es la soluci&oacute;n
independiente del tiempo y esf&eacute;ricamente sim&eacute;trica, conocida como soluci&oacute;n de
Schwarzschild. &eacute;sta describe el campo gravitacional fuera de una masa
esf&eacute;ricamente sim&eacute;trica en reposo. Fue encontrada por Schwarzschild\footnote{Karl
Schwarzschild (1873-1916): F&iacute;sico y astr&oacute;nomo alem&aacute;n. Ver
\url{http://es.wikipedia.org/wiki/Karl\_Schwarzschild}.} a fines del a&ntilde;o 1915.

La condici&oacute;n de que el campo gravitacional, es decir, el espaciotiempo tenga
simetr&iacute;a esf&eacute;rica significa que existen tres vectores de Killing tipo espacio que satisfacen el &aacute;lgebra del grupo de rotaciones tridimensionales, $so(3)$. Bajo estos supuestos es posible probar\footnote{Ver, por ejemplo, secci&oacute;n 8.1 de \cite{Wei72}, y/o secci&oacute;n 10.1 de \cite{FC} para mayores detalles.} el siguiente resultado:

\begin{quotation}
{\bf Teorema:} En un espaciotiempo 4-dimensional esf&eacute;ricamente sim&eacute;trico
siempre es posible definir coordenadas\footnote{Con los rangos de variaci&oacute;n usuales para coordenadas angulares: $0\le\theta<\pi$ y $0\le\varphi <2\pi$.} $x^\mu=(ct,r,\theta,\varphi)$ tal
que el elemento de l&iacute;nea asuma la forma
\begin{equation}\label{dsoriginal}
ds^2=A(r,t)(dx^0)^2-B(r,t)dr^2-r^2\left[ d\theta^2+\sen^2\theta
\,d\varphi^2\right],
\end{equation}
donde $A(r,t)$ y $B(r,t)$ son funciones de la coordenada radial $r$ y,
eventualmente, de la coordenada temporal $t$.
\end{quotation}

En algunas aplicaciones particulares es conveniente escribir las funciones
$A$ y $B$ como
\begin{equation}\label{funcionesmetrica}
A(r,t) =e^{\alpha(r,t)}, \qquad B(r,t) =e^{\beta(r,t)},
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}\label{ds2_rt}
ds^2=e^{\alpha(r,t)} (dx^0)^2-e^{\beta(r,t)} dr^2-r^2\left[
d\theta^2+\sen^2\theta\, d\varphi^2\right],
\end{equation}
de donde vemos que el tensor m&eacute;trico, en estas coordenadas, es diagonal y puede
ser escrito como
\begin{equation}
g_{\mu\nu}=%
\begin{pmatrix}
e^\alpha& 0 & 0 & 0\\
0 & -e^\beta & 0 & 0\\
0 & 0 & -r^2 & 0\\
0 & 0 & 0 & -r^2\sen^2\theta
\end{pmatrix}.
\end{equation}
La m&eacute;trica inversa es entonces:
\begin{equation}
g^{\mu\nu}=%
\begin{pmatrix}
e^{-\alpha} & 0 & 0 & 0\\
0 & -e^{-\beta} & 0 & 0\\
0 & 0 & -r^{-2} & 0\\
0 & 0 & 0 & -r^{-2}\sen^{-2}\theta
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Las componentes no nulas (y linealmente independientes) de la conexi&oacute;n, en las
coordenadas usadas, son:
\begin{align}
\Gamma_{\ 00}^0 & =\frac{\dot{\alpha}}{2c}, \qquad
\Gamma_{\ 01}^0 =\frac{\alpha'}{2}, \qquad
\Gamma_{\ 01}^1 =\frac{\dot{\beta}}{2c}, \qquad
\Gamma_{\ 11}^1 =\frac{\beta'}{2}, \qquad
\Gamma_{\ 22}^1 =-re^{-\beta}, \label{gammas1_sch}\\
\Gamma_{\ 11}^0 & =\frac{\dot{\beta}}{2c}e^{(\beta-\alpha)}, \qquad
\Gamma_{\ 33}^1 =-r\sen^2\theta e^{-\beta}, \qquad
\Gamma_{\ 12}^2 =\frac{1}{r},\label{gammas2_sch}\\
\Gamma_{\ 00}^1 & =\frac{\alpha'}{2} e^{(\alpha-\beta)}, \qquad
\Gamma_{\ 13}^3 =\frac{1}{r}, \qquad
\Gamma_{\ 23}^3 =\cot\theta, \qquad
\Gamma_{\ 33}^2 =-\sen\theta\cos\theta .\label{gammas3_sch}
\end{align}

De igual forma, se tiene que las componentes no nulas del tensor de Ricci son:
\begin{align}
R_{00} & =-\frac{1}{4c^2}\left[ 2\ddot{\beta}-\dot{\beta}\dot{\alpha}%
+\dot{\beta}^2\right] +\frac{1}2e^{(\alpha-\beta)}
\left[\alpha^{\prime\prime}-\frac{\beta'\alpha'}{2}+\frac{2\alpha'}%
{r}+\frac{\alpha^{\prime2}}2\right] \label{ricci00},\\
R_{11} & =\frac{1}{4c^2}e^{(\beta-\alpha)} \left[ 2\ddot{\beta}%
-\dot{\beta}\dot{\alpha}+\dot{\beta}^2\right] -\frac{1}2\left[
\alpha^{\prime\prime}-\frac{\beta'\alpha'}2-\frac{2\beta'%
}{r}+\frac{\alpha^{\prime2}}2\right] ,\label{ricci11}\\
R_{22} & =1-e^{-\beta} \left[ 1-\frac{1}2r\beta
'+\frac{1}2r\alpha'\right] ,\label{ricci22}\\
R_{33} & =\sen^2\theta\, R_{22} ,\label{ricci33}\\
R_{01} &= \frac{\dot{\beta}}{cr}.\label{ricci01}
\end{align}
Con esto, el escalar de curvatura es:
\begin{eqnarray}
R &=& e^{-\beta}\left[
\alpha^{\prime\prime}+\frac{1}{2}\alpha^{\prime2}-\frac{1}2\beta'\alpha'+\frac{
2\alpha'}{r}-\frac{2\beta'}{r} +\frac2{r^2}\right] -\frac2{r^2}
-\frac{e^{-\alpha}}{2c^2} \left[ 2\ddot{\beta}-\dot{\beta}%
\dot{\alpha}+\dot{\beta}^2\right].
\end{eqnarray}
Conocidos $R_{\mu\nu}$ y $R$ podemos calcular $G_{\mu\nu}$. As&iacute; obtenemos,
\begin{align}
G_{00} & =e^{\alpha-\beta}\left[ \frac{\beta'}{r}-\frac{1}{r^2}\right]
+\frac{1}{r^2}e^\alpha, \\
G_{01} &= \frac{\dot{\beta}}{cr},\label{g01b}\\
G_{11} &=\frac{\alpha'}{r}+\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r^2}e^{\beta} ,\label{g11}\\
G_{22} & =-e^{-\beta} \left[ \frac{r^2}{4}\alpha^{\prime
}\beta'-\frac{r^2}{4}\alpha^{\prime2}-\alpha^{\prime\prime}\frac{r^2}{2}-\frac{r}{2}\left( \alpha^{\prime}-\beta'\right) \right] -\frac{r^2}{4c^2}e^{-\alpha}\left[2\ddot{\beta}-\dot{\beta}\dot{\alpha}
+\dot{\beta}^2\right] \\
G_{33} & =\sen^2\theta\, G_{22}.
\end{align}
% Por conveniencia es &uacute;til obtener $G_\mu ^\nu $%
% \begin{align}
% G_{\ 0}^0 & =-e^{-\beta} \left[ \frac{1}{r^2}%
% -\frac{\beta'}{r}\right] +\frac{1}{r^2},\\
% G_{\ 0}^1 & =-\frac{1}2e^{-\beta} \frac{\beta}{r},\\
% G_{\ 1}^1 & =-e^{-\beta} \left[ \frac{\alpha'}{r}%
% +\frac{1}{r^2}\right] +\frac{1}{r^2},\\
% G_{\ 2}^2 & =-\frac{1}2e^{-\beta} \left[ \alpha^{\prime
% \prime}+\frac{1}2\alpha^{\prime2}-\frac{1}2\beta'\alpha'%
% +\frac{\alpha'-\beta'}{r}\right] +\frac{1}{2}e^{-\alpha} \left[
% \ddot{\beta}-\frac{\dot{\beta}\dot{\alpha}}2+\frac
% {\dot{\beta}^2}2\right] ,\\
% G_{\ 3}^3 & =G_{\ 2}^2.
% \end{align}


\subsection{Soluci&oacute;n de Schwarzschild Exterior}

Las ecuaciones del campo gravitatorio se pueden resolver exactamente en
el caso de un campo central en el vac&iacute;o, es decir, fuera de las masas que
generan el campo.

En efecto, en el vac&iacute;o las ecuaciones de Einstein se reducen a
\begin{eqnarray}
0&=& \frac{1}{r^2}-\frac{\beta'}{r}-\frac{e^\beta}{r^2}, \label{ecS1}\\
0&=& \dot{\beta}, \label{ecS2}\\
0&=& \frac{1}{r^2}+\frac{\alpha'}{r}-\frac{e^\beta}{r^2}, \label{ecS3}\\
0&=& e^{-\beta} \left[\alpha^{\prime\prime}+\frac{1}2\alpha^{\prime2}
-\frac{1}2\beta'\alpha'+\frac{ \alpha'-\beta'}{r}\right] -\frac{e^{-\alpha}}{c^2} \left[
\ddot{\beta}-\frac{\dot{\beta}\dot{\alpha}}2+\frac{\dot{\beta}^2}2\right].
\label{ecS4}
\end{eqnarray}
Puede verificarse (h&aacute;galo!) que la &uacute;ltima de estas ecuaciones se sigue de las
anteriores y, por lo tanto, no suministra informaci&oacute;n adicional. Restando
(\ref{ecS1}) y (\ref{ecS3}) obtenemos
\begin{equation}
 \frac{\alpha'}{r}+\frac{\beta'}{r} =0,
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial r}\left( \alpha(r,t) +\beta(r,t) \right)
 =0.
\end{equation}
Esta ecuaci&oacute;n implica entonces que
\begin{equation}
\alpha(r,t) +\beta(r,t) =f(t), \label{abf}
\end{equation}
con $f(t)$ una funci&oacute;n dependiente s&oacute;lo de la coordenada temporal. Por otro
lado, de (\ref{ecS2}) obtenemos que $\beta(r,t) =\beta(r)$. Con esto,
(\ref{abf}) implica que
\begin{equation}
\alpha(r,t) =f(t)-\beta(r). \label{sep}
\end{equation}
Como consecuencia de la separaci&oacute;n (\ref{sep}), la funci&oacute;n $f(t)$
puede ser elegida, sin p&eacute;rdida de generalidad, como $f(t)=0$\footnote{Usando
(\ref{sep}) el elemento de l&iacute;nea puede escribirse como
$ds^2=e^{\tilde\alpha(r)}e^{f(t)}(dx^0)^2-e^\beta dr^2-r^2d\Omega^2$. El factor
$e^{f(t)}$ puede ser eliminado realizando un cambio de la coordenada
temporal: $\bar{x}^0=\bar{x}^0(x^0)$, con $\frac{d\bar{x}^0}{dx^0}=e^{f/2}$, de
modo que $ds^2=e^{\tilde\alpha(r)}(d\bar{x}^0)^2-e^\beta dr^2-r^2d\Omega^2$.}.
Por lo tanto,
\begin{equation}
 \alpha(r)=-\beta(r). \label{aimb}
\end{equation}
Observamos que (\ref{aimb}) implica que las componentes de la m&eacute;trica ser&aacute;n
independientes de la coordenada temporal.

La condici&oacute;n (\ref{aimb}) implica que (\ref{ecS1}) se reduce a (\ref{ecS3})
que, en t&eacute;rminos de $A=e^{\alpha}$ adopta la forma
\begin{equation}
 rA'+A-1=0.
\end{equation}
Definiendo $u:=A-1$ esta ecuaci&oacute;n se reduce a&uacute;n m&aacute;s a
\begin{equation}
 ru'+u=0,
\end{equation}
que tiene como soluci&oacute;n a
\begin{equation}
 u(r)=-\frac{2m}{r}, \label{solu}
\end{equation}
donde $m$ es una constante (con dimensiones de distancia), y el factor $-2$
 (\ref{solu}) es introducido por conveniencia posterior. Con esto,
podemos reconstruir la soluci&oacute;n completa. El elemento de l&iacute;nea correspondiente
a la soluci&oacute;n de las ecuaciones en el vac&iacute;o es
\begin{equation}\marginnote{Schwarzschild coord. de curvatura}
\boxed{ds^2=\left( 1-\frac{2m}{r}\right) (cdt)^2-\frac{dr^2}{\left( 1-\frac
{2m}{r}\right) }-r^2\left[ d\theta^2+\sen^2\theta d\varphi^2\right].}
\label{Sch}
\end{equation}
Equivalentemente,
\begin{align}
g_{00} & =1-\frac{2m}{r},\\
g_{11} & =-\left( 1-\frac{2m}{r}\right) ^{-1},\\
g_{22} & =-r^2,\\
g_{33} & =-r^2\sen^2\theta.
\end{align}
\begin{quotation}
\textbf{Teorema de Birkhoff\footnote{George David Birkhoff: 1884-1944, Matem&aacute;tico Estadounidense. Ver \url{http://en.wikipedia.org/wiki/G._D._Birkhoff}.}}: \textit{Toda soluci&oacute;n esf&eacute;ricamente sim&eacute;trica de las ecuaciones de campo de Einstein en el vac&iacute;o es necesariamente est&aacute;tica, es decir, independiente del tiempo, y asintoticamente plana}.
\end{quotation}

Para identificar f&iacute;sicamente la constante $m$ podemos considerar el
campo a distancias muy grandes de la fuente, de modo que el campo
gravitacional sea d&eacute;bil y podamos usar la relaci&oacute;n (\ref{g00phi}). Por
tanto, para $r\gg 2m$ tenemos,
\begin{equation}
g_{00}=1-\frac{2m}{r}\approx 1+\frac{2\phi}{c^2}.
\end{equation}
Con esto obtenemos que el potencial newtoniano (es decir, en el l&iacute;mite de
campo d&eacute;bil) correspondiente a la soluci&oacute;n encontrada es
\begin{equation}
 \phi=-\frac{mc^2}{r}.
\end{equation}
&eacute;ste es un potencial ``coulombiano'', es decir, que decae proporcionalmente a $1/r$. Ya que en la teor&iacute;a de Newton el potencial de un cuerpo esf&eacute;ricamente  sim&eacute;trico de masa total $M$ es $\phi=-{GM}/ {r}$, podemos identificar
\begin{equation}\label{masa_sch}
 \boxed{m\stackrel{!}{=}\frac{GM}{c^2}.}
\end{equation}
La constante $2m$, es frecuentemente llamada \textit{radio de Schwarzschild}
del cuerpo de masa $M$. La escala de distancias que $2m$ determina tiene importantes propiedades, ya que por ejemplo que cuando $r=2m$ parece haber una
 ``singularidad en la m&eacute;trica''. En general, en la teor&iacute;a de RG, cada cuerpo tiene una cierta distancia caracter&iacute;stica asociada a su masa. Por ejemplo, para el Sol y la Tierra,
\begin{align}
2m_{\odot} & =\frac{2GM_\odot}{c^2}\approx 3 {\rm\ km},\\
2m_{T} & =\frac{2GM_T	}{c^2}\approx 0.9{\rm \ cm}.
%,\\
%2m_{e^-} & =\frac{2GM_e}{c^2} \approx 13.5\times10^{-56} {\rm \ cm}.
\end{align}
Note, sin embargo, que en el caso del Sol, la Tierra, y de hecho casi todos los objetos astron&oacute;micos, el radio de Schwarzschild correspondiente es mucho menor que el tama&ntilde;o de la distribuci&oacute;n de materia correspondiente. En otras palabras, en estos casos no es v&aacute;lido considerar la soluci&oacute;n de Schwarzschild con $r=2m$ ya que esta soluci&oacute;n es v&aacute;lida s&oacute;lo en el vac&iacute;o, lo que impone $r\ge R$, donde $R>2m$ es la coordenada radial de la superficie de la distribuci&oacute;n de materia que es fuente del campo gravitacional.

La soluci&oacute;n de Schwarzschild posee las siguientes propiedades:
\begin{itemize}
\item Es esf&eacute;ricamente sim&eacute;trica.
\item Es est&aacute;tica (describe el campo gravitacional estacionario generado por \textit{fuentes est&aacute;ticas}).
\item Es asint&oacute;ticamente plana: $ds^2\to c^2dt^2-dr^2-r^2(d\theta^2+\sen^2\theta\,d\varphi^2)$ para $r\to\infty$. M&aacute;s precisamente $R^\mu_{\ \nu\lambda\rho}\to 0$ para $r\to\infty$.
\end{itemize}


\subsection{Soluci&oacute;n de Schwarzschild en coordenadas isotr&oacute;picas}

Las coordenadas $(ct,r,\theta,\varphi)$ son usualmente llamadas ``coordenadas de curvatura'' y en ellas la m&eacute;trica de Schwarzschild asume una forma relativamente simple.
Una caracter&iacute;stica de la teor&iacute;a de RG es que siempre tenemos a
nuestra disposici&oacute;n muchos (en realidad, infinitos) sistemas coordenados. Una
buena raz&oacute;n para buscar un conjunto alternativo de coordenadas para el espaciotiempo de Schwarzschild es que podr&iacute;amos escribir $ds^2$ en un sistema coordenado is&oacute;tropo en el que la secci&oacute;n espacial ($t=$cte.) sea proporcional a la usual distancia euclideana:
\begin{equation}
ds^2=\tilde{A}\,(cdt)^2-\tilde{B}\,d\ell^2_{R^3} ,
\end{equation}
donde $d\ell^2_{R^3}=dx^2+dy^2+dz^2$ en coordenadas ``cuasi''-cartesianas, o
$d\ell^2_{R^3}=d\rho^2+\rho^2(d\theta^2+\sen^2\theta\,d\varphi^2)$ en coordenadas
``cuasi''-esf&eacute;ricas, con $x=\rho\sen\theta\cos\varphi$, $y=\rho\sen\theta\sen\varphi$ y $z=\rho\cos\theta$.
Entonces, las coordenadas isotr&oacute;picas que buscamos deben ser tales que el elemento de l&iacute;nea adopte la forma
\begin{equation}
ds^2=\tilde{A}(\rho)\,(cdt)^2-\tilde{B}(\rho)\left[d\rho^2+\rho^2(d\theta^2+\sen^2\theta\,d\varphi^2)\right] .\label{dsisot}
\end{equation}
Comparando (\ref{dsisot}) con (\ref{Sch}) encontramos las siguientes condiciones:
\begin{equation}
 \tilde{A}(\rho)=1-\frac{2m}{r}, \label{ci1}
\end{equation}
\begin{equation}
 \tilde{B}(\rho)\,d\rho^2=\left(1-\frac{2m}{r}\right)^{-1}\,dr^2, \label{ci2}
\end{equation}
\begin{equation}
 \tilde{B}(\rho)\,\rho^2=r^2. \label{ci3}
\end{equation}
Estas condiciones son satisfechas si ambos sistemas de coordenadas est&aacute;n relacionados por una simple transformaci&oacute;n de la coordenadas radial, de la forma $\rho=\rho(r)$. La condici&oacute;n (\ref{ci2}) suministra una ecuaci&oacute;n diferencial para $\rho(r)$. Conocida esta relaci&oacute;n, las funciones $\tilde{A}$ y $\tilde{B}$ quedan determinadas por las condiciones (\ref{ci1}) y (\ref{ci3}), respectivamente. Usando (\ref{ci3}) y suponiendo que $d\rho/dr>0$ y $r>2m$ podemos reescribir (\ref{ci2}) como
\begin{equation}
 \frac{d\rho}{\rho}=\frac{dr}{\sqrt{r(r-2m)}}, \qquad r>2m.
\end{equation}
Integrando esta relaci&oacute;n\footnote{$\int dr/\sqrt{r(r-2m)}=\ln\left|r-m+\sqrt{r^2-2mr}\right|$.} obtenemos, luego de algo de &aacute;lgebra
% \begin{equation}
% \ln\rho+cte =\ln\left(\sqrt{r^2-2mr}+r-m \right)
% \end{equation}
% \begin{equation}
% 2\rho =\sqrt{r^2-2mr}+\left( r-m\right)
% \end{equation}
\begin{equation}
r =\beta\rho\left(1+\frac{m}{2\beta\rho}\right)^2 ,
\end{equation}
donde $\beta$ es una constante, relacionada con la escala elegida para la coordenada radial $\rho$. Sin perder generalidad, podemos elegir esta constante de modo que asint&oacute;ticamente se aproxime a la usual coordenada radial esf&eacute;rica en un espacio plano. Esto requiere que $\tilde{B}\to 1$ para $\rho\to\infty$ o, equivalentemente, que $\rho/r\to 1$. As&iacute; obtenemos $\beta=1$ y con esto
\begin{equation}
r =\rho\left(1+\frac{m}{2\rho}\right)^2, \qquad \rho>\frac{m}{2} , \label{riso}
\end{equation}
\begin{equation}
 \tilde{B}=\left(1+\frac{m}{2\rho}\right)^4.
\end{equation}
Finalmente, reemplazando (\ref{riso}) en (\ref{ci1}) encontramos la otra funci&oacute;n requerida:
\begin{equation}
 \tilde{A}= \frac{\left(1-\frac{m}{2\rho}\right)^2}{\left(1+\frac{m}{2\rho}\right)^2}.
\end{equation}
Resumiendo, el elemento de l&iacute;nea de la soluci&oacute;n de Schwarzschild exterior en coordenadas isotr&oacute;picas tiene la forma:
\begin{equation}\marginnote{Schwarzschild coord. isotr&oacute;picas}
\boxed{ds^2=\frac{\left(1-\frac{m}{2\rho}\right)^2}{\left(1+\frac
{m}{2\rho}\right)^2}\,(cdt)^2-\left(1+\frac{m}{2\rho}\right)^{4}\left[ d\rho^2+\rho^2\left( d\theta^2+\sen^2\theta d\varphi
^2\right) \right], \qquad \rho>\frac{m}{2},} \label{schiso}
\end{equation}
o, alternativamente,
\begin{equation}
ds^2=\frac{\left(1-\frac{m}{2\rho}\right)^2}{\left(1+\frac
{m}{2\rho}\right)^2}\,(cdt)^2-\left(1+\frac{m}{2\rho}\right)^{4}\left[dx^2+dy^2+dz^2\right], \qquad \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\label{schiso2}
\end{equation}

% \subsection{Singularidades en la m&eacute;trica de Schwarzschild}
%
% Al observar el elemento de l&iacute;nea
% \begin{equation}
% ds^2=-\left( 1-\frac{2M}{r}\right) dt^2+\left( 1-\frac{2M}{r}\right)
% ^{-1}dr^2+r^2d\Omega ^2
% \end{equation}%
% nos percatamos de que $g_{tt}\rightarrow \infty $ cuando $r\rightarrow 0$ y
% que $\left\vert g_{rr}\right\vert \rightarrow \infty $ cuando $r\rightarrow
% 2M$, se&ntilde;alando la ocurrencia de algo extra&ntilde;o en estos radios. Sin
% embargo, los coeficientes m&eacute;tricos son dependientes de la elecci&oacute;n
% del sistema coordenado, y no son por lo tanto cantidades f&iacute;sicamente
% relevantes. Sin embargo, si calculamos el invariante de curvatura
% \begin{equation}
% R^{\mu\nu\rho \sigma }R_{\mu\nu\rho \sigma }=\frac{48M^2}{r^6},
% \end{equation}%
% vemos inmediatamente que diverge para $r\rightarrow 0$, convenci&eacute;ndonos
% que este radio representa una leg&iacute;tima singularidad f&iacute;sica. Esto
% era de alg&uacute;n modo esperable, ya que hemos considerado una masa puntual $%
% M $ ubicada en el origen de coordenadas.
%
% Interesantemente, ning&uacute;n invariante de curvatura se hace infinito para $%
% r=2M$, lo cual nos induce a pensar que no es realmente singular, sino que
% hemos simplemente escogido un mal sistema coordenado. M&aacute;s adelante
% llevaremos a cabo un estudio de las geod&eacute;sicas de la geometr&iacute;a de
% Schwarzschild, y mostraremos que un observador en una geod&eacute;sica radial
% puede cruzar $r=2M$ en un intervalo finito de su tiempo propio. Finalmente,
% construiremos un sistema de coordenadas en el cual no hay ninguna
% singularidad en $r=2M$, y el cual permite exhibir de modo transparente la
% estructura causal de la geometr&iacute;a.

\subsection{Geod&eacute;sicas en la geometr&iacute;a de Schwarzschild}

Para considerar la ecuaci&oacute;n de las geod&eacute;sicas necesitamos evaluar los
s&iacute;mbolos de Christoffel para la m&eacute;trica de Schwarzschild, en coordenadas de curvatura. Las componentes no nulas son:
\begin{eqnarray}
\Gamma_{\ 01}^{0} &=&\frac{m}{r(r-2m) },\qquad \Gamma_{\
00}^1=\frac{(r-2m) m}{r^3},\qquad \Gamma_{\ 11}^1=-\frac{m}{r\left(
r-2m\right) }, \nonumber \\
\Gamma_{\ 22}^1 &=&-(r-2m) ,\qquad \Gamma_{\ 33}^1=-\left(
r-2m\right) \sen ^2\theta ,\qquad \Gamma_{\ 12}^2=\frac{1}{r}, \nonumber \\
\Gamma_{\ 33}^2 &=&-\sen \theta \cos \theta ,\qquad
\Gamma_{\ 13}^3=\frac{1}{r},\qquad \Gamma_{\ 23}^3=\frac{\cos\theta}{\sen
\theta}.
\end{eqnarray}

\subsection{Geod&eacute;sicas tipo tiempo}
En este caso, parametrizamos las geod&eacute;sicas usando el tiempo propio $\tau$ sobre ellas, $x^\mu=x^\mu(\tau)$. Con esto, las ecuaciones adoptan la siguiente forma expl&iacute;cita:
\begin{eqnarray}
\ddot{t}+\frac{2m}{r(r-2m) }\,\dot{t}\,\dot{r}&=&0, \label{egS0}\\
\ddot{r}+\frac{mc^2(r-2m)}{r^3}\,\dot{t}^2-\frac{m}{r\left(
r-2m\right) }\,\dot{r}^2-(r-2m) \left[ \dot{\theta}^2+\sen
^2\theta \dot{\varphi}^2\right] &=&0, \label{egS1}\\
\ddot{\theta}+\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}-\sen \theta \cos \theta
\dot{\varphi}^2 &=&0, \label{egS2}\\
\ddot{\varphi}+\frac2{r}\dot{r}\dot{\varphi}+2\frac{\cos\theta}{\sen\theta}
\dot{\theta}\dot{\varphi}&=&0,\label{egS3}
\end{eqnarray}%
donde hemos denotado $\dot{f}:={df}/{d\tau}$.

Las ecuaciones (\ref{egS0}) y (\ref{egS3}) son equivalentes a
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)} \frac{d\ }{d\tau}\left[\left(1-\frac{2m}{r}\right)\dot{t}\right]&=&0,\\
\frac{1}{r^2\sen^2\theta} \frac{d\ }{d\tau}\left[r^2\sen^2\theta\dot{\varphi}\right]&=&0.
\end{eqnarray}
En esta forma, es claro que ambas ecuaciones implican la existencia de \textit{dos constantes del movimiento} (es decir, cantidades que asumen el mismo valor en todos los puntos de la l&iacute;nea de mundo asociada a la geod&eacute;sica considerada). Por simplicidad introduciremos dos constantes adimensionales, $k$ y $h$, definidas por
\begin{equation}\marginnote{cantidades conservadas}
 k:=\left(1-\frac{2m}{r}\right)\dot{t}, \qquad hmc:=r^2\sen^2\theta\dot{\varphi},
\label{kh}
\end{equation}
cuyos valores quedan determinados por las condiciones iniciales del movimiento.
Estas constantes est&aacute;n relacionadas con las usuales definiciones newtonianas de la energ&iacute;a y momentum angular por unidad de masa del cuerpo orbitando, las que pueden recobrarse en los l&iacute;mites apropiados\footnote{Es decir, campo d&eacute;bil $r\gg 2m$ y velocidades norelativistas $|dr/dt|\ll c$, $r|d\theta/dt|\ll c$ y $r|d\varphi/dt|\ll c$.} a partir de ${\cal E}=kc^2$ y ${\cal L}=hmc$, respectivamente. Por esto, llamaremos a $k$ y $h$ las \textit{constantes de energ&iacute;a y momentum angular}, respectivamente.

Adem&aacute;s, tal como en el caso newtoniano (ver ap&eacute;ndice \ref{app:Kepler}) es directo verificar que la &oacute;rbita est&aacute; contenida en un plano. Esto se manifiesta en que si inicialmente el movimiento est&aacute; contenido en un plano, que dada la simetr&iacute;a del problema, podemos elegir como el plano ecuatorial, es decir, $\theta(0)=\pi/2$ y $\dot\theta(0)=0$ entonces
(\ref{egS3}) implica que $\ddot\theta(0)=0$, y (tomando las derivadas sucesivas), que todas las derivadas superiores de $\theta$ son nulas: en otras palabras, que
\begin{equation}
\theta(\tau)=\frac{\pi}{2} \label{thetapi2}
\end{equation}
es una soluci&oacute;n para todo $\tau$. Con lo anterior, s&oacute;lo la ecuaci&oacute;n radial
(\ref{egS1}) debe ser a&uacute;n resuelta.

Adicionalmente, podemos considerar la identidad
\begin{equation}
g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}\equiv c^2,
\end{equation}
que suministra la siguiente relaci&oacute;n entre las derivadas de las coordenadas sobre la
trayectoria:
\begin{equation}
 \left(1-\frac{2m}{r}\right)c^2\dot{t}^2
-\frac{\dot{r}^2}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)}-r^2\dot{\varphi}^2=c^2.
\label{uuc2p}
\end{equation}


Usando (\ref{kh}) y (\ref{thetapi2}) podemos reescribir (\ref{egS1}) y
(\ref{uuc2p}) como
\begin{equation}
\ddot{r}+\frac{mc^2k^2}{r(r-2m)}-\frac{m}{r(r-2m)}\,
\dot{r}^2-h^2m^2c^2\frac{(r-2m)}{r^4} =0,
\label{egS1b}
\end{equation}
\begin{equation}
 \dot{r}^2=k^2c^2-c^2\left(1-\frac{2m}{r}\right)\left(1+\frac{h^2m^2}{r^2}
\right). \label{uuc22}
\end{equation}
Puede verificarse (h&aacute;galo!) que (\ref{uuc22}) implica la condici&oacute;n (\ref{egS1b}). Por lo tanto, s&oacute;lo es necesario resolver (\ref{uuc22}). El an&aacute;lisis de la condici&oacute;n (\ref{uuc22}) se simplifica usando el \textit{m&eacute;todo del potencial efectivo}.

\subsubsection{Potencial Efectivo}
Definimos el ``potencial efectivo''
\begin{equation}\marginnote{Potencial Efectivo}
 \tilde{V}(r):=\left(1-\frac{2m}{r}\right)\left(1+\frac{h^2m^2}{r^2}
\right),
\end{equation}
de modo que (\ref{uuc22}) puede reescribirse como
\begin{equation}
 \frac{\dot{r}^2}{c^2}=k^2-\tilde{V}(r).
\label{uuc23}
\end{equation}
Esta relaci&oacute;n es \textit{an&aacute;loga} a la condici&oacute;n de conservaci&oacute;n de la energ&iacute;a mec&aacute;nica de un cuerpo en un movimiento unidimensional no-relativista:
\begin{equation}
 v^2=\frac{2}{m}(E-V).
\end{equation}
As&iacute;, la relaci&oacute;n (\ref{uuc23}) restringe los valores entre los que la coordenada radial $r$ puede variar a aquellos que efectivamente satisfacen $\dot{r}^2\ge 0$, es decir, aquellos valores de $r$ en los cuales el potencial asume valores menores que el cuadrado de la constante de energ&iacute;a de la &oacute;rbita:
\begin{equation}
 \tilde{V}(r)\le k^2.
\end{equation}
Note adem&aacute;s que (\ref{uuc23}) implica (luego de derivar respecto al tiempo propio) que
\begin{equation}\label{ddotr}
\frac{2}{c^2}\ddot{r}=-\frac{d\tilde{V}}{dr}.
\end{equation}
Puede verificarse (h&aacute;galo!) que el potencial efectivo posee dos puntos extremos $r_A$ y $r_B$ de la forma
\begin{equation}
 r_A=\frac{mh^2}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{12}{h^2}}\right), \qquad r_B=\frac{mh^2}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{12}{h^2}}\right), \label{rAB}
\end{equation}
es decir, que satisfacen $\tilde{V}'(r_A)=\tilde{V}'(r_B)=0$. Estos puntos extremos existen s&oacute;lo si $h\ge2\sqrt{3}\approx 3.464$. Adem&aacute;s, puede verificarse que en este caso $\tilde{V}''(r_A)\le 0$ y $\tilde{V}''(r_B)\ge 0$ y que la igualdad $r_A=r_B$ se encuentra precisamente si $h=2\sqrt{3}$.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm,angle=0]{fig/fig-potencial-efectivo.pdf}
\caption{Potencial Efectivo (escala logar&iacute;tmica en $r$).} \label{fpe}
\end{center}
\end{figure}

Si $h>2\sqrt{3}$ el potencial tiene entonces un m&aacute;ximo en $r=r_A$ y un m&iacute;nimo en $r=r_B$. Si $h=2\sqrt{3}$ ambos puntos convergen en un punto de inflexi&oacute;n, $r_A=r_B$, y si $h<2\sqrt{3}$ no existen extremos locales.

De acuerdo a lo anterior, existen varios tipos de &oacute;rbitas posibles, dependiendo de los valores de $k$ y $h$:

\begin{itemize}
 \item Si $h<2\sqrt{3}$ y $k<1$ el movimiento radial es acotado, con un m&aacute;ximo $r_{\rm max}$ determinado por la igualdad $\tilde{V}(r_{\rm max})=k^2$, pero no existe un m&iacute;nimo, de modo que en estos casos la part&iacute;cula finalmente cae hacia el cuerpo central.
\item Si $h<2\sqrt{3}$ y $k>1$ la trayectoria no est&aacute; acotada en $r$, correspondiendo a una part&iacute;cula que viene desde el infinito y cae hacia el cuerpo central, o que escapa desde &eacute;ste hasta el infinito.
\item Si $h>2\sqrt{3}$ y $k^2>\tilde{V}(r_A)$ tenemos una situaci&oacute;n similar al caso anterior ($h<2\sqrt{3}$ y $k>1$).
\item Si $h>2\sqrt{3}$ y $k^2=\tilde{V}(r_A)$ existen en principio &oacute;rbitas circulares, con $r=r_{\rm c}=\text{cte.}$, tal que $\tilde{V}(r_{\rm c})=k^2$, pero &eacute;stas son \textit{inestables}. Ver \eqref{ddotr}.
\item Si $h>2\sqrt{3}$, $\tilde{V}(r_B)<k^2<\tilde{V}(r_A)$ y $k>1$ existen &oacute;rbitas no ligadas, donde $r$ puede variar desde un valor m&iacute;nimo $r_{\rm min}$ (tal que $\tilde{V}(r_{\rm min})=k^2$, $r_{\rm min}>r_A$) hasta el infinito. Ejemplo de este caso son part&iacute;culas que vienen del infinito, son deflectadas por el cuerpo central y escapan nuevamente al infinito. En este caso son tambi&eacute;n posibles &oacute;rbitas que caen inevitablemente al cuerpo central.
\item Si $h>2\sqrt{3}$, $\tilde{V}(r_B)<k^2<\tilde{V}(r_A)$ y $k<1$ existen &oacute;rbitas ligadas, cuyas coordenadas radiales var&iacute;an entre $r_{\rm min}$ y $r_{\rm max}$, con $\tilde{V}(r_{\rm min})=\tilde{V}(r_{\rm max})=k^2$.
\item Si $h>2\sqrt{3}$ y $k^2=\tilde{V}(r_B)$ existen &oacute;rbitas circulares estables, con $r=r_{\rm c}=\text{cte.}$, tal que $\tilde{V}(r_{\rm c})=k^2$.
\item Si $h>2\sqrt{3}$ y $k^2<\tilde{V}(r_B)$ tenemos una situaci&oacute;n similar al primer caso aqu&iacute; listado ($h<2\sqrt{3}$ y $k<1$).
\end{itemize}

\subsubsection{&oacute;rbitas circulares}
De acuerdo a la clasificaci&oacute;n anterior, estudiamos aqu&iacute; el caso en que $h>2\sqrt{3}$ y $k^2=\tilde{V}(r_B)$. Usando (\ref{rAB}b) encontramos (luego de algo de &aacute;lgebra) que las constantes de movimiento apropiadas a un movimiento circular estable deben satisfacer la relaci&oacute;n siguiente
% \begin{equation}
%  k^2={\frac {2\left(h^2+h\sqrt{h^2-12}-4\right)^2} {h\left(h+\sqrt{h^2-12}\right)^3}}.
% \end{equation}
\begin{equation}
h_{\rm c}=\frac{r_{\rm c}}{\sqrt{m(r_{\rm c}-3m)}}, \qquad  k_{\rm c}=\frac{\left(1-\frac{2m}{r_{\rm c}}\right)}{\sqrt{1-\frac{3m}{r_{\rm c}}}}.
\end{equation}

Usamos (\ref{kh}a)  para expresar $\dot{t}$ en t&eacute;rminos de las constantes de movimiento (recuerde que elegimos $\theta=\pi/2$):
% \begin{equation}
%  \dot{t}_{\rm c}=\frac{k}{1-\frac{2m}{r}}=\sqrt{\frac{2h}{h+\sqrt{h^2-12}}}.
% \end{equation}
\begin{equation}
 \dot{t}_{\rm c}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3m}{r_{\rm c}}}}.
\end{equation}
Similarmente, a partir de (\ref{kh}b) podemos evaluar $\dot\varphi$ en t&eacute;rminos de las constantes de movimiento,
% \begin{equation}
%  \dot\varphi_{\rm c}=\frac{hmc}{r_{\rm c}^2}=\frac{4c}{mh}\frac{1}{\left(h+\sqrt{h^2-12}\right)^2}.
% \end{equation}
\begin{equation}
 \dot\varphi_{\rm c}=\frac{c}{r_{\rm c}}\sqrt{\frac{m}{r_{\rm c}-3m}}.
\end{equation}
Ya que tanto $ \dot{t}_{\rm c}$ como $ \dot\varphi_{\rm c}$ son constantes, podemos integrar las ecuaciones de movimiento directamente, obteniendo
\begin{equation}
 x^\mu(\tau)=(c\dot{t}_{\rm c}\tau,r_{\rm c},\frac{\pi}{2}, \dot\varphi_{\rm c}\tau).
\end{equation}
La menor &oacute;rbita circular estable (``innermost stable circular orbit'', ISCO), se obtiene, de acuerdo a (\ref{rAB}b), en el l&iacute;mite $h\to 2\sqrt{3}$. En este caso
\begin{equation}
 r_{\rm c}=6\,m,
\end{equation}
y
\begin{equation}
 k_{_{\rm ISCO}}= \frac{2\sqrt{2}}{3}, \qquad \dot{t}_{_{\rm ISCO}}=\sqrt{2}, \qquad \dot\varphi_{_{\rm ISCO}}=\frac{\sqrt{3}}{18}\frac{c}{m}.
\end{equation}
Por lo tanto, a diferencia del caso newtoniano, \textbf{\textit{la teor&iacute;a gravitacional de Einstein predice un l&iacute;mite para la existencia de &oacute;rbitas circulares estables}}. En la teor&iacute;a newtoniana, ellas existen para cada valor de $r>0$, en RG s&oacute;lo pueden existir para $r_{\rm c}\ge6m$.

\subsubsection{&oacute;rbitas ligadas no-circulares}
Este es el caso en que $h>2\sqrt{3}$, $\tilde{V}(r_B)<k^2<\tilde{V}(r_A)$ y $k<1$. Para analizar la forma de la trayectoria es conveniente considerar c&oacute;mo cambia la coordenada radial en t&eacute;rminos de la angular, $r=r(\varphi)$. Para esto, realizamos el cambio de variables correspondiente, de modo que
\begin{equation}
r':=\frac{dr}{d\varphi}=\frac{\frac{dr}{d\tau}}{\frac{d\varphi}{d\tau}}=\frac{
\dot{r}}{\dot{\varphi}}.
\end{equation}
Usando ahora (\ref{kh}b) podemos escribir
\begin{equation}
\dot{r} =\frac{hmc}{r^2}r', \qquad \ddot{r}=\frac{h^2m^2c^2}{r^4}\left[-\frac{2}{r}r'^2+r''\right].
\end{equation}
Adicionalmente, la soluci&oacute;n de las ecuaciones de movimiento es m&aacute;s simple, tal como en el caso newtoniano, definiendo la variable auxiliar
\begin{equation}
 u:=\frac{1}{r},
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
r' =-\frac{1}{u^2} u',  \qquad r''=\frac{2}{u^3}u'^2-\frac{1}{u^2}u''.
\end{equation}
Con estos cambios, la ecuaci&oacute;n (\ref{uuc22})  se transforma en
\begin{equation}
h^2m^2u'^2-k^2+(1-2mu)(1+h^2m^2u^2)=0.
\end{equation}
Derivando esta relaci&oacute;n y considerando el caso no circular, es decir $u'\neq 0$, obtenemos
\begin{equation}
u''+u=\frac{1}{mh^2}+3m\,u^2 \label{ecuGR}.
\end{equation}
La ecuaci&oacute;n newtoniana correspondiente, ver (\ref{EC1}),  es
\begin{equation}
 u''+u=\frac{1}{mh^2},\label{ecrNew}
\end{equation}
con soluci&oacute;n
\begin{equation}
 u_0(\varphi)=\frac{1}{mh^2}\left(1+e\cos\varphi\right).
\end{equation}
% Por lo tanto, el valor m&aacute;ximo de $u$ es del orden $u_{\rm max}\approx \frac{1}{mh^2}$.
En estas condiciones, el t&eacute;rmino ``extra'' en el lado derecho de (\ref{ecuGR}) es mucho m&aacute;s peque&ntilde;o que el t&eacute;rmino ``newtoniano''. En efecto, definiendo la variable adimensional
\begin{equation}
 w:=mh^2\,u.
\end{equation}
Entonces (\ref{ecuGR})  es equivalente a
\begin{equation}
w''+w=1+\epsilon\,w^2 ,\label{ecwGR}
\end{equation}
con
\begin{equation}
 \epsilon:=\frac{3}{h^2}.
\end{equation}
Usando (\ref{kh}b) encontramos que, en el caso de cuerpos orbitando en campos
d&eacute;biles (como es el caso en nuestro sistema solar),
\begin{equation}
 \epsilon=\frac{3m^2c^2}{r^4\dot\varphi^2}\approx\frac{3m^2c^2}{r^2v_\varphi^2}
 \approx 3\frac{m^2}{r^2}\frac{c^2}{v_\varphi^2}\approx 3\frac{m}{r}\ll 1.
\end{equation}
En particular para Mercurio $\epsilon\approx 10^{-7}$. Por otro lado $w\approx
1$.

Usando el m&eacute;todo perturbativo, postulamos la siguiente expansi&oacute;n para la soluci&oacute;n de (\ref{ecuGR}):
\begin{equation}
w(\varphi,\epsilon)=w_0(\varphi)+\epsilon\, w_1(\varphi) +\epsilon^2\,w_2(\varphi)+\mathcal{O}(\epsilon^3), \label{expw}
\end{equation}
donde la soluci&oacute;n ``no perturbada'' es
\begin{equation}
 w_0(\varphi)=1+e\cos\varphi ,
\end{equation}
y donde $w_1$, $w_2$ se suponen de orden de magnitud 1. Reemplazando la expansi&oacute;n (\ref{expw}) en (\ref{ecuGR}) e igualando t&eacute;rminos del mismo orden en potencias de $\epsilon$, obtenemos la siguiente ecuaci&oacute;n para la primera perturbaci&oacute;n:
\begin{eqnarray}
 w_1''+w_1&=&1+2e\cos\varphi+e^2\cos^2\varphi \\
&=& (1+\frac{e^2}{2})+2e\cos\varphi+\frac{e^2}{2}\cos(2\varphi). \label{ecw1}
\end{eqnarray}
Esta es una ecuaci&oacute;n tipo oscilador arm&oacute;nico forzado, donde el t&eacute;rmino forzante es la superposici&oacute;n de un t&eacute;rmino constante, un \textit{t&eacute;rmino resonante}, y un t&eacute;rmino peri&oacute;dico no resonante. Su soluci&oacute;n es del tipo
\begin{equation}
 w_1(\varphi)=A+B\varphi\sen\varphi+C\cos(2\varphi).
\end{equation}
Reemplazando esta soluci&oacute;n general en (\ref{ecw1}) podemos determinar las constantes involucradas:
\begin{equation}
 A=1+\frac{e^2}{2}, \qquad B=e, \qquad C=-\frac{e^2}{6}.
\end{equation}
Con esto, la soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n (\ref{ecuGR}) a primer orden en $\epsilon$ adopta la forma:
\begin{equation}\label{solucasi}
 u(\varphi)=\frac{1}{mh^2}\left[1+e\cos\varphi+\epsilon\left[\underbrace{
(1+\frac { e^2 } { 2 } )}_\text{pert.
constante}+\underbrace{e\varphi\sen\varphi}_\text{pert. ``secular''}
-\underbrace{\frac{e^2 }{6} \cos(2\varphi)}_\text{pert. peri&oacute;dica}\right ]
\right ] +\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Usando ahora
\begin{equation}
 \cos(\epsilon\varphi) =1+\mathcal{O}(\epsilon^2), \qquad
\sen(\epsilon\varphi) =\epsilon\varphi+\mathcal{O}(\epsilon^3),
\end{equation}
podemos escribir los t&eacute;rminos newtonianos y de perturbaci&oacute;n secular como
\begin{equation}
 \cos\varphi+\epsilon\varphi\sen\varphi=\cos\left[(1-\epsilon)\varphi\right]
+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
An&aacute;logamente, para la perturbaci&oacute;n peri&oacute;dica podemos usar
\begin{equation}
 \epsilon\cos(2\varphi)=\epsilon\cos\left[2(1-\epsilon)\varphi\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Con esto podemos expresar nuestra soluci&oacute;n como
\begin{equation}\marginnote{Trayectoria perturbada}
 \boxed{u(\varphi)=\frac{1}{mh^2}\left[1+\epsilon(1+\frac { e^2 } { 2 }
)+e\cos\left[(1-\epsilon)\varphi\right] -\frac { e^2
}{6}\epsilon\cos[2(1-\epsilon)\varphi]\right ] +\mathcal{O}(\epsilon^2).} \label{solu1}
\end{equation}
Esta forma de la soluci&oacute;n a primer orden tiene la ventaja que revela m&aacute;s claramente que la &oacute;rbita (nuevamente, a primer orden en $\epsilon$) \textit{es peri&oacute;dica en $\varphi$, pero con un periodo angular distinto de $2\pi$}. Como consecuencia, la &oacute;rbita no se cierra luego de una revoluci&oacute;n completa. Este hecho implica en particular un \textit{corrimiento del perihelio de la &oacute;rbita}.

\subsubsection{El Avance del Perihelio de Mercurio}

De (\ref{solu1}) vemos que, a primer orden en $\epsilon$, el periodo angular de la &oacute;rbita no es $2\pi$, sino $2\pi/(1-\epsilon)>2\pi$. Esto significa que la &oacute;rbita retornar&aacute; a una misma distancia dada del centro de fuerzas (por ejemplo, el perihelio) s&oacute;lo luego de realizar algo m&aacute;s que una rotaci&oacute;n completa en torno al centro de fuerzas, en un &aacute;ngulo de $2\pi/(1-\epsilon)$. En otras palabras, el \textit{corrimiento angular} de la &oacute;rbita es dado por
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-precesion-02.pdf}
\caption{Corrimiento del perihelio (adaptada a partir de \href{http://en.wikipedia.org/wiki/File:Perihelion_precession.svg}{esta} figura original).}
\end{center}
\end{figure}
\begin{equation}
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{1-\epsilon}-2\pi=2\pi\epsilon+\mathcal{O}(\epsilon^2)=\frac{6\pi}{h^2}+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Podemos expresar $\epsilon$ en t&eacute;rminos del semieje mayor y la excentricidad de la &oacute;rbita, ya que
\begin{equation}
a:=\frac{r_{\rm min}+r_{\rm max}}{2}=\frac{mh^2}{1-e^2}+\mathcal{O}(\epsilon).
\end{equation}
As&iacute; obtenemos, a primer orden,
\begin{equation}
 (\Delta\varphi)_{\rm rel}\approx\frac{6\pi m}{a(1-e^2)},
\end{equation}
o, en t&eacute;rminos de la masa del cuerpo central:
\begin{equation}\marginnote{Avance periastro}
 \boxed{(\Delta\varphi)_{\rm rel}\approx \frac{6\pi GM}{ac^2(1-e^2)}.}
\end{equation}

Esta expresi&oacute;n fue derivada por Einstein en 1915 y aplicada al caso de la &oacute;rbita de Mercurio \cite{Einstein15}. El avance del perihelio de Mercurio era un fen&oacute;meno conocido antes de la formulaci&oacute;n de la teor&iacute;a de la Relatividad General, ya que Le Verrier \cite{LeVerrier} public&oacute; en 1859 sus observaciones y c&aacute;lculos en los que dejaba en evidencia un \textit{avance an&oacute;malo} de $\approx 45\pm 5$''/siglo  (valor citado por Einstein en \cite{Einstein15}). Este valor an&oacute;malo es el resultante de restar el valor esperado de acuerdo a la teor&iacute;a de newton al valor observado\footnote{Luego de tambi&eacute;n sustraer el efecto de la \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Axial_precession}{precesi&oacute;n general}. Ver referencia \cite{Clemence47} para m&aacute;s detalles.} (de la &eacute;poca) de $\approx 574$''/siglo.  De acuerdo a Clemence (1947) \cite{Clemence47} las mayores contribuciones newtonianas al corrimiento del perihelio de Mercurio son: Venus ($\approx 278$''/siglo), J&uacute;piter ($\approx 153$''/siglo), la Tierra ($\approx 90$''/siglo), Saturno ($\approx 7$''/siglo), Marte ($\approx 2.5$''/siglo), Urano ($\approx 0.14$''/siglo), Neptuno ($\approx 0.042$''/siglo). Con esto, el corrimiento an&oacute;malo asciende a $\approx 43$''/siglo, valor no pod&iacute;a ser calculado usando la teor&iacute;a newtoniana, y que fue entonces explicado por la nueva teor&iacute;a de Einstein.

Para el caso de Mercurio\footnote{Ver, por ejemplo, \url{http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/mercuryfact.html}.}  $a\approx 57.91\times 10^6\text{\,km}$, $e\approx 0.2056$. Adem&aacute;s, $GM_\odot/c^2\approx 1.48\text{\,km}$. Con esto, la predicci&oacute;n relativista para el corrimiento del perihelio de Mercurio asciende a $(\Delta\varphi)_{\rm rel}\approx 5.03\times 10^{-7}{\,\rm rad/rev}\approx 0.104$''/rev. Como el periodo orbital de Mercurio es $T\approx 87.97\text{ d&iacute;as}\approx 2,41\times 10^{-3}\text{ siglo}$, entonces  $(\Delta\varphi)_{\rm rel}\approx 43$''/siglo. El valor aceptado actualmente para la predicci&oacute;n relativista es de $(\Delta\varphi)_{\rm rel}\approx 42.98$''/siglo, ver \cite{NW86}. Este resultado est&aacute; en completo acuerdo con el resultado observacional aceptado actualmente, de $42.98(1.000\pm 0.001)$''/siglo. Ver \cite{Will06}, secci&oacute;n 3.5, para detalles adicionales.

La predicci&oacute;n de RG para el corrimiento del perihelio ha sido adem&aacute;s verificada en nuestro sistema solar para las &oacute;rbitas de Venus, la Tierra y Marte. En esos casos el corrimiento relativista asciende a aproximadamente $8.65$''/siglo, $3.85$''/siglo y $1.36$''/siglo, respectivamente \cite{OR94}. Una de las mejores verificaciones actualmente disponible es la correspondiente al corrimiento del perihelio de la &oacute;rbita del pulsar binario de Hulse \& Taylor PRS 1913+16, para el cual el corrimiento es de aproximadamente 13''/rev (y el periodo de rotaci&oacute;n es algo menor que 8 horas!) \cite{Taylor93}. En el a&ntilde;o 2020 se report&oacute; por primera vez la detecci&oacute;n de este efecto en la &oacute;rbita de la estrella S2 que orbita en torno al agujero negro en el centro de nuestra galaxia (SgA${}^*$) \cite{GRAVITY2020}. En este caso se observa $(\Delta\varphi)_{\rm rel} = 12'/\rm rev$ para una &oacute;rbita con $e=0.88$.

\subsection{Desv&iacute;o de la luz}

En este caso, realizaremos un c&aacute;lculo similar al correspondiente a trayectorias tipo tiempo, con la diferencia que la ecuaci&oacute;n de la geod&eacute;sica, usando un par&aacute;metro arbitrario $\lambda$, adopta la forma
\begin{equation}
\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu_{\nu\rho}\frac{dx^\nu}{d\lambda}\frac{dx^\rho}{d\lambda}=f(\lambda)\frac{dx^\mu}{d\lambda},
\end{equation}
De este modo las ecuaciones de movimiento toman la forma (aqu&iacute; denotamos $\dot{(\ \,)}:={d(\ \,)}/{d\lambda}$):
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)}\frac{d\ }{d\lambda}\left[\left(1-\frac{2m}{r}\right)\dot{t}\right]&=&f\,\dot{t}, \label{egSl0}\\
\ddot{r}+\frac{mc^2(r-2m)}{r^3}\,\dot{t}^2-\frac{m}{r\left(
r-2m\right) }\,\dot{r}^2-(r-2m) \left[ \dot{\theta}^2+\sen
^2\theta \dot{\varphi}^2\right] &=&f\,\dot{r}, \label{egSl1}\\
\ddot{\theta}+\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}-\sen \theta \cos \theta
\dot{\varphi}^2 &=&f\,\dot{\theta}, \label{egSl2}\\
\frac{1}{r^2\sen^2\theta}\frac{d\ }{d\lambda}\left[r^2\sen^2\theta\dot{\varphi}\right] &=&f\,\dot{\varphi}.\label{egSl3}
\end{eqnarray}%
Note que hemos factorizado los t&eacute;rminos al lado izquierdo de (\ref{egSl0}) y (\ref{egSl3}). Nuevamente, el movimiento est&aacute; confinado a un plano, que podemos elegir como el plano ecuatorial, es decir, con $\theta(\lambda)=\pi/2$. Verificamos que esta soluci&oacute;n para $\theta$ satisface (\ref{egSl2}). Tal como en el caso tipo tiempo, finalmente nos concentraremos en la forma de la trayectoria. Por esto, elegiremos como par&aacute;metro al &aacute;ngulo $\varphi$, es decir, $\lambda:=\varphi$. Con esto, $\dot{\varphi}=1$ y podemos determinar la funci&oacute;n $f$ correspondiente a partir de (\ref{egSl3}):
\begin{equation}
f=\frac{d\ }{d\varphi}\ln\left[r^2\right]=\frac{2}{r}r'.
\end{equation}
Introduciendo esta funci&oacute;n en (\ref{egSl0}) obtenemos, luego de una simple &aacute;lgebra,
\begin{equation}
\frac{d\ }{d\varphi}\ln\left[\frac{r^2}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)t'}\right]=0,
\end{equation}
que expresa el hecho que existe una cantidad conservada en el movimiento:
\begin{equation}\label{ccl}
 \frac{r^2}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)}\frac{d\varphi}{dt}=:\frac{c}{\alpha}.
\end{equation}
Aqu&iacute;, para conveniencia posterior, hemos introducido $\alpha$ como constante, con dimensiones $[\alpha]=L^{-1}$, determinada por las condiciones iniciales del movimiento.

Por otro lado, la ecuaci&oacute;n radial (\ref{egSl1}) se reduce a
\begin{equation}
 r''+\frac{mc^2(r-2m)}{r^3}\,t'^2-\frac{m}{r\left(r-2m\right) }\,r'^2-(r-2m) =\frac{2}{r}r'^2. \label{ecr2l}
\end{equation}

Tal como en el caso tipo tiempo, esta ecuaci&oacute;n puede derivarse de la ecuaci&oacute;n de primer orden, en este caso, de la condici&oacute;n $g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu=0$. Esta condici&oacute;n implica que
\begin{equation}
\left(1-\frac{2m}{r}\right)c^2\left(\frac{dt}{d\varphi}\right)^2-\frac{1}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)}\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2-r^2=0. \label{e2orl}
\end{equation}
Usando (\ref{ccl}) para expresar $dr/d\varphi$ en t&eacute;rminos de $r$ y la constante de moviento $\alpha$, la condici&oacute;n (\ref{e2orl}) se reduce a
\begin{equation}\label{ecrpf}
 r'^2+r^2-2mr-\alpha^2r^4=0,
\end{equation}
donde $'$ denota la derivada con respecto a $\varphi$.

Introduciendo ahora $u:=1/r$ transformamos esta ecuaci&oacute;n en
\begin{equation}
 u'^2+u^2=\alpha^2+2mu^3. \label{ecul0}
\end{equation}
Derivando esta ecuaci&oacute;n llegamos a una ecuaci&oacute;n de segundo orden en las derivadas de $u$ que, tal como en el caso tipo tiempo, es equivalente a la ecuaci&oacute;n (\ref{ecr2l}):
\begin{equation}
 u''+u=3mu^2. \label{ecglrg}
\end{equation}
Esta ecuaci&oacute;n es la an&aacute;loga a (\ref{ecuGR}). Tal como en el caso anterior, el t&eacute;rmino introducido por la teor&iacute;a de RG es $3mu^2$. Puede comprobarse que la ecuaci&oacute;n newtoniana, que corresponde al l&iacute;mite $m\to 0$, es
\begin{equation}
 u''+u=0, \label{ecglnew}
\end{equation}
y que \textit{sus soluciones son l&iacute;neas rectas}. En efecto, una soluci&oacute;n general de (\ref{ecuGR}) puede expresarse en la forma siguiente:
\begin{equation}
 u_0(\varphi)=\frac{1}{D}\sen(\varphi-\varphi_0),
\end{equation}
donde $D$ es una constante con dimensiones de longitud y $\varphi_0$ una constante angular. Entonces tendremos que
\begin{equation}
x=r\cos\varphi=D\frac{\cos\varphi}{\sen(\varphi-\varphi_0)}, \qquad
y=r\sen\varphi=D\frac{\sen\varphi}{\sen(\varphi-\varphi_0)}.
\end{equation}
Una simple &aacute;lgebra permite entonces relacionar $x$ con $y$, obteniendo
\begin{equation}
 y=\frac{D}{\cos\varphi_0}+\left(\tan\varphi_0\right)x. \label{recta}
\end{equation}
La expresi&oacute;n (\ref{recta}) describe una recta en el plano $x-y$, siendo $D$ la \textit{distancia m&iacute;nima de la recta al origen} y $\varphi_0$ el &aacute;ngulo que forma la recta con el eje $x$. Ver figura \ref{fig:recta}.
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-recta.pdf}
\caption{Soluci&oacute;n newtoniana para el movimiento del rayo de luz.}
\label{fig:recta}
\end{center}
\end{figure}

Determinaremos nuevamente una soluci&oacute;n aproximada de (\ref{ecglrg}). Primero definimos la variable adimensional $w(\varphi):=Du(\varphi)$. Con esto (\ref{ecglrg}) se transforma en
\begin{equation}
 w''+w=\epsilon\, w^2, \label{ecglrgw}
\end{equation}
que tiene como soluci&oacute;n ``sin perturbar'' a
\begin{equation}
 w_0(\varphi)=\sen(\varphi-\varphi_0). \label{w0l}
\end{equation}
La constante $\epsilon$ tiene el valor
\begin{equation}
 \epsilon:=\frac{3m}{D},
\end{equation}
que es mucho menor que 1, ya que suponemos que el rayo de luz pasa suficientemente lejos del centro de fuerzas de modo que $D\gg m$. Suponemos adem&aacute;s que $w\approx 1$. Con estos ingredientes determinaremos una soluci&oacute;n perturbativa de la forma (\ref{expw}), con $w_0$ dado por (\ref{w0l}). Introduciendo la expansi&oacute;n (\ref{expw}) y usando (\ref{w0l}) encontramos la ecuaci&oacute;n para la primera perturbaci&oacute;n $w_1$:
\begin{equation}
 w_1''+w_1=\sen^2(\varphi-\varphi_0). \label{ecw1l}
\end{equation}
La soluci&oacute;n general de esta ecuaci&oacute;n es de la forma
\begin{equation}
 w_1(\varphi)=A+B\cos(\varphi-\varphi_0+\beta)+C\cos^2(\varphi-\varphi_0).
\end{equation}
Substituyendo esta expresi&oacute;n en (\ref{ecw1l}) encontramos que $A=C=1/3$, mientras que las constantes $B$ y $\beta$ pueden adoptar valores arbitrarios. Sin embargo, sin p&eacute;rdida de generalidad es posible elegir\footnote{En efecto, si $B\neq 0$ y $\beta\neq 0$, la soluci&oacute;n puede reescribirse, \textit{a primer orden en} $\epsilon$ como
\begin{equation*}
u(\varphi)=\frac{1}{\tilde{D}}\left[\sen(\varphi-\tilde{\varphi}_0)+\frac{m}{\tilde{D}}\left(1+\cos^2(\varphi-\tilde{\varphi_0})\right)\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2),
\end{equation*}
con $\tilde{D}:=D/(1-\epsilon B\sen\beta)$ y $\tilde{\varphi}_0:=\varphi_0-\epsilon B\cos\beta$. Esta expresi&oacute;n es equivalente a (\ref{solw1l}).} $B=\beta=0$. As&iacute;, nuestra soluci&oacute;n a primer orden adopta la forma siguiente:
\begin{equation}\marginnote{Soluci&oacute;n pertubada rayo de luz}
 \boxed{u(\varphi)=\frac{1}{D}\left[\sen(\varphi-\varphi_0)+\frac{m}{D}\left[1+\cos^2(\varphi-\varphi_0)\right]\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2).} \label{solw1l}
\end{equation}
Para calcular el \textit{&aacute;ngulo de desv&iacute;o} de la luz, $\delta$, necesitamos los &aacute;ngulos $\delta_1$ y $\delta_2$ en que la trayectoria se desv&iacute;a de la recta no perturbada, para $t\to -\infty$ y $t\to +\infty$, respectivamene. Estos &aacute;ngulos corresponden a un &aacute;ngulo inicial $\varphi_{\rm i}=\varphi_0+\pi+\delta_1$ y final $\varphi_{\rm f}=\varphi_0-\delta_2$, y pueden ser determinados por la condici&oacute;n que en cada caso $r\to\infty$ o, equivalentemente $u=0$. El &aacute;ngulo total de desv&iacute;o es entonces $\delta=\delta_1+\delta_2$. Reemplazamos por tanto $\varphi=\varphi_{\rm i}=\varphi_0+\pi+\delta_1$ en la condici&oacute;n $u(\varphi_{\rm i})$ obtenemos, a primer orden en $\delta_1$:
\begin{eqnarray}
 0&=&u(\varphi_{\rm i})\\
&=&\frac{1}{D}\left[\sen(\pi+\delta_1)+\frac{m}{D}\left(1+\cos^2(\pi+\delta_1)\right)\right] \\
&=&\frac{1}{D}\left[-\sen\delta_1+\frac{m}{D}\left(1+\cos^2\delta_1)\right)\right] \\
&=&\frac{1}{D}\left[-\delta_1+\frac{m}{D}\left(1+1\right)\right]+\mathcal{O}(\delta_1^2).
\end{eqnarray}
Por lo tanto, obtenemos,
\begin{equation}
 \delta_1=\frac{2m}{D}.
\end{equation}
Similarmente, para $\varphi_{\rm f}=\varphi_0-\delta_2$ encontramos:
\begin{eqnarray}
 0&=&u(\varphi_{\rm f})\\
&=&\frac{1}{D}\left[-\sen\delta_2+\frac{m}{D}\left(1+\cos^2\delta_2\right)\right] \\
&=&\frac{1}{D}\left[-\delta_2+\frac{m}{D}\left(1+1\right)\right]+\mathcal{O}(\delta_2^2),
\end{eqnarray}
de modo que
\begin{equation}
 \delta_2=\frac{2m}{D}.
\end{equation}
As&iacute; obtenemos que el &aacute;ngulo total de desv&iacute;o es
\begin{equation}
 \delta\approx\frac{4m}{D},
\end{equation}
o, en t&eacute;rminos de la masa del cuerpo central\footnote{Note que, en estricto rigor, la constante $D$ no es exactamente el valor m&iacute;nimo de la coordenada radial en la trayectoria del fot&oacute;n. La soluci&oacute;n (\ref{solw1l}) implica que el m&iacute;nimo de $r$ (m&aacute;ximo de $u$) se obtiene para $\varphi=\varphi_0+\pi/2$, y que a primer orden $r_{\rm min}=D/(1+m/D)\approx D-m$. La diferencia entre $D$ y $r_{\rm min}$ es por esto muy peque&ntilde;a y despreciable en el contexto de de la aproximaci&oacute;n usada.\label{fn8}},
\begin{equation}\marginnote{&aacute;ngulo de desv&iacute;o} \label{dlRG}
 \boxed{\delta\approx\frac{4GM}{c^2D}.}
\end{equation}

En 1911 Einstein presenta un primer c&aacute;lculo para el &aacute;ngulo de desv&iacute;o de la luz en un campo gravitacional, basado en el principio de equivalencia, pero a&uacute;n en el contexto de la teor&iacute;a newtoniana. El valor calculado de esta forma resulta ser \textit{la mitad} del &aacute;ngulo \eqref{dlRG} que predice teor&iacute;a de Relatividad General completa. Ver \cite{Einstein11}, p&aacute;gina 908. Es interesante notar adem&aacute;s que si se considera la teor&iacute;a newtoniana de la gravitaci&oacute;n y a los fotones como part&iacute;culas (masivas) que son atraidas por el Sol y que se mueven con rapidez $c$, tambi&eacute;n se obtiene el resultado correspondiente a la mitad de \eqref{dlRG}. Ver \cite{Will88} para mayores detalles.  Por otro lado, el resultado \eqref{dlRG} fue presentado por Einstein por primera vez en su paper de 1916 \cite{Einstein16} (ecuaci&oacute;n 74, p&aacute;gina 822).

Note tambi&eacute;n que, de acuerdo a \eqref{dlRG}, la teor&iacute;a de RG predice un &aacute;ngulo de desv&iacute;o \textit{independiente de la frecuencia de la radiaci&oacute;n}.

En el caso de rayos de luz pasando muy cerca de la superficie del Sol\footnote{Ver, por ejemplo, \url{http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/sunfact.html}.}, $D\approx R_\odot\approx 6.96\times 10^5\text{\,km}$, y entonces
\begin{equation}
\delta_\odot\approx\frac{4GM}{c^2R_\odot}\approx 4\left(\frac{1.48\text{\,km}}{6.96\times 10^5\text{\,km}}\right)\approx 4\times 2.13\times 10^{-6}{\rm\, rad}\approx 8.52\times 10^{-6}{\rm\, rad}\approx 1.75\text{''}.
\end{equation}

La observaci&oacute;n de este efecto constituy&oacute; la \textit{primera verificaci&oacute;n experimental de una predicci&oacute;n} de la teor&iacute;a de gravitaci&oacute;n de Einstein. El desv&iacute;o de la luz fue medido en Mayo de 1919 por Eddington\footnote{Sir Arthur Eddington (1882-1944) astrof&iacute;sico brit&aacute;nico. Ver, por ejemplo, \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Arthur_Stanley_Eddington}.} y colaboradores, a partir de mediciones &oacute;pticas de las posiciones de estrellas cercanas al Sol, medidas durante un eclipse total de Sol, observado desde las islas atl&aacute;nticas de Sobral y Principe \cite{DED19}. Estos experimentos obtuvieron un resultado consistente con la predicci&oacute;n relativista, pero s&oacute;lo con un 30\% de precisi&oacute;n. Sin embargo, los resultados s&iacute; permit&iacute;an excluir un resultado nulo o la predicci&oacute;n ``cuasi-newtoniana'' (la mitad del valor de RG, es decir, $\approx 0.87$''). Se efectuaron nuevas medidas durante eclipses posteriores. En el del 30 de Junio de 1973 los resultados concordaban con la predicci&oacute;n de RG con un error del 10\%. Uno de las mayores fuentes de error en este tipo de observaci&oacute;n es causada por la corona solar, que tambi&eacute;n curva los rayos que pasan por ella. Actualmente, la precisi&oacute;n alcanzada por los sistemas VLBI (Very Large Baseline Interferometry) han permitido mejorar sustancialmente la confirmaci&oacute;n observacional de la predicci&oacute;n de RG para el desv&iacute;o de la luz, con una desviaci&oacute;n de 0.1\% \cite{SDLG04,Will06}.

\subsection{Redshift Gravitacional}\label{sec:redshift}
Revisaremos aqu&iacute; la predicci&oacute;n para el redshift gravitacional (dilataci&oacute;n temporal gravitacional). En particular, derivaremos la expresi&oacute;n exacta para el redshift medido por dos observadores ``en reposo'' en el espaciotiempo de Schwarzschild. En particular consideraremos fotones que ``escapan'' del centro de fuerzas de manera radial. En este caso, debido a la simetr&iacute;a esf&eacute;rica podemos considerar que los fotones se mueven en trayectorias con $\theta=\pi/2$ y $\varphi=0$.

De la condici&oacute;n de curva nula para el fot&oacute;n $g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu=0$ obtenemos
\begin{equation}
 \left(1-\frac{2m}{r}\right)c^2dt^2-\frac{dr^2}{ \left(1-\frac{2m}{r}\right)}=0.
\end{equation}
Por lo tanto,
\begin{equation}
 c\,dt=\pm\frac{dr}{ \left(1-\frac{2m}{r}\right)}.
\end{equation}
Los signos positivo y negativo corresponden a fotones ``escapando desde'' y ``cayendo hacia'' el centro de fuerzas, respectivamente. Para el primer caso, tenemos entonces que
\begin{eqnarray}
 c(t-t_0)&=&\int^r_{r_0}\frac{dr}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)} \\
&=&\left.\left(r+2m\ln|r-2m|\right)\right|^r_{r_0} \\
&=&r-r_0+2m\ln\left(\frac{r-2m}{r_0-2m}\right).
\end{eqnarray}
En otras palabras,
\begin{equation} \label{tferf}
 t=t_0+\frac{1}{c}\left[r-r_0+2m\ln\left(\frac{r-2m}{r_0-2m}\right)\right].
\end{equation}
Esta relaci&oacute;n define en forma impl&iacute;cita la ecuaci&oacute;n de la trayectoria, exacta en el espaciotiempo de Schwarzschild, $r(t)$, del fot&oacute;n escapando radialmente. Podemos verificar  aqu&iacute; lo usado en la discusi&oacute;n del redshift gravitacional en la secci&oacute;n (\ref{zg1}): que $(\Delta t)_{\rm e}=(\Delta t)_{\rm r}$. En efecto, si un fot&oacute;n es emitido en el evento con coordenadas $x^\mu_{{\rm e},1}=(ct_0,r_0,\pi/2,0)$ entonces &eacute;ste llega a un punto con coordenada radial $r$ en el evento $x^\mu_{{\rm r},1}=(ct,r,\pi/2,0)$, donde $t$ es dado por (\ref{tferf}). Como (\ref{tferf}) es lineal en $t_0$ tendremos que si otro fot&oacute;n es enviado desde $r_{\rm e}$ en el evento $x^\mu_{{\rm e},2}=(ct_0+c(\Delta t)_{\rm e},r_{\rm e},\pi/2,0)$, entonces llegar&aacute; a $r$ en el evento $x^\mu_{{\rm r},2}=(ct+c(\Delta t)_{\rm e},r_{\rm r},\pi/2,0)$. En otras palabras, $(\Delta t)_{\rm e}=(\Delta t)_{\rm r}$. Este es un resultado general, v&aacute;lido para todo espaciotiempo estacionario (es decir, en que la m&eacute;trica es independiente de la coordenada temporal).

Por otro lado, los tiempos propios asociados a observadores ``en reposo'' en el punto de emisi&oacute;n y recepci&oacute;n, es decir, cuyas l&iacute;neas de mundo tienen coordenada radial constate $r_{\rm e}$ y $r_{\rm r}$ respectivamente, quedan determinados por
\begin{equation}
 ds^2=c^2d\tau^2=\left(1-\frac{2m}{r}\right)c^2dt^2,
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
\Delta\tau_{\rm e}=\sqrt{1-\frac{2m}{r_{\rm e}}}\, (\Delta t)_{\rm e}, \qquad
\Delta\tau_{\rm r}=\sqrt{1-\frac{2m}{r_{\rm r}}}\, (\Delta t)_{\rm r}.
\end{equation}
Con estos ingredientes, obtenemos
\begin{equation}\marginnote{Dilataci&oacute;n temporal gravitacional}\label{rgsch}
\boxed{\frac{\Delta\tau_{\rm r}}{\Delta\tau_{\rm e}}=\sqrt{\frac{1-\frac{2m}{r_{\rm r}}}{1-\frac{2m}{r_{\rm e}}}}}.
\end{equation}
Compare esta expresi&oacute;n con aquella encontrada en el l&iacute;mite de campo d&eacute;bil, expresiones  (\ref{zapp1}) y (\ref{zapp2}).

\subsection{Tiempo de Vuelo (Efecto Shapiro)*}
Aqu&iacute; estudiaremos la predicci&oacute;n de la teor&iacute;a de Einstein de la gravitaci&oacute;n en lo que respecta al \textit{tiempo de vuelo} de se&ntilde;ales luminosas en la m&eacute;trica de Schwarzschild.

Para obtener informaci&oacute;n del tiempo de vuelo de una se&ntilde;al luminosa debemos analizar c&oacute;mo cambia la coordenada temporal $t$ a lo largo de la l&iacute;nea de mundo del rayo de luz.
Usando (\ref{ccl}) podemos escribir
\begin{equation}
\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=r'\frac{mc}{\alpha}\left(1-\frac{2m}{r}\right)\frac{1}{r^2}.
\end{equation}
Reemplazando ahora la expresi&oacute;n para $r'$ determinada por la relaci&oacute;n (\ref{ecrpf}) encontramos que
\begin{equation}
\frac{1}{c}\frac{dr}{dt}=\pm\, I(r),
\end{equation}
donde hemos definido
\begin{equation}
I(r):=\frac{1}{\alpha}\left(1-\frac{2m}{r}\right)\sqrt{\alpha^2+\frac{2m}{r^3}-\frac{1}{r^2}}.
\end{equation}
Ahora aplicamos esta expresi&oacute;n al caso en que el fot&oacute;n se mueve desde un punto con coordenadas $(ct_T,r_T,\pi/2,\varphi_T)$ hacia el centro de fuerzas, hasta el punto $(ct_0,r_0,\pi/2,\varphi_0)$ de m&aacute;ximo acercamiento. En este primer tramo $dr/dt<0$ y entonces
\begin{equation}\label{Dti1}
c\,(t_0-t_T)=-\int^{r_0}_{r_T}\frac{dr}{I(r)}.
\end{equation}
En el segundo tramo, desde $(ct_0,r_0,\pi/2,\varphi_0)$ hasta $(ct_V,r_V,\pi/2,\varphi_V)$, tenemos que $dr/dt>0$ y entonces
\begin{equation}\label{Dti2}
c\,(t_V-t_0)=\int_{r_0}^{r_V}\frac{dr}{I(r)}.
\end{equation}
El intervalo total de coordenada temporal en el proceso de vuelo (``de ida'') es entonces dado por $t_V-t_T$. Usando (\ref{Dti1}) y (\ref{Dti2}) obtenemos
\begin{eqnarray}
c\,(t_V-t_T)&=&\int_{r_0}^{r_V}\frac{dr}{I(r)}-\int^{r_0}_{r_T}\frac{dr}{I(r)} \\
&=&\int_{r_0}^{r_V}\frac{dr}{I(r)}+\int_{r_0}^{r_T}\frac{dr}{I(r)}. \label{cDtI}
\end{eqnarray}
Para evaluar esta expresi&oacute;n es necesario escribir $\alpha$ en t&eacute;rminos de $r_0=r_{\rm min}$, la coordenada radial m&iacute;nima al centro de fuerzas sobre la trayectoria del fot&oacute;n. Esta coordenada m&iacute;nima se encuentra, ver nota al pie \ref{fn8}, para el &aacute;ngulo $\varphi_{\rm min}=\varphi_0+\pi/2$ y satisface $u(\varphi_{\rm min})=1/r_{\rm min}$, $u'(\varphi_{\rm min})=0$, con
\begin{equation}
 r_0=D\left(1-\frac{m}{D}\right)+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Usando estas condiciones, la relaci&oacute;n (\ref{ecul0}) implica que
\begin{equation}
 \alpha^2=\frac{1}{r^2_0}\left(1-\frac{2m}{r_0}\right),
\end{equation}
y entonces
\begin{equation}
\alpha=\frac{1}{r_0}\left(1-\frac{m}{r_0}\right)+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Con esto, podemos expresar la funci&oacute;n $I(r)$ como
\begin{eqnarray}
 I(r)&=&\frac{1}{\alpha}\left(1-\frac{2m}{r}\right)\sqrt{\alpha^2+\frac{2m}{r^3}-\frac{1}{r^2}} \\
&=&\left(1-\frac{2m}{r}\right)\left(1+\frac{m}{r_0}\right)\sqrt{1-\frac{2m}{r_0}-\frac{2mr_0^2}{r^3}-\frac{r_0^2}{r^2}} +\mathcal{O}(\epsilon^2)\\
&=&\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{m}{r_0}\right)\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}-\frac{2m}{r_0}\left(1-\frac{r_0^3}{r^3}\right)}+\mathcal{O}(\epsilon^2) \\
&=&\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{m}{r_0}\right)\left[\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}+\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}}\left(-\frac{2m}{r_0}\right)\left(1-\frac{r_0^3}{r^3}\right)\right] +\mathcal{O}(\epsilon^2)\\
&=&\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{m}{r_0}\right)\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}\left[1-\frac{m}{r_0}\frac{\left(1-\frac{r_0^3}{r^3}\right)}{1-\frac{r_0^2}{r^2}}\right] +\mathcal{O}(\epsilon^2)\\
&=&\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{m}{r_0}\right)\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}\left[1-\frac{m}{r_0}\frac{\left(1+\frac{r_0}{r}+\frac{r_0^2}{r^2}\right)}{1+\frac{r_0}{r}}\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2) \\
&=&\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}\left[1-\frac{mr_0}{r(r+r_0)}-\frac{r_0}{r}\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{eqnarray}
De esta forma, obtenemos
\begin{equation}
 \frac{1}{I(r)}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}}\left[1+\frac{mr_0}{r(r+r_0)}+\frac{r_0}{r}\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2),
\end{equation}
y entonces
\begin{equation}
 \int\frac{dr}{I(r)}=\sqrt{r^2-r_0^2}+2m\ln\left(r+\sqrt{r^2-r_0^2}\right)+m\sqrt{\frac{r-r_0}{r+r_0}}+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Con este resultado podemos evaluar el intervalor $(\Delta t)_{\rm ir}$ de ``ida y regreso''\footnote{Note que este intervalo es en rigor el intervalo de coordenada temporal. El tiempo propio que un observador en $r_T$ registra en el viaje de ida y regreso del fot&oacute;n es dado, a primer orden, por $(\Delta\tau)_{\rm ir}=(1-m/r_T)(\Delta t)_{\rm ir}$.} que, de acuerdo a (\ref{cDtI}), es entonces dado por
\begin{eqnarray}
\frac{c}{2}\,(\Delta t)_{\rm ir}&=&\sqrt{r_V^2-r_0^2}+\sqrt{r_T^2-r_0^2}+2m\ln\left[\frac{\left(r_V+\sqrt{r_V^2-r_0^2}\right)\left(r_T+\sqrt{r_T^2-r_0^2}\right)}{r_0^2}\right] \nonumber\\
&&+m\left(\sqrt{\frac{r_V-r_0}{r_V+r_0}}+\sqrt{\frac{r_T-r_0}{r_T+r_0}}\right)+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{eqnarray}
En el caso que $r_0=R_\odot\ll r_V, r_T$ (``conjunci&oacute;n superior'') el efecto es m&aacute;ximo:
\begin{eqnarray}
c\,(\Delta t)_{\rm ir}&\approx& 2\left[r_V+r_T+2m\ln\left[\frac{\left(2r_V\right)\left(2r_T\right)}{R_\odot^2}\right]+m\left(1+1\right) \right]\\
&\approx&2\left[(r_V+r_T)+2m\left(1+\ln\left[\frac{4r_Vr_T}{R_\odot^2}\right]\right)\right].
\end{eqnarray}
Para el Sol, Venus y la Tierra $r_V\approx r_T\approx 10^8\text{\,km}$, el segundo t&eacute;rmino es $\approx 2\times 10^{-4}\text{\, s}$. Note que hemos despreciado el movimiento de Venus y la Tierra en el periodo en que el rayo de luz realiza su viaje de ida y regreso ($\sim 20\text{ min}$). El uso de este efecto para testear la teor&iacute;a de RG fue propuesto por I. Shapiro en 1964 \cite{Shapiro64} y verificado la predicci&oacute;n con precisi&oacute;n cada vez mayor en los casos en que la se&ntilde;al enviada ``rebota'' en Mercurio, Venus \cite{Shapiro71}. Este valor ha sido confirmado con una desviaci&oacute;n del 5\%. Ver \cite{Wei72} para mayores detalles. En el a&ntilde;o 2010 Demorest et al. usaron el retardo de Shapiro para determinar la masas de una estrella de neutrones en un sistema binario, ver \cite{Demorest}.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-shapiro-delay-2.pdf}
\caption{Mediciones de Radar del efecto Shapiro.}
\end{center}
\end{figure}