Cantorova věta

Cantorova věta je jedním ze silných výsledků teorie množin, který je přitom dosažen jejími nejjednoduššími prostředky. Její znění je následující:
Pro libovolnou množinu $x\,\!$ má potenční množina $\mathbb {P} (x)$ obsahující všechny podmnožiny množiny $x\,\!$ vyšší mohutnost než $x\,\!$.

Význam a důsledky

Tato věta má zajímavé důsledky především pro nekonečné množiny: pro každou nekonečnou množinu existuje množina s větší mohutností (tj. množina ještě o hodně „nekonečnější“ než původní množina). Například množina všech množin přirozených čísel má větší mohutnost, než samotná množina přirozených čísel.

K důkazu sporem je použita obdoba Cantorovy diagonální metody – pro každé myslitelné vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na množinu $\mathbb {P} (x)$ lze sestrojit prvek množiny $\mathbb {P} (x)$, který do tohoto zobrazení nepatří.

Cantorova věta a její důsledky pro nekonečné množiny stojí na poměrně silných předpokladech – potřebují axiomaticky zaručenou existenci nekonečné množiny a existenci potenční množiny $\mathbb {P} (x)$ ke každé množině, jak je tomu například v Zermelově–Fraenkelově teorii množin s jejím axiomem nekonečna a axiomem potence. Například v alternativní teorii množin není díky odlišné axiomatické soustavě podobný výsledek dosažitelný.

V klasické intuitivní teorii množin, která nestála na axiomatických základech, ale chápala množiny jako libovolné dobře definované soubory objektů, vedla Cantorova věta ke Cantorovu paradoxu: Pokud je $\mathbb {V}$ množina všech množin, pak množina $\mathbb {P} (\mathbb {V} )$ všech jejích podmnožin má větší mohutnost než $\mathbb {V}$, což je spor.

Důkaz

Nechť $X\,\!$ je libovolná množina a $P(X)\,\!$ množina všech podmnožin $X\,\!$ (potenční množina). Tvrzení, že $P(X)\,\!$ má větší mohutnost než $X\,\!$, je ekvivalentní tomu, že neexistuje zobrazení z $X\,\!$ do $P(X)\,\!$, které by bylo na (surjektivní). Toto ukážeme sporem:

Nechť existuje zobrazení $f:X\rightarrow P(X)$, které je na. Tedy pro každý prvek $A\in P(X)$ (A je množina!) existuje nějaké $x\in X$ tak, že $f(x)=A\,\!$.

Nyní definujme podmnožinu $Y\subset X$

$Y=\{x\in X:x\notin f(x)\}$.

$Y$ obsahuje ty prvky $X$, které nejsou ve svém obrazu daném zobrazením $f$. $Y$ je zřejmě podmnožina $X$ a tedy musí existovat $y\in X$ tak, že $Y=f(y)\,\!$. Mohou tedy nastat dvě možnosti:

1. $y\in Y$, to je ale spor s definicí $Y$, podle které $y\notin f(y)$, ale $f(y)=Y\,\!$,
2. $y\notin Y$, jenže pak z definice $Y$plyne $y\in f(y)$ a podle předpokladu $Y=f(y)$ musí platit $y\in Y$, což je opět spor.

Existence zobrazení $f:X\rightarrow P(X)$, které je na, vede ke sporu a tedy $P(X)\,\!$ má vždy větší mohutnost než $X\,\!$.

Související články

• Potenční množina
• Mohutnost
• Kardinální číslo
• Kardinální aritmetika

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cantorova věta na Wikimedia Commons