Forme de Killing
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Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité…).
Définition
[modifier | modifier le code]Soit g une K-algèbre de Lie, où K désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de g un endomorphisme K-linéaire ad(x) du K-espace vectoriel g :
![{\displaystyle {\text{ad}}(x)(y)=[x,y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60627a86bb70b40934cca30e8ddf1788db6f7f6)
Si g est de dimension finie, il existe une forme bilinéaire symétrique B définie par :
où Tr désigne l'opérateur trace. Cette forme est appelée forme de Killing de g.
La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur g invariante sous l'action des automorphismes de la K-algèbre de Lie g et vérifiant l'identité remarquable :
![{\displaystyle B\left([x,y],z\right)=B\left(x,[y,z]\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7f704b56df83ed011770adf1ce75b405fba8f3)
Curieusement, la forme de Killing a été définie par Élie Cartan, tandis que la matrice de Cartan a été définie par Wilhelm Killing.
