Poissonova závorka

Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému. V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).

Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi.

Vyjádření v kanonických souřadnicích

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi $(q_{i},p_{j})$ dvě funkce $f(p_{i},q_{i},t)\,$ a $g(p_{i},q_{i},t)\,$. Poissonova závorka má pak tvar

$\{f,g\}=\{f,g\}_{p,q}=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right].$

Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky $\{f,g\}$ je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

$\{f,g\}_{p,q}=\{f,g\}_{P,Q}$

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

Vlastnosti

Poissonovy závorky splňují následující vztahy

$\{f,g\}=-\{g,f\}$

Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je

$\{f,f\}=0$

Dále platí

$\{(f_{1}+f_{2}),g\}=\{f_{1},g\}+\{f_{2},g\}$

$\{(f_{1}f_{2}),g\}=f_{1}\{f_{2},g\}+f_{2}\{f_{1},g\}$

Platí také tzv. Jacobiho identita

$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$

Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí

${\frac {\partial }{\partial t}}\{f,g\}=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\right\}+\left\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\}$

Fyzikální aplikace

Rovnice pohybu

S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}$,

Kde $H$ je Hamiltonova funkce. Funkce $f$ je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí

${\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}=0$

V případě, že $f$ nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar

$\{f,H\}=0$

Zvolíme-li za funkci $f$ Hamiltonovu funkci $H$, pak podle bude platit

${\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial t}}$

Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.

Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka $\{f,g\}$.

Fundamentální Poissonova závorka

Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.

Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy

$\{Q_{i},P_{j}\}=\delta _{ij}$

$\{Q_{i},Q_{j}\}=0$

$\{P_{i},P_{j}\}=0$

kde $\delta _{ij}$ je Kroneckerovo delta.

Související články

• Lagrangeova závorka
• Diracova notace
• Komutátor