Cours de Relativit� G�n�rale

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D�apr�s ��lecture notes on General relativity��

De Sean M. Carroll

http://preposterousuniverse.com/grnotes/

Traduction et adaptation par� Jacques FRIC

Avril 2002 derni�re mise � jour� 18/07/2015

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l J. Fric endosse toute responsabilit� pour les erreurs que sa traduction (qui n�a pas �t� v�rifi�e par l�auteur) aurait pu ajouter. En cas de doute, veuillez-vous rapporter � la version originale.

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1- Relativit� Restreinte et Espace-temps plat version PDF �

2- Vari�t�s diff�rentielles Topologiques Version PDF

3- De la courbure des Espaces (Vari�t�s Riemanniennes) Version PDF

4- Gravitation Version PDF

5- Compl�ments G�om�triques Version PDF

6- Champ faible et ondes gravitationnelles Version PDF

7- La solution de Schwarzschild et les trous noirs Version PDF

8- Cosmologie Version PDF

I. Relativit� Restreinte et Espace-temps plat

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1. Relativit� Restreinte et Espace-temps plat

Introduction

Nous allons commencer par un tour d�horizon sur la RELATIVIT� RESTREINTE (RR) et l�ESPACE-TEMPS plat associ�: est plat un espace-temps dont la m�trique peut �tre mise sous une forme o� les coefficients ne d�pendent pas des coordonn�es. Cela va nous permettre de nous rappeler l�objet de la RELATIVIT� RESTREINTE et d�introduire les tenseurs et tout ce qui tourne autour, concepts qui vont se r�v�ler essentiels par la suite, dans le contexte plus simple de la relativit� Restreinte libre des complications suppl�mentaires li�es � la courbure de l�ESPACE-TEMPS. Dans cette partie nous allons exclusivement travailler dans un espace-temps plat et de plus en coordonn�es orthonorm�es (type coordonn�es cart�siennes). Il est inutile de dire que nous pourrions travailler dans n�importe quel syst�me de coordonn�es, mais ce serait empi�ter sur les parties suivantes, donc nous diff�rerons cet aspect.

Espace-temps de la RR compar� � Espace et Temps de la m�canique classique

On dit souvent que la RELATIVIT� RESTREINTE est une th�orie de l�espace-temps � 4 dimensions�: trois d�espace, une de temps. La m�canique Newtonienne utilise �galement trois dimensions d�espace et une de temps, o� est la diff�rence�?

Si on consid�re un jardin, vari�t� � deux dimensions, nous allons rep�rer les points sur un tel plan en introduisant arbitrairement des coordonn�es, par exemple x, y orthogonales.

La distance�: invariant m�trique classique

Il est certain que ce qui va nous int�resser ce sont les propri�t�s g�om�triques (les invariants) qui sont ind�pendantes des coordonn�es� arbitraires. Par exemple la distance entre deux points donn�e par�:

Si on avait choisi un autre syst�me de coordonn�es cart�siennes d�duit du premier par une rotation des axes x, y autour de l�origine, on aurait des coordonn�es� x' et y' avec pour la distance la m�me formule�:

Nous en concluons que la distance entre deux points est invariante vis-�-vis de tels changement de coordonn�es.

C�est pourquoi il est important de penser le plan comme vari�t� � deux dimensions, bien que nous utilisions deux nombres pour rep�rer les points. Ces nombres ne sont pas l�essence de la g�om�trie, puisqu�ils se transforment en d�autres lorsqu�on fait subir une rotation aux axes (on peut les permuter) en laissant invariant les distances, mais seulement un moyen conventionnel de la d�crire. En m�canique Newtonienne ce n�est pas le cas, on ne peut pas permuter l�axe du temps avec un axe d�espace. Le temps est une dimension ind�pendante de l�espace.

Construction d�un r�f�rentiel inertiel en RR

Il en va autrement en RELATIVIT� RESTREINTE. Consid�rons les coordonn�es (t, x, y, z) de l�ESPACE-TEMPS, dans cet ordre. Les coordonn�es spatiales (x, y, z) forment un syst�me cart�sien standard, que l�on peut construire en assemblant des barres rigides qui se coupent � angle droit. Ce syst�me peut se mouvoir librement non acc�l�r�. La coordonn�e temporelle peut �tre fournie par un jeu d�horloges attach�es aux barres. On peut supposer les barres infiniment longues et les horloges infiniment nombreuses pour baliser tout l�espace-temps (exp�rience de pens�e). Les horloges sont synchronis�es en consid�rant que si nous voyageons � une vitesse constante v dans une direction d�un point A � un point� B, la diff�rence de temps marqu�e par les horloges en A et B, va �tre la m�me que si j�effectue le m�me voyage dans l�autre direction (de B vers A) dans les m�mes conditions (dans sa d�finition de l�article fondateur de la RELATIVIT� RESTREINTE de 1905, Einstein utilise la lumi�re comme voyageur). Le syst�me de coordonn�es ainsi construit est appel� r�f�rentiel inertiel (ou Galil�en).

�v�nements, points �v�nements

Un �v�nement (on dit parfois point �v�nement) est d�fini par une occurrence dans l�espace et le temps, caract�ris� uniquement par (t, x, y, z).

O� les co�ncidences sont fondamentales

En fait Einstein insiste beaucoup sur le concept de co�ncidence, seul concept qui a une r�alit� physique selon lui, une mesure d�espace-temps correspond � une co�ncidence entre�:

- Le point �v�nement

- Son image spatio-temporelle dans le r�f�rentiel�: Les valeurs rep�r�es sur les r�gles du point du r�f�rentiel qui co�ncide avec le point �v�nement� � l�instant consid�r�, la valeur de l�horloge situ�e en ce point � cet instant.

L�intervalle d�espace-temps

Ceci �tant pr�cis�, introduisons ex abrupto l�intervalle d�espace-temps entre deux �v�nements.

Remarquons que cette expression peut �tre positive, n�gative ou nulle (m�me pour deux points diff�rents). Ici ��c�� est un facteur constant correspondant � une vitesse pour obtenir une �quation homog�ne. Nous savons que c�est la vitesse de la lumi�re, l�important pourtant n��tant pas que les photons voyagent � la vitesse de la lumi�re mais qu�il y ait un invariant de ce type.

Cela signifie que si nous proc�dons aux m�mes mesures dans un autre r�f�rentiel inertiel (t', x', y', z') nous allons obtenir� la m�me valeur de s��:

Espace de Minkowski

C�est pourquoi, on peut affirmer que la RELATIVIT� RESTREINTE est une th�orie se r�f�rant � un espace-temps � 4 dimensions appel� espace de Minkowski qui est un cas particulier de vari�t� � 4 dimensions dont nous parlerons plus tard.

Comme nous allons le voir, la transformation de coordonn�es que nous avons implicitement d�finie permet d��changer les dimensions d�espace et de temps.

Elle g�n�ralise la notion d�invariance de la distance par rotation aux quatre dimensions. La notion d��v�nements simultan�s perd sa signification absolue, le temps n��tant plus absolu et d�pendant du r�f�rentiel.

La distinction entre temps et espace qui sont li�s par la relation (1.3) de l�espace de Minkowski est conventionnelle et ceci� bien que l�espace et le temps gardent certaines caract�ristiques propres, refl�t�es par le signe diff�rent dans (1.3)

La plupart des paradoxes de la RR r�sultent de la persistance de la notion de temps absolu. En raisonnant en espace-temps, la plupart de ces paradoxes disparaissent.

Coordonn�es d�espace-temps

Introduisons une notation adapt�e. Les coordonn�es d�espace-temps seront d�not�es par des lettres affect�es d�un index haut que nous appellerons ��exposant�� de type lettre grecque repr�sentant une valeur de 0 � 3, o� 0 repr�sente la coordonn�e ��temporelle�� soit�:

Ne pas confondre cet ��exposant�� avec un exposant math�matique. Pour simplifier nous poserons �galement�:

Ce qui permet d��viter de surcharger les formules. De ce fait, si nous gardons la seconde comme unit� de temps, l�unit� de distance vaudra 3 � 10⁸ m�tres.� Si nous devons faire r�f�rence aux dimensions d�espace seulement, nous utiliserons un exposant de type lettre latine.

Comme nous allons souvent l�utiliser, il va �tre commode d��crire l�intervalle d�espace-temps sous une forme compacte.

La m�trique de Minkowski

Nous allons introduire une matrice (4 x 4), la m�trique, que nous �crirons avec deux index bas que nous appellerons ��indices���:

Un certain nombre d�ouvrages utilisent une convention de signe oppos�e pour la m�trique, donc soyons prudents. Nous avons alors la formule sympathique suivante�:

Remarquons que nous avons utilis� la convention d�Einstein pour la sommation des index. Lorsqu�un index rep�r� par la m�me lettre appara�t dans une telle formule en exposant et en indice, cela signifie qu�on doit� faire la somme des produits des termes pour la m�me valeur de l�index, index�s de 0 � 3 dans notre cas. Le r�sultat montre que (1.9) est identique � (1.3).

Consid�rons plus formellement les types de transformation des coordonn�es d�espace-temps.

Quelle sorte de transformation va laisser l�intervalle (1.9) invariant�?

Les translations�:

O�� a^m� est un ensemble de quatre valeurs fixes. (Remarquons que avons affect� le ��prime�� � l�index pas � ��x��). Comme les translations laissent x^m invariant, il est �vident que l�intervalle est invariant.

Une transformation plus g�n�rale

Une transformation plus g�n�rale� consiste � multiplier le �quadrivecteur colonne�� x^m par une matrice (4x4) ind�pendante de l�espace-temps�:

Soit en utilisant une notation matricielle plus conventionnelle�:

�Ce type de transformation ne conserve pas les diff�rences x^m, mais les multiplient par la matrice.

Quelles sortes de matrices laissent l�intervalle invariant�?

En respectant la notation propre aux matrices cela implique que�:

Car la transpos�e d�un produit de matrices est �gal au produit invers� des transpos�s et donc�:

Soit�:

D�terminons les matrices L^m'_n qui satisfont � (1.15) �garantissant la conservation de l�intervalle d�espace-temps, lorsqu�on les utilise pour transformer les coordonn�es.

Groupe de Lorentz

Les matrices qui satisfont (1.14) forment un groupe vis-�-vis de la multiplication, appel� le groupe de Lorentz. Il y a une relation �troite entre le groupe des rotations O (3) de l�espace tridimensionnel et le groupe de Lorentz. Le groupe des rotations peut �tre interpr�t� comme le groupe des matrices (3 x 3) qui satisfont�:

O�� 1 est la matrice Identit� (3 � 3). La similitude avec� (1.14) est �vidente, la seule diff�rence r�sidant dans le signe� moins� du premier terme de la m�trique h, repr�sentant la coordonn�e temporelle. Du coup, le groupe de Lorentz est souvent r�f�renc� par O(3,1). La matrice Identit� 3 � 3 est simplement la m�trique de l�espace Euclidien 3D. Une m�trique o� toutes les valeurs sont �gales et positives est appel�e euclidienne, tandis que celles qui comme (1.8) contiennent un seul signe moins sont appel�es lorentziennes.

Les transformations de Lorentz se divisent en plusieurs classes.

Rotations classiques

La premi�re est celle des rotations classiques telles que la rotation dans le plan x-y�:

L�angle de rotation est une variable p�riodique de p�riode 2.

Vitesse relatives�: les propulsions

Il y a aussi des propulsions qui peuvent s�interpr�ter comme des rotations entre l�espace et le temps. Un exemple est donn� ci-dessous�:

Le param�tre de� propulsion F � la diff�rence des rotations est d�fini de - � +. Il y a aussi des transformations discr�tes qui renversent la direction du temps ou d�une ou plusieurs d�espace. Lorsque ces derni�res sont exclues on a le groupe propre de Lorentz SO(3,1). Une transformation g�n�rale s�obtient en multipliant les transformations individuelles. L�expression explicite pour cette matrice � 6 param�tres (3 rotations, 3 propulsions) est assez touffue et nous ne la donnerons pas ici. En g�n�ral les transformations du groupe de Lorentz ne vont pas commuter, le groupe n��tant pas ab�lien.

Le groupe de Poincar�

L�ensemble qui inclut les transformations de Lorentz et les quatre translations est le groupe de Poincar�, non ab�lien, qui comporte dix param�tres.

Nous ne serons pas surpris d�apprendre que les propulsions correspondent aux changements de coordonn�es n�cessit�es lorsqu�on rep�re les �v�nements dans un nouveau r�f�rentiel qui se meut � vitesse constante par rapport � l�original. Regardons cela de plus pr�s.

Transformation des coordonn�es

Pour la transformation d�crite par (1.18), les coordonn�es transform�es t' et x' sont donn�es par�:

Nous voyons que le point d�fini par� x' = 0 se d�place. Sa vitesse est�:

Avec une notation plus terre � terre, en posant� F= tanh^-1v, on obtient�:

o� g = (1-v�) ^-1/2.� Notre approche formelle rejoint l�approche conventionnelle pour �tablir les relations de transformation de Lorentz.. L�application de ces formules, conduit � la dilatation du temps, � la contraction des longueurs etc.

Le diagramme spatio-temporel

Le diagramme spatio-temporel se r�v�le �tre un outil tr�s utile pour repr�senter l�espace de Minkowski. Traditionnellement on ne repr�sente que les variables x et t (une variable d�espace et la variable de temps) dans un r�f�rentiel orthonorm�. Remarquons que la repr�sentation d�une seule variable d�espace, parmi les trois, n�entache pas trop la g�n�ralit�, du fait que les trois variables d�espaces sont �quivalentes et interchangeables.

Alors, selon (1.19), si on repr�sente l�axe x' dans le plan x-t, il est caract�ris� par l��quation (t' = 0). Il est fonction de la propulsion et est d�crit par t = xtanhF, tandis que l�axe� t' (x' = 0) est d�crit par t = x/tanhF. On voit que les nouveaux axes (x',y') d�espace et de temps subissent une rotation qui les rapprochent l�un de l�autre sous l�effet de la propulsion. Dans la repr�sentation de ce diagramme, ils n�apparaissent plus orthogonaux au sens Euclidien traditionnel, bien que dans le contexte Lorentzien, qui correspond � la ��r�alit� physique�� ils le restent. Ce n�est pas surprenant, car l�espace-temps est � quatre dimensions et sa repr�sentation par une tranche 2D n�en est qu�une coupe qui ne le d�crit qu�imparfaitement.

Invariance du chemin de la lumi�re dans le diagramme.

Il est instructif de consid�rer le chemin suivi pour la vitesse c = 1 dans les deux r�f�rentiels. Dans les coordonn�es originales il est d�crit par x = �t. Dans le nouveau syst�me il est d�crit par x' = �t'� qui correspond � la m�me droite que x = �t. La transformation laisse donc invariante dans ce diagramme les chemins de ce type. Nous savons que c est la vitesse de la lumi�re, mais nous retrouvons par ce moyen le fait que la lumi�re se d�place � la m�me vitesse dans les deux r�f�rentiels.

Les c�nes de lumi�re

L�ensemble des points qui est reli� � un �v�nement unique par des droites correspondant au mouvement de la lumi�re est appel� un c�ne de lumi�re. Ce c�ne de lumi�re est invariant par une transformation de Lorentz. Les c�nes de lumi�re sont divis�s naturellement entre pass� et futur.

Les types d�intervalles

Les points � l�int�rieur des c�nes de lumi�re du pass� et du futur d�un point p sont dits s�par�s par un intervalle de type temps de p alors que ceux � l�ext�rieur sont dits s�par�s par un intervalle de type espace de p. Ceux sur le c�ne sont dits s�par�s par un intervalle de type nul de p o� de type lumi�re.

En se r�f�rant � (1.3), nous voyons que l�intervalle de type temps est n�gatif, celui de type espace positif et celui de type nul (ou lumi�re) est nul. � noter que l�intervalle bien que d�fini par un carr� (s�) peut �tre n�gatif, ce qui insiste sur le fait que l�intervalle est bien s� et pas s.

Ceci met en lumi�re une diff�rence essentielle avec la th�orie de Newton; si un point q est s�par� par un intervalle de type espace du point p, on ne sait pas dire (ind�pendamment du syst�me de coordonn�es) si q est dans le futur, le pass� ou simultan� � p.

Vecteurs en RR

Pour explorer plus avant la structure de l�espace de Minkowski, il est n�cessaire d�introduire les concepts de vecteurs et de tenseurs. Commen�ons par les vecteurs qui nous sont plus familiers.

Dans notre espace � quatre dimensions les vecteurs auront quatre composantes, et souvent on les appelle des quadri vecteurs. Ceci n�est pas neutre, par exemple il n�existe pas de ��produit vectoriel�� entre deux� quadri-vecteurs.�

En plus de la dimension,� le point important � souligner est que chaque vecteur est localis� � un certain point de l�espace-temps. Nous connaissons bien� les vecteurs libres, s��tendant d�un point de l�espace � un autre, que l�on peut translater ad libitum dans l�espace, et les vecteurs� li�s, s��tendant du point p de l�espace � un autre point q, avec une origine p bien d�termin�e. Ces concepts ne sont pas utilis�s en Relativit�.

L�espace tangent

A la place, nous associerons � chaque point p de l�espace-temps, l�ensemble de tous les vecteurs qui passent par ce point, que nous appellerons l�espace tangent � p, soit T_p. Ce nom est inspir� par l�analogie � l�ensemble des vecteurs passant par p qui g�n�rent le plan tangent en p � une surface � deux dimensions courb�e.

Mais inspiration mise � part, l�important est que ces vecteurs soient localis�s en un point et ne s��tendent pas d�un point vers un autre (m�me si pour des raisons de commodit�, nous ne nous priverons pas de les repr�senter sous forme de fl�che dans des diagrammes spatio-temporels, la direction est significative, mais la longueur repr�sentant un autre param�tre qu�une mesure de l�espace-temps)

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Plus tard nous ferons r�f�rence � l�espace tangent � chaque point de quelque chose que nous construirons � partir de l�espace-temps. Pour l�instant, r�f�rons-nous � Tp comme � un espace vectoriel d�fini en chaque point de l�espace-temps.

Espace vectoriel

Un espace vectoriel, rappelons-le, est un ensemble d�objets (vecteurs) qui peuvent �tre compar�s, additionn�s (muni d�une structure de groupe) et multipli�s par des nombres r�els de fa�on lin�aire. Pour deux vecteurs quelconques V et W et des nombres a et b nous avons�:

Chaque espace vectoriel a une origine (vecteur nul) qui est l��l�ment neutre vis-�-vis de l�addition vectorielle. Beaucoup d�espaces vectoriels poss�dent aussi un produit scalaire, qui est une fonctionnalit� suppl�mentaire non indispensable.

Un vecteur est un objet� g�om�trique parfaitement d�fini, comme un champ de vecteurs qui est d�fini comme un ensemble de vecteurs tel qu�il y ait un vecteur � chaque point de l�espace-temps.

Fibr� tangent

L�ensemble des espaces tangent d�une vari�t� M est appel�e le fibr� tangent T(M). Cependant, il est souvent utile dans des configurations concr�tes de d�composer les vecteurs en composantes conform�ment� � un ensemble de vecteurs de base. Une base est un ensemble de vecteurs qui couvre tout l�espace vectoriel (chaque vecteur est une combinaison lin�aire des vecteurs de base) et qui sont lin�airement ind�pendants les uns des autres (aucun n�est une combinaison lin�aire des autres). Pour un espace vectoriel donn�, il y a une infinit� des bases valides, mais chaque base va comporter le m�me nombre de vecteurs, qui correspond � sa dimension. Pour un espace tangent associ� � un point dans l�espace de Minkowski, cette dimension est �videmment quatre.

Supposons que pour chaque espace tangent nous ayons �tabli une base constitu�e de 4 vecteurs �_(m) avec m �{0, 1, 2, 3} comme d�habitude. Faisons correspondre la base aux coordonn�es x^m, Alors le vecteur de base �₍₁₎� va �tre port� par l�axe des x, etc.. M�me s�il n�est pas n�cessaire de choisir la base adapt�e au syst�me de coordonn�es, c�est souvent bien pratique. Nous pourrions �tre plus pr�cis ici, mais comme ce point va �tre examin� plus loin on peut se permettre de rester un peu vague. Chaque vecteur A va �tre �crit comme une combinaison lin�aire des vecteurs de base�:

Composantes du vecteur

Les coefficients A^m sont les composantes du vecteur� A.� La plupart du temps, on omet la base� et on se r�f�re au vecteur ��A^m��, mais gardons � l�esprit que c�est un raccourci. Le vecteur r�el est un objet g�om�trique, alors que les composantes ne sont que les coefficients des vecteurs de base dans la base choisie. Comme nous omettons les vecteurs de base, les index vont rep�rer les composantes des vecteurs et tenseurs. Nous avons mis les index entre parenth�ses pour les vecteurs de base pour rappeler qu�il s�agit d�un ensemble de vecteurs et non pas des composantes d�un seul vecteur.

Vecteur tangent

Le vecteur tangent � une courbe de l�espace-temps est un exemple typique de vecteur. Une courbe ou un chemin param�tr� de l�espace-temps est sp�cifi� par ses coordonn�es, fonction d�un param�tre, par exemple x^m (). Le vecteur tangent V() a les composantes�:

Le vecteur lui-m�me est d�fini par V = V^m.�_(m)�

Transformation des composantes

Une transformation de Lorentz change le coordonn�es selon (1.11) mais laisse le param�tre en l��tat, nous pouvons donc en d�duire que les composantes du vecteur tangent changent selon�:

Mais le vecteur reste le m�me et est donc invariant (contrairement � ses composantes) par la transformation de Lorentz.

Transformation des vecteurs de base

Nous pouvons en d�duire les propri�t�s de la transformation des vecteurs de base. Appelons �_(n�)� les vecteurs de bases les transform�s de la base initiale. Comme le vecteur est invariant nous avons�:

Cette relation doit �tre v�rifi�e quelle que soit la valeur des composantes� V^�. Nous pouvons donc d�duire

On obtient la nouvelle base �_(n�)� en multipliant l�ancienne base �_(m) par l�inverse de la transformation de Lorentz L^n�_m.� Mais l�inverse d�une transformation de Lorentz est une transformation de Lorentz. On peut en adaptant la notation,� utiliser les m�me symboles pour les deux matrices et aboutir �:

Soit�:

o� d_r^m est le symbole de Kronecker en quatre dimensions. (Schutz utilise une notation diff�rente, en disposant toujours les indices en configuration nord-ouest / sud-est), l�important est de suivre les index prim�s. La r�gle de transformation pour les vecteurs de base s�obtient � partir de (1.27).

Les vecteurs de base subissent la transformation de Lorentz inverse de celle des composantes.

Nous voyons que les vecteurs de base subissent la transformation de Lorentz inverse de celle des composantes.

R�sumons�: nous avons introduit les coordonn�es rep�r�es par un exposant, qui se transforment d�une certaine mani�re par la transformation de Lorentz. Ensuite nous avons consid�r� les composantes d�un vecteur, rep�r�es �galement� par un exposant, ce qui est coh�rent puisqu�elles se transforment de la m�me mani�re par une transformation de Lorentz. Dans un syst�me fixe de coordonn�es, chacune des quatre coordonn�es x^m peut �tre consid�r�e comme une fonction dans l�espace-temps, tout comme chacune des composantes d�un champ de vecteurs. Les vecteurs de la base sur laquelle s�appliquent les coordonn�es se transforment de fa�on inverse et sont rep�r�s par un indice. Cette notation garantit que l�objet invariant� construit par la sommation des vecteurs de base multipli�s par leurs composantes respectives soit inchang� par une transformation (on est parti de l�). Fort de ces acquis, nous allons essayer de g�n�raliser cette r�gle � des objets � index multiples (tenseurs).

Espace vectoriel dual

A chaque espace vectoriel, correspond un autre espace vectoriel, de m�me dimension, que nous allons d�finir qui est appel� espace vectoriel dual.

Espace cotangent

L�espace vectoriel dual est en g�n�ral d�not� par un ast�risque, et comme on appelle l�espace vectoriel d�origine l�espace Tangent T_p, le dual est appel� l�espace cotangent d�not� T^*_p. L�espace dual est l�espace vectoriel de toutes les formes lin�aires (par des nombres r�els) op�r�es sur l�espace vectoriel original.

Forme lin�aire

En jargon math�matique on dit que si ω �T_p^* est un vecteur dual alors il est une forme lin�aire qui satisfait �:

o� V, W� sont des vecteurs et a, b des nombres r�els. La propri�t� int�ressante de ces formes lin�aires est qu�elles ont une structure d�espace vectoriel. Alors si ω et h sont des vecteurs duaux nous avons�:

Pour rendre cette formulation plus concr�te, introduisons un jeu de vecteurs duaux de base d�finis par

� partir de cette base duale, chaque vecteur dual peut �tre d�fini par ses composantes, que nous rep�rerons avec un indice pour respecter la d�finition (1.33)�:

L�analogie avec les vecteurs est parfaite et comme pour eux, nous nous r�f�rerons aux vecteurs duaux, de fa�on abr�g�e en mentionnant que leurs composantes ω_μ.

Vecteurs contravariants, vecteurs covariants

Il faut mentionner que les vecteurs de l�espace tangent T_p� (que nous avons simplement appel�s vecteurs) sont �galement appel�s vecteurs contravariants et les vecteurs duaux de l�espace cotangent vecteurs covariants. En fait personne ne s�offusquera si vous d�signez les vecteurs ordinaires (ceux dont les composantes ont un exposant) par le simple� terme ��vecteur�� et les autres par ��vecteur dual��.

Forme mono lin�aire

Un autre nom pour�� vecteur dual est forme mono lin�aire, appel�e ci apr�s forme lin�aire par d�faut (pour les ordres sup�rieurs on sp�cifie, bilin�aire,.., multilin�aire) que nous allons expliciter.

Action d�un vecteur dual sur un vecteur

La notation simplifi�e par la composante permet d��crire simplement l�action d�un vecteur dual sur un vecteur :�

C�est pourquoi il est rarement n�cessaire d�inclure explicitement les vecteurs des bases. Les composantes suffisent.

Les vecteurs sont les formes lin�aires des vecteurs duaux

La sym�trie de la formule (1.35) sugg�re que nous pouvons �galement consid�rer que les vecteurs sont les formes lin�aires des vecteurs duaux en d�finissant�:

Donc espace vectoriel dual du dual d�un espace vectoriel d�origine est l�espace vectoriel d�origine.

Fibr� cotangent

Bien s�r, ce qui nous int�resse ce n�est pas un vecteur particulier de l�espace-temps, mais les� champs de vecteurs et de vecteurs duaux. L�ensemble des espaces cotangents d'une vari�t� M est appel� le Fibr� cotangent, T^*(M).)

Le r�sultat de l�action d�un champ de vecteurs duaux sur un champ de vecteurs n�est pas un simple nombre mais un scalaire

Ce scalaire peut simplement �tre interpr�t� comme une ��fonction��� sur l�espace-temps. Un scalaire est une quantit� sans index qui est invariante par une transformation de Lorentz.

Propri�t�s de transformation d�un vecteur dual

On peut r�utiliser les arguments pr�c�dents pour d�river les propri�t�s de transformation d�un vecteur dual. Ceci donne, pour ses composantes�:

Et pour les vecteurs de la base duale,

C�est exactement ce qu�on pouvait escompter, compte tenu de la position des index. Les composantes d�un vecteur dual se transforment par la transformation inverse de celle d�un vecteur. Remarquons que ceci garantit que le scalaire d�fini par (1.35) est invariant par la transformation de Lorentz, comme ce doit �tre.

Exemples de vecteurs duaux

Consid�rons quelques exemples de vecteurs duaux, d�abord dans un autre contexte, puis dans l�espace de Minkowski. Imaginons l� espace des vecteurs colonnes � n composantes (n entier).

Vecteurs lignes

Alors l�espace dual est l�espace des vecteurs lignes � n composantes et l�op�ration est celle de multiplication des matrices colonnes (1,n) par les matrices lignes (n,1).

Gradient d�une fonction scalaire

Dans l�espace-temps, l�exemple le plus simple de vecteur dual est le gradient d�une fonction scalaire, l�ensemble des d�riv�es partielles par rapport aux coordonn�es de l�espace-temps, que nous d�notons par ��d��.

R�gle de transformation des composantes d�un vecteur dual

La r�gle de composition relative � la transformation des d�riv�es partielles va d�finir la r�gle de transformation des composantes d�un vecteur dual�:

O� nous avons utilis� (1.11) et (1.28) pour exprimer l�action de la transformation de Lorentz sur les coordonn�es.

Soulignons que ���x^m��� muni d�un exposant, quand il est au d�nominateur d�une d�riv�e, implique que le r�sultat est muni d�un indice. Comme je ne suis pas un adepte de la notation avec virgule, nous allons �tre amen�s � utiliser �_m tr�s souvent. Remarquons que le gradient est un moyen naturel de d�finir un vecteur tangent � une courbe. Le r�sultat est la d�riv�e ordinaire de la fonction le long de la courbe.

Pour en finir avec les vecteurs duaux, il y a une mani�re de les figurer en respectant la convention traditionnelle de repr�sentation d�un vecteur par une fl�che.

Voir � cet effet Schutz, ou MTW (o� c�est pouss� � l�extr�me).

Notion de tenseur

La notion de tenseur r�sulte d�une g�n�ralisation imm�diate des vecteurs et vecteurs duaux. De m�me qu�un vecteur dual est une forme lin�aire des vecteurs produisant un scalaire, un tenseur est une forme multilin�aire� portant sur des vecteurs et vecteurs duaux et produisant un scalaire.

Ici, ��נ� d�note le produit Cart�sien de sorte que par exemple T_p � T_p �est l�espace des paires ordonn�es de vecteurs. Dire que le tenseur est multilin�aire signifie qu�il agit lin�airement sur chacun de ses arguments, par exemple pour un tenseur de type (1, 1), nous avons :�

De ce point de vue, un scalaire est un tenseur de type (0, 0), un vecteur est un tenseur de type (1, 0), et un vecteur dual est un tenseur de type (0, 1).

L�espace de tous les tenseurs d�un type donn� (k, l) forme un espace vectoriel

L�espace de tous les tenseurs d�un type donn� (k, l) forme un espace vectoriel�: les tenseurs de m�me type peuvent �tre additionn�s entre eux, multipli�s par des nombres r�els.

Produit tensoriel

Pour construire une base de cet espace vectoriel, nous devons d�finir une nouvelle op�ration appel�e produit tensoriel� d�not�e par �.� Si� T est un tenseur de type (k, l) et S un tenseur de type (m, n), nous d�finissons le tenseur T �S de type (k + m, l + n) par�:

(Notons que w⁽ⁱ⁾ et V⁽ⁱ⁾ sont des vecteurs duaux et des vecteurs distincts, pas leurs composantes. En d�autres mots commen�ons par op�rer T� (on r�alise les op�rations lin�aires d�crites pr�c�demment) sur l�ensemble appropri� de vecteurs et vecteurs duaux, et ensuite op�rons� S sur le reste. Notons qu�en g�n�ral, T �S �S �T.

Base pour l�espace des tenseurs (k, l)

Il est maintenant imm�diat de construire une base pour l�espace des tenseurs (k, l) en effectuant les produits tensoriels des vecteurs de base et des vecteurs de bases duales. Cette base va �tre constitu�e des tenseurs de la forme�:

Dans un espace-temps � 4 dimensions, il va y avoir 4^{k + l} tenseurs de base en tout. En introduisant les composantes, un tenseur quelconque peut �tre �crit comme suit�:

On peut aussi d�finir les composantes en op�rant le tenseur sur les vecteurs de base des deux types�:

�

On peut facilement v�rifier par (1.33) et la suite la consistance de ces �quations.�

Comme pour les vecteurs nous allons d�noter les tenseurs de fa�on abr�g�e par leurs composantes en omettant la base. Le tenseur T� est sp�cifi� par ses composantes T^{m1 ... mk}_n1^... _nk L�op�ration des tenseurs sur un ensemble de vecteurs et de vecteurs duaux suit le sch�ma d�crit en (1.35)�:

L�ordre des index est important, car le tenseur n�op�re pas forc�ment de la m�me mani�re sur ses divers arguments. Enfin, la transformation d�un tenseur par une transformation de Lorentz peut se d�duire des lois que nous connaissons d�j� sur la transformation des vecteurs de base et des vecteurs de bases duales. En suivant la r�gle de placement des index, on tombe sur la bonne r�ponse�:

Donc, chaque index de type exposant se transforme comme un vecteur, et chaque index de type de type indice comme un vecteur dual.

Bien que nous ayons d�fini les tenseurs comme des formes multilin�aires de vecteurs et vecteurs duaux, rien ne nous oblige � op�rer tous les arguments. Alors un tenseur (1, 1) peut aussi �tre utilis� comme un op�rateur entre vecteurs.

On peut facilement v�rifier que� T^m_nVⁿ est un vecteur (c.a.d ob�it aux lois de transformation des vecteurs). De m�me on peut r�aliser des op�rations tensorielles entre tenseurs pour g�n�rer un autre tenseur, par exemple�:

On obtient un tenseur (1,1).

Si vous �tes d��us d�avoir pass� si peu de temps sur les tenseurs, compte tenu de leur caract�re �sot�rique, rassurez-vous, leur ma�trise n�est pas bien difficile. Il faut simplement bien respecter la position des index et les manipuler selon les r�gles indiqu�es. Certains ouvrages pr�sentent les tenseurs, comme une collection de nombres se transformant selon (1.51). C�est tr�s utile pour la calcul, mais cela ne souligne pas la nature profonde des tenseurs qui sont des objets g�om�triques ind�pendants du syst�me de coordonn�es choisi.

Champs de tenseurs

Il y a pourtant une subtilit� que nous avons �lud�.� Les notions de vecteurs duaux, de tenseurs, de bases et de formes lin�aires appartiennent � l�alg�bre lin�aire, ils sont appropri�s sous r�serve de disposer d�un espace vectoriel abstrait. Dans le cas qui nous int�resse, nous avons non pas un seul espace vectoriel, mais un espace vectoriel en chaque point. De fait ce seront les champs de tenseurs qui vont surtout nous int�resser, qu�on peut d�finir comme tenseurs dont les �l�ments sont des fonctions� de l�espace-temps.

Heureusement, toutes les op�rations d�finies pr�c�demment sont formelles, et ne se soucient pas de savoir si nous nous int�ressons � un seul espace vectoriel ou� � un ensemble d�espaces vectoriels, � savoir un espace vectoriel pour chaque point �v�nement.

Nous allons pouvoir nous en tirer parti en faisant r�f�rence � des fonctions de� x^m chaque fois que ce sera n�cessaire. Il faut bien garder � l�esprit l�ind�pendance logique des notions purement math�matiques que nous avons introduites de leur utilisation dans le cadre de l�espace-temps et de la Relativit� (les vecteurs et tenseurs avaient �t� d�velopp�s bien avant la Relativit�).

Exemples de tenseurs

Consid�rons quelques exemples de tenseurs. Commen�ons par les vecteurs colonnes et leurs duaux les vecteurs lignes.

Un tenseur (1,1) est simplement une matrice Mⁱ_j.

Dans ce syst�me, un tenseur (1,1) est simplement une matrice Mⁱ_j.

Ses r�gles op�ratoires sur une paire (, V) sont identiques � celles de la multiplication des matrices�:

On peut voir les tenseurs comme des matrices avec un nombre quelconque d�index.

Nous avons d�j� rencontr� (sans le dire) des exemples de tenseurs dans l�espace-temps.

Tenseur m�trique

Le tenseur le plus familier est le tenseur m�trique h_mn de type (0,2).

Produit scalaire

L�op�ration du tenseur m�trique sur deux vecteurs est si importante qu�elle m�rite son propre nom, le produit scalaire ou produit interne.

Comme dans la g�om�trie Euclidienne, si le produit scalaire est nul, les vecteurs seront dits orthogonaux. Comme le produit scalaire est un scalaire, il est laiss� invariant par des transformations de Lorentz, ce qui a pour cons�quence que les vecteurs de base orthogonaux d�un r�f�rentiel inertiel Cart�sien quelconque restent orthogonaux apr�s une transformation de Lorentz (en d�pit du cisaillement mentionn� pr�c�demment qui n�est qu�apparent).

Norme d�un vecteur

La norme d�un vecteur est son auto produit scalaire. � la diff�rence d�un espace Euclidien, la norme n�est pas n�cessairement positive.

Si�� h_mn.V^mVⁿ� < 0, le vecteur V^m est dit de type temps

Si�� h_mn.V^mVⁿ� = 0, le vecteur V^m est dit de type lumi�re ou nul

Si�� h_mn.V^mVⁿ� > 0, le vecteur V^m est dit de type espace

�

� la diff�rence de la g�om�trie Euclidienne, la norme d�un vecteur peut �tre nulle sans que le vecteur le soit. Remarquons que cela rejoint la terminologie que nous avons utilis�e pr�c�demment pour classifier les relations entre deux points de l�espace-temps, ce n�est pas fortuit comme nous verrons plus loin.

Tenseur (ou symbole) de Konecker

Un autre tenseur dont nous allons faire un large usage est le tenseur (ou symbole) de Konecker delta d^m_n, de type (1, 1), dont la composante m,n vaut 1 si m=n et 0 si m�n et que nous avons d�j� d�crit.

Tenseur m�trique inverse

En relation avec le tenseur m�trique, nous d�finissons le tenseur m�trique inverse h^mn, tenseur de type (2, 0)�:

�

Vous remarquerez que le tenseur m�trique inverse a exactement les m�mes composantes que le tenseur m�trique lui-m�me. Ceci n�est vrai que dans les espaces plats cart�siens et n�est pas du tout le cas d�espaces plus g�n�raux.

Tenseur de Levi-Civita

D�finissons �galement le tenseur de Levi-Civita de type (0,4)

e_mnrs������������ = + 1 ����� si�������� mnrs est une permutation paire de 0123

e_mnrs������������ = - 1 ������ si�������� mnrs est une permutation impaire de 0123������� (1.57)

e_mnrs������������ =� 0�� ����������������� autrement

�

On d�finit une permutation de ��0123�� comme l�op�ration consistant � permuter (�changer) deux nombres dans cette suite ordonn�e de 4 nombres. Si cette op�ration est r�p�t�e un nombre pair de fois, la permutation est dite paire, elle est dite impaire si elle est r�p�t�e un nombre impair de fois. Toute autre r�arrangement de nombres entre dans la cat�gorie �autrement��. Par exemple,� e₀₃₂₁ = - 1.

Propri�t� remarquable des tenseurs m�trique, m�trique inverse, Kronecker delta, et Levi-Civita

Les tenseurs d�finis ci-dessus, les tenseurs, m�trique, m�trique inverse, Kronecker delta, et Levi-Civita ont en commun la propri�t� remarquable, bien qu�ils se transforment par la loi (1.51) de transformation des tenseurs lors d�un changement de base cart�sienne, de conserver leurs composantes inchang�es dans n�importe quel syst�me de coordonn�es cart�siennes dans un espace-temps plat. C�est un peu un contre exemple, dans la mesure ou la plupart des tenseurs ne poss�dent pas cette propri�t� particuli�re. En fait, ces tenseurs perdent cette propri�t� lorsque nous nous pla�ons dans des espaces temps plus g�n�raux, � l�exception du Kronecker delta qui conserve exactement les m�mes composantes dans n�importe quel syst�me de coordonn�es dans n�importe quel espace-temps.

Ceci s�explique par le fait qu�un tenseur est une forme lin�aire, le tenseur Kronecker delta repr�sentant la forme lin�aire identit� qui transforme un vecteur (simple ou dual)� en lui-m�me, devant avoir les m�mes composantes dans tous les syst�mes de coordonn�es (quelles que soient ces coordonn�es, ce tenseur traduit l�identit� entre la source et le produit de la transformation).

Les autres tenseurs (m�trique, son inverse, et Levi-Civita caract�risent la structure de l�espace-temps et d�pendent tous de la m�trique. Nous devons les manipuler avec circonspection hors du domaine des espaces temps plats.

Tenseur intensit� de champ �lectromagn�tique

Le tenseur intensit� de champ �lectromagn�tique repr�sente un exemple tr�s important de tenseur. Nous savons que le champ �lectromagn�tique peut �tre repr�sent� par un vecteur champ �lectrique E_i et un vecteur champ magn�tique B_i. (Rappelons que nous avons r�serv� les indices latins aux composantes d�espace 1,2,3). En fait ce ne sont que des ��vecteurs�� d�espace en ce sens qu�ils sont invariants par des rotations de l�espace, pas par des transformations compl�tes du groupe de Lorentz. D�finissons le tenseur F_mn, de type (0,2) suivant�:

De cette d�finition nous savons transformer les champs �lectromagn�tiques pr�sents dans un r�f�rentiel dans un autre en utilisant (1.51).

Le formalisme tensoriel nous apporte un moyen puissant� d�unification. Plut�t qu�utiliser deux vecteurs diff�rents dont les relations et les lois de transformation sont myst�rieuses, nous avons maintenant un seul tenseur qui synth�tise la description du champ �lectromagn�tique. D�un autre c�t�, ne soyons pas aussi radical, il est quelquefois utile dans un syst�me de coordonn�es d�fini de travailler sur les vecteurs �lectriques et magn�tiques.

Contraction d�un tenseur

Avec ces exemples sous la main, poursuivons notre examen des propri�t�s des tenseurs. Consid�rons l�op�ration de contraction d�un tenseur qui transforme un tenseur (k, l)� en un tenseur (k - 1, l - 1). La contraction s�obtient en sommant un index haut (exposant) sur un index bas (indice) ou vice versa.

On peut v�rifier que le r�sultat est un tenseur parfaitement d�fini. Remarquons, que nous ne pouvons contracter un exposant qu�avec un indice (et vice versa), on ne peut pas le faire entre deux index de m�me type. L�ordre �galement importe, on peut obtenir diff�rents tenseurs en les contractant diff�remment�:

en g�n�ral.

Abaisser et �lever des index d�un tenseur

Le tenseur m�trique et inverse m�trique sont tr�s utiles pour respectivement abaisser et �lever des index sur les tenseurs. Soit le tenseur T^b_gd �nous pouvons utiliser la m�trique pour d�finir de nouveaux tenseurs que nous choisissons de d�noter par la m�me lettre T�:

Et ainsi de suite. Notons que �lever ou abaisser des index ne change pas la position des autres index non somm�s. Les indices libres (non somm�s) doivent �tre les m�mes des deux c�t�s de l��quation alors que l�indice neutre de sommation est arbitraire et n�appara�t que d�un c�t�.

On peut ainsi transformer des vecteurs duaux en vecteurs et r�ciproquement par ces op�rations�:

La v�rit� sur le gradient dans un espace Euclidien

Ceci explique pourquoi le gradient dans un espace Euclidien tridimensionnel est consid�r� comme un vecteur alors qu�en fait c�est un vecteur dual. Dans un espace Euclidien o� la m�trique est la matrice diagonale Identit�, un vecteur dual se transforme en un vecteur avec exactement les m�mes composantes d�o� l�amalgame, (� noter que ceci est une propri�t� de tous les espaces strictement Euclidiens � base cart�sienne, quels que soient leur dimension, on dit aussi que les composantes contravariantes et covariantes, d�un vecteur, sont les m�mes). On peut se demander alors pourquoi on� fait toute une montagne de cette distinction. C�est simplement que dans un espace Lorentzien, ceci n�est plus vrai�:

Dans les espaces courbes, o� la m�trique est plus complexe la diff�rence devient tr�s significative. Mais il y a une raison plus profonde, � savoir que les tenseurs ont une d�finition naturelle qui est ind�pendante de la m�trique. M�me si nous allons toujours avoir une m�trique disponible, il est essentiel d��tre conscient� de la nature des objets math�matiques que nous introduisons. Le gradient et son action sont parfaitement d�finis ind�pendamment d�une quelconque m�trique, tandis qu�un ��gradient avec exposants�� ne l�est pas. � titre d�exemple, nous pourrions prendre les variations de fonctions par rapport � la m�trique et en cons�quence avoir � conna�tre exactement comment ces fonctions d�pendent de la m�trique, c.a.d quelque chose de rendu obscur�par la notation indicielle.

Tenseurs sym�triques

En poursuivant d�explorer le jargon tensoriel, nous en venons aux tenseurs sym�triques par rapport � certains indices ou exposants qui ont la propri�t� de rester invariants si on �change ces dits indices entre eux ou ces dits exposants entre eux. Alors si�:

Nous dirons que S_mnr est sym�trique dans ses deux premiers index tandis que si�:

Nous dirons que S_mnr est sym�trique pour ses trois index.

Tenseur antisym�trique

Un tenseur est dit antisym�trique

Par rapport � certains index s�il se transforme en son oppos� quand on �change ces index, alors�:

Signifie que A_mnr est antisym�trique par rapport � son premier et troisi�me index ou plus simplement par rapport � m et r. Si un tenseur est (anti)sym�trique par rapport � tous ses indices, on s�y r�f�rera en le qualifiant simplement de (anti)sym�trique. Le tenseur m�trique h_mn et son inverse h^mn sont des exemples de tenseurs sym�triques alors que le tenseur de Levi-Civita e_mnrs et le tenseur d�intensit� de champ �lectromagn�tique F_mn sont antisym�triques.

Vous pouvez v�rifier que si vous �levez ou abaissez des index (anti)sym�triques ils conservent leur attribut initial. Remarquons que cela n�a pas de sens d��changer un index haut avec un index bas, donc ne succombons pas � la tentation de dire que le symbole de Kronecker d^a_b est sym�trique. Par contre, le fait qu�abaisser un index� sur d^a_b donne un tenseur sym�trique (le tenseur m�trique), signifie que l�ordre des index est indiff�rent, ce qui explique pourquoi on n�indique pas d�ordre d�index dans ce tenseur particulier.

Sym�triser un tenseur

On peut sym�triser un nombre quelconque� d�index hauts ou bas dans un tenseur. Pour cela on fait la somme des tenseurs issus par toutes les permutations des index concern�s et on divise par le nombre de termes�:

�

Antisym�triser un tenseur

Pour un tenseur antisym�trique on remplace la somme par la somme altern�e�:

Par somme altern�e, on entend que les permutations issues d�un nombre impair d��changes sont affect�es du signe ��moins��, soit�:

Notons que les parenth�ses/ crochets d�notent la sym�trisation/antisym�trisation. De plus nous pouvons �tre amen�s � vouloir (anti)sym�triser des index non contigus, auquel cas on utilise la barre verticale pour isoler les index exclus de la somme�:

Finalement, certains utilisent une convention qui omet le facteur 1/n!.� Notre convention est satisfaisante, car (par exemple) un tenseur sym�trique satisfait�:

Et de m�me pour les tenseurs antisym�triques.

Nous nous sommes attach�s � bien distinguer ce qui est toujours vrai (dans une Vari�t� �munie d�une m�trique quelconque) de ce qui est seulement vrai dans l�espace-temps de Minkowski en coordonn�es Cart�siennes. Une des diff�rences les plus importantes concerne les d�riv�es partielles.

D�riv�e partielle d�un tenseur dans un espace Euclidien

En coordonn�es Cart�siennes, dans un espace plat, la d�riv�e partielle d�un tenseur (k, l), est un tenseur (k, l + 1) tel que�:

�

Il conserve sa forme tensorielle par une transformation de Lorentz. Cela n�est pas vrai dans un espace-temps quelconque o� nous allons devoir d�finir une d�riv�e covariante � substituer � la d�riv�e partielle. Pourtant nous allons utiliser le fait que la d�riv�e partielle donne un tenseur dans ce cas particulier, tant que nous resterons dans ce contexte. La seule exception � cet avertissement est la d�riv�e partielle d�un scalaire �_af, qui est un tenseur pur et dur (le gradient) dans tous les espaces temps.

�quations de Maxwell de l��lectromagn�tisme

Nous en savons maintenant assez pour montrer comment nous pouvons utiliser ces concepts concr�tement en physique. Commen�ons par les �quations de Maxwell de l��lectromagn�tisme. Avec la notation en vigueur au 19 i�me si�cle, elles s��crivaient�:

Ici, E et B sont les tri vecteurs champ �lectrique et champ magn�tique, J est le courant, r est la densit� de charge et � et ^. Repr�sentent le rotationnel et la divergence.

Condition d�invariance par une transformation de Lorentz

Ces �quations doivent �tre invariantes par une transformation de Lorentz, et c�est ainsi que tout a commenc�. Leur invariance ne saute pas aux yeux, mais notre notation tensorielle va r�gler ce point. Commen�ons par �crire ces �quations en adaptant l�g�rement la notation.

Dans ces expressions, nous nous sommes permis d��lever et d�abaisser les index spatiaux, sans se soucier de la m�trique et de son inverse du fait que dans un espace euclidien 3D de m�trique dij, cela ne change pas les composantes. Nous avons d�fini le tenseur de Levi-Civita e_ijk comme dans l�espace-temps � quatre dimensions, mais avec un index de moins.

Quadri-vecteur courant, J = (r, J¹, J², J³).

�

Nous avons remplac� la densit� de charge par J⁰; ce qui est l�gitime puisque cette densit� et le courant forment le quadri-vecteur courant, J^m = (r, J¹, J², J³).

De ces expressions et de la d�finition (1.58) du tenseur intensit� de champ F_mn, il est facile de donner la version tensorielle contemporaine des �quations de Maxwell. Commen�ons par remarquer qu�on peut exprimer le tenseur intensit� de champ avec exposants comme suit�:

Pour v�rifier, notez que par exemple� F⁰¹ = h⁰⁰h¹¹ F₀₁ et� F¹² = e¹²³ B₃. Alors la deuxi�me� �quation dans (1.74) devient�:

Et en utilisant l�antisym�trie de� F^mn, nous voyons que nous pouvons combiner les �l�ments des deux premi�res �quations dans une seule �quation� tensorielle

�

Version tensorielle contemporaine des �quations de Maxwell

Un raisonnement similaire (que nous vous laissons le soin de conduire) permet de d�duire la troisi�me et quatri�me �quation de (1.74) qui peuvent s��crire�:

Ainsi nous avons remplac� les quatre �quations originales Maxwell par seulement deux, d�montrant, l��conomie de la notation tensorielle. Plus important, comme les deux membres des �quations (1.77) et (1.78)� sont des tenseurs, donc si elles sont vraies dans un syst�me inertiel elles sont vraies dans tous, quelle que soit la transformation de Lorentz op�r�e.

C�est pourquoi les tenseurs sont si utiles en Relativit�, o� nous voulons tr�s souvent exprimer les relations ind�pendamment d�un r�f�rentiel particulier, ce qui n�cessite que les deux membres des relations se transforment de la m�me mani�re quand on op�re un changement de coordonn�es.

�quations covariantes

Dans notre jargon on dira de relations �crites sous forme de tenseurs qu�elles sont covariantes (ce qui dans ce contexte est diff�rent de l�utilisation du m�me terme� qui s�oppose � ��contravariant��)

Nous dirons donc que (1.77) et (1.78) ensembles, sont la forme covariante des �quations de Maxwell tandis que (1.73) ou (1.74) est la forme non covariante.

Formes diff�rentielles

Introduisons maintenant une nouvelle classe de tenseurs, appel� formes diff�rentielles. Une forme diff�rentielle de type p� que nous appellerons une forme p-lin�aire diff�rentielle ou en abr�g� �p-forme ou p-forme diff�rentielle est un tenseur (0, p), qui est compl�tement anti-sym�trique.

La terminologie pr�te � confusion avec ce qui � �t� dit avant, sachant qu�une forme lin�aire quelconque n�est pas g�n�ralement ni antisym�trique ni sym�trique. Il s�agit ici d�une classe de formes lin�aires particuli�res. On essaiera dans la mesure du possible de sp�cifier ��forme diff�rentielle�� si c�est le cas. Maintenant le terme ��forme�� �tant utilis� � toutes les sauces, des confusions et des erreurs dans ce texte, ne sont pas exclues, la plus grande vigilance s�impose.

Rappelons que les scalaires sont des� 0-formes, les vecteurs duaux des formes (mono)lin�aires, cette terminologie sera explicit� plus loin. Nous avons des formes bilin�aires diff�rentielles F_mn, des formes quadrilin�aires diff�rentielles e_mnrs. L�espace de toutes les� formes p-lin�aires diff�rentielles est d�not� L^p,� et l�espace des champs de formes p-lin�aires diff�rentielles sur une Vari�t� M est d�not� L^p (M). Un exercice quasi imm�diat en combinatoire, montre que le nombre de formes p-lin�aires diff�rentielles lin�airement ind�pendantes (caract�risant sa dimension), sur un espace vectoriel � n dimensions est n!/(p!(n - p)!). Donc, en un point d�un espace-temps � quatre dimensions, il y a une 0-forme diff�rentielle (scalaire) ind�pendante, quatre formes lin�aires diff�rentielles, six formes bilin�aires diff�rentielles, quatre formes trilin�aires diff�rentielles, et une forme quadrilin�aire diff�rentielle.

Il n�y pas de� formes p-lin�aires diff�rentielles pour p > n, car toutes les composantes sont nulles pour satisfaire l�antisym�trie.

Pourquoi nous int�resser aux formes diff�rentielles ? Bonne question, mais dont la r�ponse m�rite un compl�ment d��tude. L�id�e de base est que ces formes peuvent �tre � la fois diff�renti�es et int�gr�es sans avoir besoin de faire r�f�rence � une quelconque structure g�om�trique. Pour l�int�gration nous verrons plus tard, regardons la diff�rentiation.

Produit ext�rieur

Soit une� forme p-lin�aire A et une� forme q-lin�aire B, nous pouvons construire une (p + q)-forme diff�rentielle appel�e le� �produit ext�rieur �A B� en antisym�trisant le produit des tenseurs A et B�:

Par exemple pour deux formes (mono)lin�aires cela donne�:

Remarquons que�:

Donc nous pouvons modifier l�ordre d�un produit ext�rieur sous r�serve d��tre attentifs aux signes.

D�riv�e ext�rieure

La d�riv�e ��ext�rieure�� ��d�� nous permet de diff�rentier des champs de formes p-lin�aires pour obtenir des champs de (p + 1)-formes diff�rentielles. Elle est d�finie comme une d�riv�e anti-sym�trique partielle convenablement normalis�e.

L�exemple le plus simple est le gradient qui est la d�riv�e ext�rieure d�une 0-forme lin�aire (scalaire)�:

La d�riv�e ext�rieure est un tenseur

La raison qui mobilise notre attention sur cette d�riv�e ext�rieure, est qu�elle est un tenseur, m�me dans des espaces courbes, � la diff�rence de sa cousine la d�riv�e partielle. Comme nous n�avons pas encore �tudi� les espaces courbes, nous ne le prouverons� pas, mais (1.82) d�finit un tenseur tout � fait convenable et ce quelle que soient la m�trique et les coordonn�es.

Un autre int�r�t de la d�riv�e ext�rieure est que pour une forme lin�aire quelconque A

Qui est souvent �crit d² = 0.� Cette identit� est la cons�quence de la d�finition de d et du fait que les d�riv�es partielles commutent, �_a�_b= �_b�_a (appliqu� � n�importe quoi).

Formes diff�rentielles ferm�es, formes diff�rentielles exactes

Ceci nous conduit � un apart� math�matique, que nous allons d�velopper par gourmandise. Nous dirons qu�une forme p-lin�aire A est ferm�e si dA = 0, et exacte si� A = dB pour une (p - 1)-forme� B.� �videmment toutes les formes exactes sont ferm�es, mais la r�ciproque n�est pas forc�ment vraie. Sur une vari�t� M, les formes p-lin�aires ferm�es g�n�rent un espace vectoriel Z^p(M), et les formes exactes un espace vectoriel B^p(M). D�finissons un nouvel espace vectoriel comme l�espace vectoriel des formes ferm�es modulo les formes exactes�:

�

Cohomologie de Rahm

Ceci est appel� l�espace vectoriel de cohomologie de Rahm de rang p, et ne d�pend que de la topologie de la Vari�t� M.� L�espace de Minkowski � une topologie de type R⁴, totalement inint�ressante, telle que tous les H^p(M) s�annulent pour� p > 0. Pour p = 0, nous avons� H⁰(M) = .� Donc, dans l�espace de Minkowski toutes les formes ferm�es sont des formes exactes sauf pour les z�ro-formes (scalaires) Les� z�ro-formes ne peuvent pas �tre exactes car il n�y a pas de formes de rang inf�rieur (-1 forme)dont elles� seraient les d�riv�es ext�rieures. Il est frappant de voir que l�information sur la topologie peut �tre extraite de cette mani�re, qui n�invoque que des solutions d��quations diff�rentielles.

La dimension b_p de l�espace H^p(M) est appel�e la nombre de rang p de Betti sur M, et la caract�ristique d�Euler est donn�e par la somme altern�e�:

La th�orie Cohomologique est une des bases importantes de la topologie diff�rentielle moderne.

Dualit� de Hodge

Revenons sur terre, la derni�re op�ration que nous allons introduire sur les formes diff�rentielles est la dualit� de Hodge.� Nous d�finissons ��l�op�rateur not� ���toile�� de Hodge�� sur une Vari�t� de dimension� n comme une application de formes p-lin�aires vers� (n - p)-formes,

reliant� A � ��A dual��.� A la diff�rence des autres op�rations sur les formes, le dual de Hodge d�pend de la m�trique de la Vari�t�, ce qui est �vident du fait que nous avons du �lever� certains index sur le tenseur de Levi-Civita� pour d�finir� (1.87). Si on applique deux fois l�op�rateur de dualit� de Hodge on retombe sur la forme initiale affect�e du signe plus ou moins.

O�� s est le nombre de signes moins dans les valeurs propres de la m�trique. Pour l�espace de Minkowski, s = 1.

Deux remarques sur la dualit� de Hodge.

D�abord la dualit� dans le sens de Hodge est diff�rente de celle qui lie un vecteur avec son dual., bien que les deux peuvent �tre interpr�t�s comme l�espace des formes lin�aires de l�espace original vers R. Remarquons que la dimension de l�espace des (n - p)-formes diff�rentielles est �gale � celle des p-formes diff�rentielles, donc ceci a au moins une chance d��tre vrai. Dans le cas des formes diff�rentielles, la forme multilin�aire diff�rentielle d�finie par une�� (n - p)-forme diff�rentielle s�appliquant sur une forme p-lin�aire diff�rentielle est donn�e par le dual du produit ext�rieur des deux formes diff�rentielles. Alors si A^{(n - p)} est une (n - p)-forme diff�rentielle et B^(p) est une� forme p-lin�aire diff�rentielle, en un point de l�espace-temps nous avons�:

Ensuite, concernant les formes diff�rentielles dans un espace Euclidien 3D, la dualit� de Hodge d�un produit ext�rieur de formes lin�aires donne une autre forme lin�aire diff�rentielle�:

Tous les pr� facteurs s�annulent. Comme les formes (mono)lin�aires de l�espace Euclidien sont des vecteurs, le produit ext�rieur des deux vecteurs est un vecteur qui est en fait le r�sultat du produit vectoriel classique. La constitution du tenseur de Levi-Civita explique pourquoi le produit vectoriel change de signe par parit� quand on �change deux� coordonn�es ou ce qui est �quivalent deux vecteurs de base. C�est pourquoi le produit vectoriel n�existe qu�en trois dimensions, en effet en trois dimensions nous avons une application int�ressante de deux vecteurs duaux vers un troisi�me vecteur dual. On pourrait aussi d�finir une application de n - 1� formes lin�aires vers une seule forme lin�aire diff�rentielle, op�ration dont l�int�r�t reste � montrer.

Utilisation des formes diff�rentielles en �lectrodynamique

L��lectrodynamique nous fournit un bel exemple d�utilisation oblig�e des formes diff�rentielles. De par la d�finition de la d�riv�e ext�rieure, il est clair que l��quation�� (1.78) peut �tre exprim�e comme la fermeture de la forme bilin�aire F_mn�:

Cela signifie-t-il que� F est aussi exact�?� Oui, car nous avons not� que l�espace de Minkowski est muni d�une topologie triviale, donc toutes les formes ferm�es sont exactes. Il doit donc exister une forme lin�aire� A_m telle que�:

Cette forme lin�aire est le potentiel vecteur de l��lectromagn�tisme bien connu, dont la composante 0 est donn�e par le potentiel scalaire, A₀ = f. Si on suppose que A_m est le champ fondamental de l��lectromagn�tisme, alors� (1.91) en est d�riv� en tant qu�identit� (� la diff�rence d�une loi dynamique, d�une �quation du mouvement).

Invariance de jauge

L�invariance de jauge s�exprime par le fait que la th�orie est invariante si� A A + d pour un scalaire� (z�ro-forme) , ceci �tant imm�diat d�apr�s la relation (1.92). L�autre des �quations de� Maxwell (1.77), peut �tre exprim�e par une �quation entre formes tri lin�aires.

Ou la forme lin�aire repr�sentant le courant� J est juste le quadrivecteur courant dont on a abaiss� les index. Pour les d�tails, � vous de jouer.

La dualit� de Hodge au c�ur d�un des sujets les plus br�lants de la physique

Il est �trange de constater que la dualit� de Hodge est � la base d�un des sujets les plus br�lants de la physique contemporaine. Difficile de ne pas remarquer que les �quations� (1.91) et (1.93) se ressemblent. En fait si nous posons J_m = 0, les �quations sont invariantes par la transformation duale.

Ce qui nous permet d�affirmer que dans le vide, les �quations de Maxwell sont invariantes par cette dualit�, invariance compromise� par la pr�sence de charges. On peut imaginer que les monopoles magn�tiques � l�instar des monopoles �lectriques existent dans la nature. Nous pouvons ajouter un terme de courant magn�tique 4(*J_M) dans le membre de droite de (1.91), rendant les �quations invariantes par application de la relation de dualit� et le remplacement J J_M. (�videmment, le membre de droite de (1.91) non nul est incompatible avec� F = dA, donc l�id�e n�est valable que si� A_m n�est pas une variable fondamentale.). Il y a longtemps, Dirac �mit l�hypoth�se de monopoles magn�tiques et montra qu�une condition n�cessaire de leur existence est que la charge fondamentale du monopole soit inversement proportionnelle � la charge �lectrique fondamentale. La charge fondamentale �lectrique est un nombre petit, l��lectrodynamique est faiblement coupl�e, et c�est pour cela que la th�orie des perturbations est si efficace en �lectrodynamique quantique (QED). Mais la condition pos�e par Dirac sur les charges magn�tiques implique que la transformation duale va transformer la th�orie faiblement coupl�e des charges �lectriques en une th�orie fortement coupl�e de monopoles magn�tiques (et vice versa). Malheureusement les monopoles magn�tiques n�existent pas, pour autant que nous le sachions, donc ces id�es ne sont pas directement applicables � l��lectromagn�tisme, mais il y a des th�ories (comme les th�ories de jauge super sym�triques non ab�liennes) o� il a �t� conjectur� que une sorte de dualit� de sym�trie pouvait exister.� Si c�est le cas, nous aurions l�opportunit� d�analyser une th�orie de couplage fort (et difficile � r�soudre) par examen de sa th�orie duale faiblement coupl�e.

R�cemment, les travaux de Seiberg et Witten et d�autres ont prouv� que c�est exactement ce qui se passe dans certaines th�ories. L�espoir est que ces techniques vont nous permettre d�explorer certains ph�nom�nes qui existent dans les th�ories de champs quantiques fortement coupl�es, telles que le confinement des quarks en Hadrons.

Nous avons fait le tour de ce que nous avons � savoir sur les manipulations et les applications des tenseurs. Dans le chapitre suivant nous approfondirons et pr�ciserons les d�finitions rigoureuses des Vari�t�s et des tenseurs, dont nous avons bien d�grossi les contours. Avant de se plonger dans des math�matiques plus abstraites, regardons comment la physique se comporte dans un espace-temps de Minkowski.�

Ligne d�Univers des particules

D�marrons avec la ligne d�univers d�une particule unique. Elle est sp�cifi�e par une application de M, o� M est la vari�t� repr�sentant l�espace-temps. Nous d�finissons le chemin par une courbe param�tr�e x^m ().� Comme indiqu� avant, le vecteur tangent � ce chemin est dx^m/d. Remarquons qu�il d�pend du param�trage. Un objet qui nous int�resse au premier chef, est la norme du vecteur tangent, qui sert � caract�riser le chemin. Si le vecteur est de type temps, nul ou espace pour une certaine valeur de , nous dirons que le chemin est de type temps, nul ou espace en ce point. Ce qui explique que les m�mes termes sont utilis�s pour classer les vecteurs dans l�espace tangent et les intervalles entre deux points est, qu�une droite reliant disons deux points dont l�intervalle est de type temps va �tre, elle-m�me de type temps en chaque point du chemin.

N�anmoins, il faut �tre bien conscient du petit tour de passe passe que nous faisons ici. La m�trique en tant que tenseur (0,2), est un outil qui op�re sur deux vecteurs (ou deux copies du m�me) pour produire un nombre. Il est donc naturel de classer les vecteurs tangents en fonction de leur norme. Par contre l�intervalle entre deux points n�est pas quelque chose d�aussi naturel, il d�pend du chemin choisi (la �� ligne droite��) qui relie les deux points. Nous avons implicitement suppos� que, dans notre contexte, l�espace-temps est plat (ce qui dans ce cas, n�autorise qu�un seul chemin entre deux points).

�l�ment diff�rentiel d�intervalle

Un objet plus naturel est l��l�ment diff�rentiel ou intervalle infinit�simal�:

De cette d�finition, on est tent� d�en prendre la racine carr�e et de l�int�grer le long du chemin pour obtenir un intervalle fini. Mais comme ds² n�est pas n�cessairement positif, nous devons d�finir diff�rentes proc�dures adapt�es aux diff�rents cas.

Longueur du chemin

Pour les intervalles de type espace nous d�finissons la longueur du chemin�:

Ou l�int�grale est prise sur le chemin. Pour les chemins de type nul (lumi�re) l�intervalle est nul donc pas besoin de formule particuli�re, pour les intervalles de type temps nous d�finissons le temps propre.

Qui va �tre positif. Nous pourrions aussi consid�rer des chemins mixtes, temporels � certains endroits, spatiaux � d�autres.� Par chance c�est rarement n�cessaire, car les particules physiques suivent des chemins qui ne changent jamais de type. Les particules � masse (au repos)� non� nulle suivent des chemins de type temps et les particules sans masse (au repos) comme les photons suivent� des chemins de type nul.

Temps propre

De plus le terme ��temps propre�� est particuli�rement bien choisi, car il rend compte du temps �coul� mesur� par une horloge physique qu�on d�placerait sur la trajectoire. Ce point de vue, permet de comprendre les paradoxes des jumeaux ou d�autres �nigmes similaires. Deux lignes d�univers, non n�cessairement droites qui se coupent en deux points �v�nements de l�espace-temps ont des temps propres mesur�s par l�int�grale (1.97) le long des chemins correspondants et ces deux nombres ne seront pas n�cessairement �gaux m�me si les deux voyageurs qui les empruntent sont n�s le m�me jour.

Consid�rons le cas des chemins suivis par les particules massives (qui sont toujours de type temps) Comme le temps propre est mesur� par une horloge voyageant sur une ligne d�univers de type temps, il est naturel d�utiliser τ �comme param�tre affine du chemin.

Alors, nous utiliserons (1.97) pour calculer τ (λ), qui (si λ est un bon param�tre en premier lieu) nous permet d�obtenir λ(τ) par inversion de la fonction, ce qui nous permet de d�finir le chemin par x^m(τ).

Quadri vitesse

Le vecteur tangent dans ce param�trage est appel� la quadrivitesse, U^m�:

Comme� dt� = - h_mn dx^mdxⁿ, la quadrivitesse est naturellement normalis�e.

Elle sera toujours n�gative, car nous ne la d�finissons que pour des chemins de type temps. On peut d�finir un vecteur similaire pour les chemins de type espace. Les chemins de type lumi�re posent un� probl�me du fait que la norme est nulle. Dans le r�f�rentiel inertiel li� � la particule (dans lequel elle est au repos et que appelle ��r�f�rentiel repos�), la quadri vitesse n�a que la composante de temps non nulle�: U^m = (1, 0, 0, 0).

Quadri vecteur �nergie impulsion

Le quadri vecteur �nergie-impulsiony est directement li�, il est d�fini par�:

o� m est la masse de la particule. La masse est une quantit� fixe ind�pendante du r�f�rentiel inertiel (c�est un invariant relativiste), qui est appel�e ��masse au repos� dans certains ouvrages. Il vaut mieux �viter cette terminologie qui pr�te � confusion. En fait cette invariance de la masse est simplement li�e au fait que h_mn p^mpⁿ, (produit scalaire du quadrivecteur �nergie-impulsion p^� avec lui-m�me dans un espace-temps de Minkowski) est un� scalaire, donc un invariant relativiste et qu�il vaut pr�cis�ment m�c⁴, (comme c est constant, m doit aussi l��tre). L��nergie de la particule est alors simplement p⁰,� la composante temporelle de son vecteur �nergie-impulsion. Comme elle ne repr�sente qu�une composante d�un quadrivecteur, elle n�est pas invariante par une transformation de Lorentz, comme pr�vu puisque l��nergie d�une particule en mouvement n�est pas la m�me que celle de la m�me particule au repos. Dans le r�f�rentiel repos de la particule, nous avons p⁰ = m, rappelons que nous avons pos� c = 1, ainsi nous retrouvons l��quation qui a rendu Einstein c�l�bre�:� E = mc².� Les �quations du champ de la Relativit� g�n�rale sont bien plus importantes, mais ��R_mn - _1/2.Rg_mn = 8GT_mn�� ne suscitent pas la m�me �motion que ��E = mc²ï¿½ï¿½. Dans un r�f�rentiel en mouvement, nous pouvons trouver les composantes de p^m en r�alisant une transformation de Lorentz. Pour une particule de d�pla�ant avec une tri-vitesse v selon l�axe des x �nous avons�:

o� g= (1-v�) ^-1/2.� Pour v petit cela donne p⁰ = m + 1/2.mv² (ce qu�on interpr�te comme l��nergie au repos plus l��nergie cin�tique) et p¹ = mv (ce qu�on interpr�te g�n�ralement comme l�impulsion Newtonienne).� C�est pourquoi le vecteur �nergie-impulsion a �t� ainsi nomm�. La pi�ce ma�tresse de la physique pr�-relativiste est la deuxi�me loi de Newton�: = m = dp/dt.� Une �quation analogue doit exister en RR� mais sous forme tensorielle.

Quadriforce

Cela nous conduit � introduire un quadrivecteur force f ^m satisfaisant�:

L�exemple de force le plus simple en m�canique Newtonienne est la force gravitationnelle. En Relativit�, la gravitation n�est pas d�crite par une force mais par la courbure de l�espace-temps lui-m�me. Consid�rons donc l��lectromagn�tisme. La force de Lorentz tridimensionnelle est donn�e par� = q( + � ), o� q est la charge de la particule. Nous voudrions g�n�raliser sous forme tensorielle cette �quation. Il appara�t qu�il n�y a qu�une seule possibilit�:

Vous pouvez v�rifier qu�on retrouve � la limite, la forme de Newton pour les faibles vitesses. Remarquons que la contrainte d��criture sous forme tensorielle pour assurer l�invariance de Lorentz, restreint s�rieusement les possibilit�s d�expression de l��quation. C�est un exemple d�un ph�nom�ne tr�s g�n�ral. Alors qu�il semble qu�il y ait des possibilit�s tr�s diverses pour des lois physiques, quelques contraintes li�es � une exigence de sym�trie les r�duisent � un seul choix. Bien que p^m offre une description compl�te de l��nergie et de l�impulsion d�une particule, nous allons introduire afin d��tendre la port�e de nos investigations, le tenseur �nergie-impulsion T^mn

�

Tenseur �nergie impulsion

C�est un tenseur (2, 0) sym�trique qui va nous indiquer tout ce que nous devons savoir sur ce qui est li� � l��nergie d�un syst�me�: densit� d��nergie; pression, impulsion etc.. Une d�finition g�n�rale de T^mn est le flux de la quadri-impulsion p^m � travers une surface d�finie par� xⁿ constant.

Fluides

Pour concr�tiser, consid�rons un fluide qui est une cat�gorie de mati�re, un continuum de mati�re caract�ris� par des param�tres macroscopiques tels que la temp�rature, la pression, l�entropie, la viscosit�, etc..

Fluides parfaits

En relativit� G�n�rale, nous nous int�resserons particuli�rement aux fluides parfaits, dans lesquels sont inclus, du moins � cette �chelle, les champs �lectromagn�tiques, les �toiles, et l�univers dans son entier. Schutz d�finit un fluide parfait comme n�ayant pas de conduction thermique et pas de viscosit� alors que Weinberg le d�finit comme un fluide isotrope dans son r�f�rentiel repos. Il s�av�re que ces deux points de vue sont �quivalents. De fa�on op�ratoire, on peut consid�rer qu�un fluide parfait est totalement caract�ris� par sa pression et sa densit�.

Pour comprendre ce qu�est un fluide parfait, commen�ons par l�exemple le plus simple�: la poussi�re. La poussi�re est d�fini comme un ensemble de particules, en repos relatif, o� �galement comme un fluide parfait de pression nulle. Comme toutes les particules ont la m�me vitesse quel que soit le r�f�rentiel inertiel, on peut consid�rer un ��champ de quadri vitesse ��U^m (x)� d�fini dans tout l�espace-temps. En fait ses composantes sont identiques en tout point.

Quadrivecteur num�rique de flux

D�finissons le quadrivecteur num�rique de flux� comme�:

O�� n est la densit� num�rique des particules mesur�es dans leur r�f�rentiel repos. Alors N⁰ est la densit� num�rique mesur�e dans un autre r�f�rentiel, tandis que Nⁱ est le flux de particules dans la direction xⁱ. Supposons que les particules aient la m�me masse m. Alors dans le r�f�rentiel repos la densit� d��nergie de la poussi�re est donn�e par�:

Par d�finition, la densit� d��nergie sp�cifie compl�tement la poussi�re. Mais r ne mesure que la densit� d��nergie� dans le r�f�rentiel repos, qu�en est il des autres r�f�rentiels? Nous remarquons que n et m sont tous deux les composantes 0 de quadrivecteurs dans leur r�f�rentiel repos,� respectivement, N^m = (n, 0, 0, 0) et� p^m = (m, 0, 0, 0). Donc r est la composante m = 0, n = 0 du tenseur p � N mesur�e dans le r�f�rentiel repos.

Tenseur �nergie-impulsion de la poussi�re

Nous d�finissons donc le tenseur �nergie-impulsion� de la poussi�re� par�:

O� r d�signe la densit� d��nergie dans le r�f�rentiel repos. Le cas, de la poussi�re, r�gl�, nous allons consid�rer les fluides parfaits. Rappelons que parfait signifie ��isotrope�� dans le r�f�rentiel repos. Ceci implique que T^mn est diagonal - Les composantes de l�impulsion ne g�n�rent pas de flux dans une direction qui leur sont orthogonales. De plus les composantes non nulles d�espace doivent �tre �gales, T¹¹ = T²² = T³³. Les deux seuls nombres ind�pendants sont donc T⁰⁰ et un des Tⁱⁱ; Nous pouvons choisir d�appeler le� premier la densit� d��nergie� r et le second la pression p. (D�sol� d�utiliser la m�me lettre que pour l�impulsion.) Le tenseur �nergie-impulsion, d�un fluide parfait prend alors la forme suivante dans son r�f�rentiel repos�:

Nous voudrions maintenant une formule valable pour tous les r�f�rentiels. Pour la poussi�re, comme nous avions T^mn = r.U^mUⁿ, on est tent� de poser (r+ p)U^mUⁿ, ce qui donne�:

Pour obtenir la r�ponse que nous voulons nous devons donc ajouter�:

Par chance,� il y a une g�n�ralisation covariante �vidente p.h^mn.

Tenseur �nergie-impulsiond�un fluide parfait

La forme g�n�rale du tenseur �nergie-impulsion pour un fluide parfait est alors�:

Cette formule est tr�s importante pour les applications telles que la structure stellaire et la Cosmologie. � titre d�autres exemples, consid�rons les tenseurs �nergie-impulsion de l��lectromagn�tisme et de la th�orie scalaire des champs. Sans autre forme de proc�s, on peut directement poser�:

et

Vous pourrez v�rifier que par exemple, T⁰⁰ est dans chaque cas �gal � ce qu�on peut escompter que la densit� d��nergie soit. En plus, comme T^mn est sym�trique il jouit de la propri�t� tr�s importante d��tre conserv�. Dans ce contexte la conservation se traduit par une divergence nulle�:

C�est un jeu de quatre �quations, une par valeur de ν. Pour ν = 0 l��quation correspond � la conservation de l��nergie tandis que� �_mT^mk = 0 exprime la conservation de la composante de rang k� de l�impulsion. Nous n�allons pas le d�montrer dans le cas g�n�ral, la preuve s�appuie sur les �quations du mouvement de la mati�re. En fait, on peut d�finir T^mn par un tenseur� (2, 0) dont les unit�s qui sont l��nergie volumique,� sont conserv�es.

Conservation de l��nergie, de l�impulsion

�Vous pouvez prouver la conservation de l��nergie-impulsion pour l��lectromagn�tisme, en prenant la divergence de (1.111) et en utilisant les �quations de Maxwell que nous avons �tablies pr�c�demment.

Un apart� ultime. Nous avons d�j� signal� que la gravitation en Relativit� G�n�rale n�est pas une force. Corr�lativement le champ gravitationnel ne doit pas avoir de tenseur �nergie impulsion.

Energie gravitationnelle

En fait il est tr�s difficile de formuler une expression locale sens�e de l��nergie d�un champ gravitationnel. Beaucoup de suggestions ont �t� faites mais elles se heurtent toutes � des arguments� r�dhibitoires. Bien qu�il n�y ait pas de r�ponse correcte, c�est une question importante dont la r�ponse permettrait de donner un son sens � des interrogations du type�: quelle est l��nergie �mise par seconde sous forme d�ondes gravitationnelles� par un pulsar binaire�?