Intervalo (matematiko)

Intervalo estas la subaro de aro kun parta ordo entenanta ĉiujn elementojn inter ĝiaj komenco kaj fino, kiuj estas du (antaŭelektitaj) elementoj de la origina aro.

Formalaj difinoj

Estu $(X,\preccurlyeq )$ aro kun parta ordo, kaj $-\infty ,\infty$ estu du elementoj de $X$. Ekstendu la ordon $\preccurlyeq$ ĝis $X\cup \{-\infty ,\infty \}$ tiel, ke la elemento $\infty$ estu pli granda ol ĉiuj elementoj de la aro $X$ kaj ke la elemento $-\infty$ estu malplej granda ol ĉiaj elementoj de la aro $X$.

Por $x,y\in X\cup \{-\infty ,\infty \}$ tiel, ke $x\prec y$ oni difinas sekvajn aroj, kiuj nomas intervalo, kiuj estas difinata per $x,y$:

• $(x,y)=:\{z\in X:x\prec z\prec y\}$ – malfermita intervalo (duflanke malfermita intervalo),
• $[x,y)=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\prec y\}$ – maldekstre fermita intervalo (dekstre malfermita intervalo),
• $(x,y]=:\{z\in X:x\prec z\preccurlyeq y\}$ – dekstre fermita intervalo (maldekstre malfermita intervalo).
• $[x,y]=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\preccurlyeq y\}$ – fermita intervalo (duflanke fermita intervalo),

Kelkaj aŭtoroj uzas formon $(x,y)_{X}$, $[x,y]_{X}$ ktp. por signi, ke intervalo estas en difinita ordo. Foje anstataŭ $[x,y]$ oni skribas $\langle x,y\rangle$ kaj analoge por unuflankaj intervaloj.

Rimarku, ke la nocio de intervalo $(x,y)$ kaj $\langle x,y\rangle$ estas malsama ol la signifo de orda duopo.

Internacia normo ISO31-11 difinas sekvajn signifojn: $x,y$:

• $]x,y[=:\{z\in X:x\prec z\prec y\}$ ,
• $[x,y[=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\prec y\}$ ,
• $[x,y]=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\preccurlyeq y\}$ ,
• $]x,y]=:\{z\in X:x\prec z\preccurlyeq y\}$ .

Ecoj

Plej ofte en intervalo estas uzata lineara ordo; en ĉi tia ordo intervaloj havas sekvajn ecojn:

• Komunaĵo de du intervaloj estas intervalo.
• Komplemento de intervalo estas intervalo aŭ kunaĵo du aroj.
• Kunaĵo de du aroj, kiuj havas nemalplenan komunaĵon estas intervalo.
• Malfermaj intervaloj en X kreas bazon de ia topologio en X.